man macht punktweise Konstruktion wie Tensorprodukt, äußere Potenzen etc. mit $T_pM$ bzw. $T_p^*M$ und bekommt „Bündel“, die ähnlich wie $TM/T^*M$ angegeben, aber etwas kompliziert sind
** Definition
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein $k$-dimensionales Vektorbündel $E$ über $M$ ist eine Mannigfaltigkeit $E$ zusammen mit einer glatten Abbildung $\pi\colon
E\to M$ ($\pi$ heißt Bündelprojektion) mit folgenden Eigenschaften:
* (1) $\forall p\in M$ ist $E_p :=\pi^{-1}p$ ein $(R)$-Vektoraum von $k$.
* (2) [lokale Trivialität] $\forall p\in M \exists U \ni p$ offen mit
$$
E|_U :=\pi^{-1}(U)\overset{\overset{\psi}{\underset{\text{diffeomorph}}\cong}}\longrightarrow U \times\mathbb R^k
$v\in T_{r,s}(T_qM)\mapsto(q,\varphi_q(v))$ Die diffbare Struktur auf $T_{r,s}(M)$ definiert man durch die Forderung, dass alle 4 Diffeomorphismen sind
$\longrightarrow$ dann ist insbesondere (2) auf errfüllt.
** Fazit
aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruiren ($TM$, $T_{r,s}(M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$)
Slogan:
#+BEGIN_QUOTE
man macht lineare Algebra/Tensorkonstruktionnen punktweise
#+END_QUOTE
** Definition
Sei $\pi\colon E\to M$ ein Vektorbündel. Ein Schnitt $s$ von $E$ ist eine Abbildung
bildet eine Basis von $\Gamma(T_{r,s}(TM)|_U)$ über $C^\infty(U)$ Entsprechend für $\left\{\intd x^{i_1}\wedge\ldots\wedge\intd x^{i_k}\mathrel| \ldots\right\}$ für $\underline O^k(U)$
D.h. jetzt können wir interpretieren was z.B. $\intd x^1\wedge\intd x^2$ ist:
Das ist eine $2$-Form auf $U$ (eine der Basis-$2$-Formen)
Erinnerung:
Für einen Vektoraum $V$ haben wir festgestellt, dass
$$
\bigwedge_k V \cong A_k(V)=\{ f\colon V^k \to\mathbb R \mathrel| \text{multiliniear, alternierend }\}