2019-04-24

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -1189,3 +1189,283 @@ Insbesondere gilt für $k=2$:
 $$
   \alpha_1 \wedge \alpha_2(v_1, v_2) = \alpha_1(v_1)\alpha_2(v_2) - \alpha_1(v_2)\alpha_2(v_1)
 $$
+
+%2019-04-23
+
+%TODO missing exercise
+
+%2019-04-24
+
+* Differentialformen
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+TM \arrow[d, "\pi"]     & T^*M \arrow[d, "\pi"]    \\
+M \arrow[d, no head]    & M \arrow[d, no head]     \\
+\text{Tangentialbündel} & \text{Kotangentialbüdel}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Geometrisch: über jedem Punkt $p$ hängt $T_pM$ tzw, $T^*_pM$ und
+
+$$
+  TM = \bigsqcup_{p\in M} T_pM, \quad T^*M = \bigsqcup_{p\in M} T^*_pM
+$$
+
+** Idee
+
+man macht punktweise Konstruktion wie Tensorprodukt, äußere Potenzen etc. mit $T_pM$ bzw. $T_p^*M$ und bekommt „Bündel“, die ähnlich wie $TM/T^*M$ angegeben, aber etwas kompliziert sind
+
+** Definition
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein $k$-dimensionales Vektorbündel $E$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer glatten Abbildung $\pi\colon
+E\to M$ ($\pi$ heißt Bündelprojektion) mit folgenden Eigenschaften:
+
+ * (1) $\forall p\in M$ ist $E_p := \pi^{-1}p$ ein $(R)$-Vektoraum von $k$. 
+ * (2) [lokale Trivialität] $\forall p\in M \exists U \ni p$ offen mit
+    $$
+      E|_U := \pi^{-1}(U) \overset{\overset{\psi}{\underset{\text{diffeomorph}}\cong}}\longrightarrow U \times \mathbb R^k
+    $$
+    sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_^{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)
+    
+    $$
+      \pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1 + \lambda v_2) = \pi_^{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1) + \lambda\cdot\pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_2)
+    $$
+    
+    (die Vektorraumoperation auf $E_q$ entsprechen den auf $\mathbb R^k$ durch $\psi$)
+
+** Bemerkung
+
+Über jeder Mannigfaltigkeit existiert das triviale Vektorbündel der Dimension $k$:
+$$
+  E:= \underbrace{ M\times \mathbb R^k }_{=\mathbb R^k} \overset{\pi}\longrightarrow M
+$$
+
+Die Bedingung (2) verlangt gerade dass ein Vektorbündel $E$ lokal (d.h. über $U$) trivial sein muss (= isomorph zum trivialen Bündel)
+  
+** Beispiel
+  $TM$, $T_pM$ sind Vektorbündel über $M$. Eig. (2) kamen von dem Beweis, dass $TM$, $T^*M$ Mannigfaltigkeiten sind.
+  
+** Erinnerung
+
+Wenn $V$ ein Vektorraum ist,
+$$
+  T_{r,s}(V) := \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
+$$
+
+VR von Tensor von Typ $(r,s)$
+
+Definiere jetzt
+
+$$
+  T_{r,s} (\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit}}) = \bigsqcup_{p\in M}T_{r,s}(T_pM)
+$$
+
+$T_{r,s}(M)$ heißt Vektorbündel von Tensoren vom Typ $(r,s)$ über $M$.
+
+Analog:
+
+$$
+  \bigwedge^k (TM) &:=& \bigsqcup_{p\in M} \bigwedge_k(T_pM)
+  \\ \bigwedge^k (T^*M) &=& \bigsqcup_{p\in M} \bigwedge^k(T_p^*M)
+$$
+
+heißen äußere Potenzen von $TM$ bzw. $T^*M$; entsprechend sind $\bigwedge^*(TM)$, $\bigwedge^*(T^*M)$ definiert.
+
+** Proposition
+$$
+  T_{r,s}(M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^k(T^M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^*(T^*M)
+$$
+sind Vektorbündel über $M$.
+
+Beweis: (Für $T_{r,s}$ andere analog)
+
+ - Eigenschaft 1) ist klar:
+   $$
+     \pi^{-1} (p) = T_{r,s} (T_pM)
+   $$
+   ist ein Vektorraum
+ - Eigenschaft 2) Sei $(U,x)$ eine Karte um $p\in M$. Auf $U$ existiert kanonische Vektorfelder $\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \in \Gamma (TU)$ s.d für alle $q\in M: \left\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_q,\ldots, \left\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_q \in T_qM$ eine Basis mit Dualbasis $(\intd x^1)(q), \ldots, (\intd x^n)(q) \in T_q^* M$
+
+Entsprechend gilt $\forall q\in M$:
+
+$$
+  \left\{ \left.\frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\right|_{q} \otimes \ldots \otimes \left.\frac{\partial}{\partial x^{i_r}}\right|_{q} \otimes \intd x^{j_1}(q) \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{\middle|} i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1, \ldots, n \} \right\}
+$$
+
+ist eine Basis von $T_{r,s} (T_q M)$. Entsprechend haben wir für jedes $q\in U$ eine Koordinatenabbildung
+
+$$
+  \varphi_q\colon T_{r,s}(T_qM) \overset{\cong}\longrightarrow \mathbb R^{n^{r+s}}
+$$
+
+die jedem $t\in T_{r,s}(T_qM)$ die Koordinaten in dieser Basis zugeordnet. Also haben wir eine Bijektion
+
+$$
+  \psi \colon \bigsqcup_{q\in U} \underbrace{ T_{r,s}(T_pM) }_{=T_{r,s}(M)|_U} \overset{\cong}\longrightarrow U\times \mathbb R^{n^{r+s}}
+$$
+
+$v\in T_{r,s} (T_qM) \mapsto (q,\varphi_q(v))$ Die diffbare Struktur auf $T_{r,s}(M)$ definiert man durch die Forderung, dass alle 4 Diffeomorphismen sind 
+$\longrightarrow$ dann ist insbesondere (2) auf errfüllt.
+
+** Fazit
+
+aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruiren ($TM$, $T_{r,s} (M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$)
+
+Slogan: 
+
+#+BEGIN_QUOTE
+man macht lineare Algebra/Tensorkonstruktionnen punktweise
+#+END_QUOTE
+
+** Definition
+
+Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein Schnitt $s$ von $E$ ist eine Abbildung
+
+$$
+  s\colon M\to E
+$$
+
+mit
+$$
+  \pi\circ s= \operatorname{id}_M
+$$
+($\Leftrightarrow \forall p\in M: s(p) \in \underbrace{ E_p }_{=\pi^{-1}(p)}$)
+
+** Bezeichung
+
+$$
+  \Gamma (E) = \{ s\colon M\to E \text{ Schnitt}\}
+$$
+
+der Raum der Schnitte von $E$.
+
+ - (1) $\Gamma(E)$ ist ein Vektorraum: $s_1$, $s_2 \in E$, $\lambda \in \mathbb R$
+    $\Rightarrow$ $(s_1 + s_2)(p) := s_1(p) + s_2(p) \in E_p$, $(\lambda\cdot s_1)(p) := \lambda \cdot s_1(p) \in E_p$
+
+ - (2) Für $f\in C^\infty(M)$, $s\in \Gamma(E)$ kann man
+    $$
+      (f\cdot s)(p) := f(p) s(p) \in E_p
+    $$
+    definieren, $f\cdot s \in \Gamma(E)$
+    
+    Das macht $\Gamma(E)$ zu einem $C^\infty(M)$-Modul [
+    $\Leftrightarrow (f_1+f_2)\cdot s=f_1 s + f_2 s$, $(fg)\cdot s = f(g\cdot s)$
+    ]
+
+** Beispiel
+
+ - Vektorfeld auf $M$ sind Schnitt im Tangentialbündel
+ - $C^\infty(M) = \Gamma(\underline{\mathbb R}) = \Gamma(M\times \mathbb R)$ 
+
+** Definition
+
+Schnitte von $T_{r,s}(TM)$ heißen Tensoren vom Typ $(r,s)$ auf $M$.
+
+** Definition
+
+$$
+  O^k(M) := \Gamma \left(\bigwedge^k T^*M\right)
+$$
+
+heißen Differentialformen auf $M$
+
+ - $O^{0} (M) = \Gamma\left(\bigwedge^0T^*M\right) = \Gamma(M\times \mathbb R) = C^\infty (M)$
+ - $O^{1} (M) = \Gamma (\bigwedge^1T^*M) = \Gamma(T^*M)$-Vektorfelder auf 
+
+%TODO msisng
+
+Wenn $(U, x)$ eine Karte von $M$ ist $\rightsquigarrow$ bekommen
+
+$$
+  \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} &\in& \Gamma (TM|_U)
+  \\ \intd x^1, \ldots, \intd x^n &\in& \Gamma (T*M|_U)
+$$
+
+Daher sieht jeder Schnitt $\chi \in \Gamma (T_{r,s}(TM))$ auf $U$ so aus:
+
+$$
+  \chi|_U = \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{1,\ldots, n\}} \chi^{i_1,\ldots, i_r}_{j_1,\ldots, j_s}
+  \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s}
+$$
+
+für gewisse $\chi_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1, \ldots, i_r} \in C^\infty(U)$
+
+Analog:
+
+die Menge
+$$
+  \{ \intd x^{i_1}(q)\wedge\ldots\wedge\intd x^{i_k} (q) \mathrel | 1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n \}
+$$
+
+bildet eine Basis in $\bigwedge^k T^*qM$ $\forall q\in U$
+
+Daher sieht jede Differentialform $\omega \in \underline{O}^k(M)$ auf $U$ so aus:
+
+$$
+  \omega|_U = \sum_{1\leqslanti_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \omega_{i_1, \ldots, i_k} \intd x^{i_1} \wedge \intd x^{i_2} \wedge \ldots \wedge \intd x^{i_k}
+$$
+
+für gewisse $\omega_{i_1,\ldots, i_k} \in C^\infty(U)$
+
+Algebraisch heißt es:
+
+$$
+  \left\{ \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} \mathrel{\middle |} i_1, \ldots, i_r, j_1,\ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \right\}
+$$
+
+bildet eine Basis von $\Gamma(T_{r,s}(TM)|_U)$ über $C^\infty(U)$ Entsprechend für $\left\{ \intd x^{i_1}\wedge\ldots\wedge\intd x^{i_k} \mathrel| \ldots \right\}$ für $\underline O^k(U)$
+
+D.h. jetzt können wir interpretieren was z.B. $\intd x^1 \wedge \intd x^2$ ist:
+
+Das ist eine $2$-Form auf $U$ (eine der Basis-$2$-Formen)
+
+Er­in­ne­rung:
+
+Für einen Vektoraum $V$ haben wir festgestellt, dass
+$$
+  \bigwedge_k V \cong A_k(V) = \{ f\colon V^k \to \mathbb R \mathrel| \text{multiliniear, alternierend }\}
+$$
+
+Daher definiert jede Differentialform
+$$
+  \omega \in \Omega^k (M) = \Gamma\left(\bigwedge^k T^*M\right)
+$$
+eine multilinieare alternierende Abbildung
+
+$$
+  \Gamma(T^*M) \times \ldots \times \Gamma (T^*M) &\to& C^\infty (M)
+  \\ (\mathcal X, \ldots, \mathcal X_k) &\mapsto& (p\mapsto (\omega(p))(\mathcal X_1(p), \ldots, \mathcal X_k(p)) )
+$$
+
+Notation:
+$$
+  (\omega(\mathcal X_1, \ldots, \mathcal X_k))(p) := \omega(p)(\mathcal X_1(p), \ldots, \mathcal X_k(p))
+$$
+
+Diese Konstruktion ist $C^\infty(M)$-linear
+
+$$
+  \omega(f \mathcal X, \ldots, \mathcal X_k) = f\omega(\mathcal X_1, \ldots, \mathcal X_k),\quad f\in C^\infty
+$$
+
+Bemerkung:
+
+Das gilt in jedem Argument
+
+Analoge Konstruktion existiert für Tensorfelder:
+
+da $T_{r,s}(T_pM) \cong M_{s,r} (T_pM),\quad \forall p\in M$
+
+Dabei war 
+$$1
+  M_{s,r}(T_pM) = \{ \alpha \colon \underbrace{ T_pM \times \ldots \times T_pM }_{s\text{-mal}} \times \underbrace{ T^*_pM \times \ldots \times T^*_pM }_{r} \mathrel| \alpha \text{ multiliniear} \}
+$$1
+
+definiert jedes Tensorfeld $t\in \Gamma (T_{r,s}(T_pM))$ eine $C^\infty(M)$-multilinieare Abbildung.
+
+$$
+  \Gamma(TM) \times \ldots \times \Gamma (TM) \times \Gamma(T^*M)\times \ldots \times \Gamma (T^*M) &\to& C^\infty (M)
+  \\ (\mathcal X_1,\ldots, \mathcal X_r, \alpha_1, \ldots, \alpha_s) &\mapsto& (p \mapsto (t(p)) (\mathcal X_1(p),\ldots, \mathcal X_r(p), \alpha_1(p), \ldots, \alpha_s(p) )
+$$
+