2019-12-19

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -2781,5 +2781,161 @@ $$
   \\ B&=&\operatorname{Stab}(0\subsetneq  \langle e_1 \rangle\subsetneq \ldots\subsetneq \langle e_1,\ldots, e_{n-1} \rangle \subsetneq \R^n)
 $$
 
-TODO 2019-12-19
+%2019-12-19
+
+** Frage
+
+#+BEGIN_QUOTE
+Wie kann man (Ko-)Vektorfelder ableiten?
+#+END_QUOTE
+
+** Beobachtung
+
+Wir wissen, wie man Funktionen ableitet:
+
+$$
+  &&\varphi\in C^{\infty}(M), \quad X\in \Gamma{TM}
+  \\ &\Rightarrow& X(\varphi) \in C^\infty(M) \quad\text{oder an einem Punkt $m\in M: X_m(\varphi)\in \R$}
+$$
+
+** Beobachtung
+
+Man kann aber erst mal keinen Sinn aus $X(Y)\in \Gamma(TM)$ bilden. ($X$, $Y\in \Gamma(TM)$)
+
+$$
+  X_m (\varphi) &=& \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varphi(m + \varepsilon \xi) -\varphi(m)}{\varepsilon}
+  \\ &=& \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varphi(\phi_{\varepsilon}^\times(m)) -\varphi(m)}{\varepsilon}
+$$
+wenn $M=\R^n$, $X_m\in T_m\R^n\cong \R^n \ni\xi$. Also auf jeder Mannigfaltigkeit stimmt:
+
+$$
+  X(\varphi) &=& \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varphi\circ \phi_\varepsilon^X -\varphi}{\varepsilon}
+  \\&\overset{\text{punktweise}}=& \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{(\phi_\varepsilon^X)(\varphi) -\varphi}{\varepsilon}
+$$
+
+Wenn dies für Vektorfelder versuchen:
+
+$$
+  \quoteunquote{
+    [X(Y)]_m = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{(\phi_\varepsilon)_*(Y_m) -Y_m}{\varepsilon}
+  }
+$$
+
+Problem:
+
+$Y_m \in T_m M$, $(\phi_\varepsilon)_* Y_m \in \underbrace{T_{\psi_{\varepsilon}(m)}M}_{\ni Y_{\phi_\varepsilon(m)}}$ $\rightsquigarrow$ macht keinen Sinn.
+
+Korrektur, die Sinn ergibt:
+
+** Definition
+
+Sei $M$ Mannigfaltigkeit, $X$, $Y\in \Gamma{TM}$. Die \emph{Lie-Ableitung} von $Y$ nach $X$ ist definiert als:
+
+$$
+  (\mathcal L_X Y)_m := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{(\phi_{-\varepsilon})_* Y_{\phi_\varepsilon (m)} -Y_m}{\varepsilon} \in T_m M\Rightarrow \mathcal L_X Y \in \Gamma(TM)
+$$
+
+Analog:
+
+Wenn $X\in \Gamma(TM)$ Vektorfeld, $\alpha\in \Gamma(T^*M)$ Ko-Vektorfeld. $\Rightarrow (\mathcal L_X \alpha)_m := \lim_{\varepsilon\to 0} := \lim_{\varepsilon\to 0}\frak{\phi_\varepsilon^*(\alpha_{\phi_\varepsilon(m)}) -\alpha(m)}{\varepsilon}$
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+\underbrace{\phi_\varepsilon^*\colon}_{=((\phi_\varepsilon)_*)^*} T_{\phi_\varepsilon(m)}^*M \arrow[rr] &  & T_m^*M
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+** Satz
+
+$$
+  X\in \Gamma(TM), Y\in \Gamma{TM} \Rightarrow \mathcal L_X Y = [X,Y]
+$$
+
+Beweis:
+
+Wir müssen zeigen: $\forall \varphi\in \mathcal C^\infty(M)$:
+
+$$
+  \underbrace{\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{((\phi_{-\varepsilon})_* Y_{\phi_\varepsilon(m)})(\varphi)-Y_m(\varphi)}{\varepsilon}}_{=:(*)} = [X,Y]_m(\varphi)
+$$
+
+$$
+  (\phi_{-\varepsilon})_* Y_{\phi_\varepsilon(m)} = Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\phi_{-\varepsilon}^*(\varphi)) = Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\varphi\circ\phi_{-\varepsilon}^*)
+$$
+
+Sei $U$ Umgebung von $m$, $I\subseteq \R$ Intervall, $\phi\colon I\times U\to M$ existiert. Sei $f\colon I\times U\to \R$ die Funktion $f= \varphi\circ\phi-\varphi$, $(t, u)\mapsto \varphi(\phi(t,u))-\varphi(u)$
+
+$$
+  \Rightarrow f(0,0) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial t}(0, p) =: g(p), p\in U
+$$
+
+Betrachte:
+
+$$
+  \hat g(t,p) &:=& \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial t}(st, p)\intd s;\quad \hat (0, p)=g(p)
+  \\&=& \frac1\tau \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial t} (st, p) \intd (\tau s)
+  \\&=& \frac1\tau(f(\tau,p)-f(0,p))
+  \\&=& \frac1\tau f(\tau, p), \quad \tau \neq 0
+$$
+
+ - $\Rightarrow$ $f(t,p) = t\cdot \hat g(t,p)$, $\hat g(0,p) = \frac{\partial f}{\partial t}(0,p)$
+ - $Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\varphi\circ \phi_{-\varepsilon}) = Y_{\phi_\varepsilon(m)}(f(-\varepsilon, \cdot) + \varphi) = Y_{\phi_\varepsilon(m)}(-\varepsilon\cdot \hat g(-\varepsilon, \cdot) + \varphi)$
+ - $\Rightarrow$
+   $$
+     (*) &=& \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{-\varepsilon Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\hat g(-\varepsilon, \cdot ))+Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\varphi)-Y_m(\varphi)}{\varepsilon}
+     \\&=& \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\varphi)-Y_m(\varphi)}{\varepsilon} -\lim_{\varepsilon\to 0} Y_{\phi_\varepsilon(m)}(\hat g(-\varepsilon, \cdot))
+     \\&=&X(Y(\varphi))(m) -Y(g)(m) = X(Y(\varphi))(m) - Y(X(\varphi))(m)
+   $$
+
+** Proposition
+
+Wenn $X$, $Y\in \Gamma(TM)$, $(\phi_t)$, $(\psi_s)$ die Flüsse von $X$ bzw $Y$, dann kommutieren $X$, $Y$ genau dann, wenn ihre Flüsse kommutieren:
+
+$$
+  [X,Y] = 0\in \Gamma(TM) \Leftrightarrow \phi_t \circ \psi_s = \psi_s \circ \phi_t \forall s, t \text{ wo es Sinn ergibt}
+$$
+
+Vorbereitung:
+
+Sei $f\colon M\to M$ ein (lokaler Diffeomorphismen) $f\circ \phi_t \circ f^{-1}$ gehört zum Vektorfeld $f_*\circ X\circ f^{-1}$.
+
+Wenn $f\circ \phi_t\circ f^{-1} = \phi_t \Rightarrow f_*\circ X \circ f^{-1} = X$
+
+Beweis:
+ - „ $\Leftarrow$ “: setze $f = \psi_s \Rightarrow (\psi_s)_* \circ X \circ \psi_{-s} = X$
+  $$
+     &\Rightarrow& (\psi_s)_* (X_{\psi_{-s}(m)}) = X_m
+     \\&\Rightarrow& \frac{(\psi_s)_*(X_{\psi_{-s}(m)})-X_m}{s} = 0
+     \\&\Rightarrow& \mathcal L_Y X = [X,Y] = 0
+  $$
+ - „ $\Rightarrow$ “: $[X,Y] = 0$. Wir wissen:
+  $$
+    \gamma\colon \begin{cases} I &\to T_m M \\ s&\mapsto (\psi_s)_* (x_{\psi_{-s}(m)}) \end{cases}
+  $$
+  erfüllt $\dot \gamma (0) = 0$ (Im Sinne des Differenzenquotienten). Wir wollen zeigen: $\gamma (s) = \const = X_m$. Sei $s$ beliebig, $q:= \psi_s(m)$
+  $$
+    \dot \gamma(s) &=& \lim_{h\to 0} \frac{\gamma(s+h)-\gamma(s)}{h}
+    \\&=& \lim_{h\to 0} \frac{(\psi_{s+h})_* X_{\psi_{-(s+h)}(m)}-(\psi_s)_*(X_{\psi_{-s}(m)})}{h}
+    \\&=& \lim_{h\to 0} \frac{(\psi_{s+h})_* \circ X \circ \psi_{-(s+h)} - (\psi_s)_*\circ X\circ \psi_{-s}}{h}(m)
+    \\&=& ((\psi_s)_* \circ \lim_{h\to 0} \frac{(\psi_h)_* \circ X \circ \psi_h - X}{h} \circ \psi_{-s})(m)
+    \\&=& ((\psi_s)_* \circ [Y,X] \circ \psi_{-s})(m)
+    \\&=& 0
+  $$
+
+$$
+  &\Rightarrow& \forall m\in M : \gamma(s) = \gamma(0) = X_m
+  \\&\Rightarrow& (\psi_s)_* \circ X \circ \psi_{-s} = X
+  \\&\Rightarrow& \psi_s \circ \phi_t \circ \psi_{-s} = \psi_t
+$$
+
+Kommutatorformel, erstmal ohne Beweis:
+
+$$
+  [X,Y] &=& \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0} (\psi_{-\sqrt{t}}\circ \phi_{-\sqrt{t}}\circ \psi_{\sqrt{t}}\circ \phi_{\sqrt{t}})
+$$
+
+Wurzel, da $2$. Ordnung
+
+TODO Bildchen 37
+
 TODO 2019-12-20

diffgeoIII/latex.template

@@ -400,10 +400,13 @@ $endif$
 \newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
 \newcommand{ \Lin }{ \operatorname{span} }
 \newcommand{ \id }{ \operatorname{id} }
-\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
-
 \newcommand{ \R }{ \mathbb R }
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+
+\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
+\newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} }
 
 %alexeev-custom
 \newcommand{ \coloneqq }{ := }