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Alekseev, Vadim
diffgeo-skript
Commits
b35cc95f
Commit
b35cc95f
authored
Jan 08, 2020
by
Harry Fuchs
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2019-12-19
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ccf6a6d7
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diffgeoIII/edit-this-file.tex
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b35cc95f
...
...
@@ -2781,5 +2781,161 @@ $$
\\
B
&
=
&
\operatorname
{
Stab
}
(
0
\subsetneq
\langle
e
_
1
\rangle\subsetneq
\ldots\subsetneq
\langle
e
_
1
,
\ldots
, e
_{
n
-
1
}
\rangle
\subsetneq
\R
^
n
)
$$
TODO 2019-12-19
%2019-12-19
** Frage
#+BEGIN
_
QUOTE
Wie kann man (Ko-)Vektorfelder ableiten?
#+END
_
QUOTE
** Beobachtung
Wir wissen, wie man Funktionen ableitet:
$$
&&
\varphi\in
C
^{
\infty
}
(
M
)
,
\quad
X
\in
\Gamma
{
TM
}
\\
&
\Rightarrow
&
X
(
\varphi
)
\in
C
^
\infty
(
M
)
\quad\text
{
oder an einem Punkt $m
\in
M: X
_
m
(
\varphi
)
\in
\R
$
}
$$
** Beobachtung
Man kann aber erst mal keinen Sinn aus
$
X
(
Y
)
\in
\Gamma
(
TM
)
$
bilden. (
$
X
$
,
$
Y
\in
\Gamma
(
TM
)
$
)
$$
X
_
m
(
\varphi
)
&
=
&
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
\varphi
(
m
+
\varepsilon
\xi
)
-
\varphi
(
m
)
}{
\varepsilon
}
\\
&
=
&
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
\varphi
(
\phi
_{
\varepsilon
}^
\times
(
m
))
-
\varphi
(
m
)
}{
\varepsilon
}
$$
wenn
$
M
=
\R
^
n
$
,
$
X
_
m
\in
T
_
m
\R
^
n
\cong
\R
^
n
\ni\xi
$
. Also auf jeder Mannigfaltigkeit stimmt:
$$
X
(
\varphi
)
&
=
&
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
\varphi\circ
\phi
_
\varepsilon
^
X
-
\varphi
}{
\varepsilon
}
\\
&
\overset
{
\text
{
punktweise
}}
=
&
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
(
\phi
_
\varepsilon
^
X
)(
\varphi
)
-
\varphi
}{
\varepsilon
}
$$
Wenn dies für Vektorfelder versuchen:
$$
\quoteunquote
{
[
X
(
Y
)]
_
m
=
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
(
\phi
_
\varepsilon
)
_
*(
Y
_
m
)
-
Y
_
m
}{
\varepsilon
}
}
$$
Problem:
$
Y
_
m
\in
T
_
m M
$
,
$
(
\phi
_
\varepsilon
)
_
*
Y
_
m
\in
\underbrace
{
T
_{
\psi
_{
\varepsilon
}
(
m
)
}
M
}_{
\ni
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}}$
$
\rightsquigarrow
$
macht keinen Sinn.
Korrektur, die Sinn ergibt:
** Definition
Sei
$
M
$
Mannigfaltigkeit,
$
X
$
,
$
Y
\in
\Gamma
{
TM
}$
. Die
\emph
{
Lie-Ableitung
}
von
$
Y
$
nach
$
X
$
ist definiert als:
$$
(
\mathcal
L
_
X Y
)
_
m :
=
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
(
\phi
_{
-
\varepsilon
}
)
_
*
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
-
Y
_
m
}{
\varepsilon
}
\in
T
_
m M
\Rightarrow
\mathcal
L
_
X Y
\in
\Gamma
(
TM
)
$$
Analog:
Wenn
$
X
\in
\Gamma
(
TM
)
$
Vektorfeld,
$
\alpha\in
\Gamma
(
T
^
*
M
)
$
Ko-Vektorfeld.
$
\Rightarrow
(
\mathcal
L
_
X
\alpha
)
_
m :
=
\lim
_{
\varepsilon\to
0
}
:
=
\lim
_{
\varepsilon\to
0
}
\frak
{
\phi
_
\varepsilon
^
*(
\alpha
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
)
-
\alpha
(
m
)
}{
\varepsilon
}$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\underbrace
{
\phi
_
\varepsilon
^
*
\colon
}_{
=((
\phi
_
\varepsilon
)
_
*)
^
*
}
T
_{
\phi
_
\varepsilon
(m)
}^
*M
\arrow
[rr]
&
&
T
_
m
^
*M
\end{tikzcd}
\end{center}
** Satz
$$
X
\in
\Gamma
(
TM
)
, Y
\in
\Gamma
{
TM
}
\Rightarrow
\mathcal
L
_
X Y
=
[
X,Y
]
$$
Beweis:
Wir müssen zeigen:
$
\forall
\varphi\in
\mathcal
C
^
\infty
(
M
)
$
:
$$
\underbrace
{
\lim
_{
\varepsilon
\to
0
}
\frac
{
((
\phi
_{
-
\varepsilon
}
)
_
*
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
)(
\varphi
)-
Y
_
m
(
\varphi
)
}{
\varepsilon
}}_{
=
:
(*)
}
=
[
X,Y
]
_
m
(
\varphi
)
$$
$$
(
\phi
_{
-
\varepsilon
}
)
_
*
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
=
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\phi
_{
-
\varepsilon
}^
*(
\varphi
))
=
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\varphi\circ\phi
_{
-
\varepsilon
}^
*)
$$
Sei
$
U
$
Umgebung von
$
m
$
,
$
I
\subseteq
\R
$
Intervall,
$
\phi\colon
I
\times
U
\to
M
$
existiert. Sei
$
f
\colon
I
\times
U
\to
\R
$
die Funktion
$
f
=
\varphi\circ\phi
-
\varphi
$
,
$
(
t, u
)
\mapsto
\varphi
(
\phi
(
t,u
))-
\varphi
(
u
)
$
$$
\Rightarrow
f
(
0
,
0
)
=
0
,
\quad
\frac
{
\partial
f
}{
\partial
t
}
(
0
, p
)
=
: g
(
p
)
, p
\in
U
$$
Betrachte:
$$
\hat
g
(
t,p
)
&
:
=
&
\int
_
0
^
1
\frac
{
\partial
f
}{
\partial
t
}
(
st, p
)
\intd
s;
\quad
\hat
(
0
, p
)=
g
(
p
)
\\
&
=
&
\frac
1
\tau
\int
_
0
^
1
\frac
{
\partial
f
}{
\partial
t
}
(
st, p
)
\intd
(
\tau
s
)
\\
&
=
&
\frac
1
\tau
(
f
(
\tau
,p
)-
f
(
0
,p
))
\\
&
=
&
\frac
1
\tau
f
(
\tau
, p
)
,
\quad
\tau
\neq
0
$$
-
$
\Rightarrow
$
$
f
(
t,p
)
=
t
\cdot
\hat
g
(
t,p
)
$
,
$
\hat
g
(
0
,p
)
=
\frac
{
\partial
f
}{
\partial
t
}
(
0
,p
)
$
-
$
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\varphi\circ
\phi
_{
-
\varepsilon
}
)
=
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
f
(-
\varepsilon
,
\cdot
)
+
\varphi
)
=
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(-
\varepsilon\cdot
\hat
g
(-
\varepsilon
,
\cdot
)
+
\varphi
)
$
-
$
\Rightarrow
$
$$
(*)
&
=
&
\lim
_{
\varepsilon\to
0
}
\frac
{
-
\varepsilon
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\hat
g
(-
\varepsilon
,
\cdot
))+
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\varphi
)-
Y
_
m
(
\varphi
)
}{
\varepsilon
}
\\
&
=
&
\lim
_{
\varepsilon\to
0
}
\frac
{
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\varphi
)-
Y
_
m
(
\varphi
)
}{
\varepsilon
}
-
\lim
_{
\varepsilon\to
0
}
Y
_{
\phi
_
\varepsilon
(
m
)
}
(
\hat
g
(-
\varepsilon
,
\cdot
))
\\
&
=
&
X
(
Y
(
\varphi
))(
m
)
-
Y
(
g
)(
m
)
=
X
(
Y
(
\varphi
))(
m
)
-
Y
(
X
(
\varphi
))(
m
)
$$
** Proposition
Wenn
$
X
$
,
$
Y
\in
\Gamma
(
TM
)
$
,
$
(
\phi
_
t
)
$
,
$
(
\psi
_
s
)
$
die Flüsse von
$
X
$
bzw
$
Y
$
, dann kommutieren
$
X
$
,
$
Y
$
genau dann, wenn ihre Flüsse kommutieren:
$$
[
X,Y
]
=
0
\in
\Gamma
(
TM
)
\Leftrightarrow
\phi
_
t
\circ
\psi
_
s
=
\psi
_
s
\circ
\phi
_
t
\forall
s, t
\text
{
wo es Sinn ergibt
}
$$
Vorbereitung:
Sei
$
f
\colon
M
\to
M
$
ein (lokaler Diffeomorphismen)
$
f
\circ
\phi
_
t
\circ
f
^{
-
1
}$
gehört zum Vektorfeld
$
f
_
*
\circ
X
\circ
f
^{
-
1
}$
.
Wenn
$
f
\circ
\phi
_
t
\circ
f
^{
-
1
}
=
\phi
_
t
\Rightarrow
f
_
*
\circ
X
\circ
f
^{
-
1
}
=
X
$
Beweis:
- „
$
\Leftarrow
$
“: setze
$
f
=
\psi
_
s
\Rightarrow
(
\psi
_
s
)
_
*
\circ
X
\circ
\psi
_{
-
s
}
=
X
$
$$
&
\Rightarrow
&
(
\psi
_
s
)
_
*
(
X
_{
\psi
_{
-
s
}
(
m
)
}
)
=
X
_
m
\\
&
\Rightarrow
&
\frac
{
(
\psi
_
s
)
_
*(
X
_{
\psi
_{
-
s
}
(
m
)
}
)-
X
_
m
}{
s
}
=
0
\\
&
\Rightarrow
&
\mathcal
L
_
Y X
=
[
X,Y
]
=
0
$$
- „
$
\Rightarrow
$
“:
$
[
X,Y
]
=
0
$
. Wir wissen:
$$
\gamma\colon
\begin
{
cases
}
I
&
\to
T
_
m M
\\
s
&
\mapsto
(
\psi
_
s
)
_
*
(
x
_{
\psi
_{
-
s
}
(
m
)
}
)
\end
{
cases
}
$$
erfüllt
$
\dot
\gamma
(
0
)
=
0
$
(Im Sinne des Differenzenquotienten). Wir wollen zeigen:
$
\gamma
(
s
)
=
\const
=
X
_
m
$
. Sei
$
s
$
beliebig,
$
q:
=
\psi
_
s
(
m
)
$
$$
\dot
\gamma
(
s
)
&
=
&
\lim
_{
h
\to
0
}
\frac
{
\gamma
(
s
+
h
)-
\gamma
(
s
)
}{
h
}
\\
&
=
&
\lim
_{
h
\to
0
}
\frac
{
(
\psi
_{
s
+
h
}
)
_
*
X
_{
\psi
_{
-(
s
+
h
)
}
(
m
)
}
-(
\psi
_
s
)
_
*(
X
_{
\psi
_{
-
s
}
(
m
)
}
)
}{
h
}
\\
&
=
&
\lim
_{
h
\to
0
}
\frac
{
(
\psi
_{
s
+
h
}
)
_
*
\circ
X
\circ
\psi
_{
-(
s
+
h
)
}
-
(
\psi
_
s
)
_
*
\circ
X
\circ
\psi
_{
-
s
}}{
h
}
(
m
)
\\
&
=
&
((
\psi
_
s
)
_
*
\circ
\lim
_{
h
\to
0
}
\frac
{
(
\psi
_
h
)
_
*
\circ
X
\circ
\psi
_
h
-
X
}{
h
}
\circ
\psi
_{
-
s
}
)(
m
)
\\
&
=
&
((
\psi
_
s
)
_
*
\circ
[
Y,X
]
\circ
\psi
_{
-
s
}
)(
m
)
\\
&
=
&
0
$$
$$
&
\Rightarrow
&
\forall
m
\in
M :
\gamma
(
s
)
=
\gamma
(
0
)
=
X
_
m
\\
&
\Rightarrow
&
(
\psi
_
s
)
_
*
\circ
X
\circ
\psi
_{
-
s
}
=
X
\\
&
\Rightarrow
&
\psi
_
s
\circ
\phi
_
t
\circ
\psi
_{
-
s
}
=
\psi
_
t
$$
Kommutatorformel, erstmal ohne Beweis:
$$
[
X,Y
]
&
=
&
\left
.
\frac
{
\diffd
}{
\diffd
t
}
\right
|
_{
t
=
0
}
(
\psi
_{
-
\sqrt
{
t
}}
\circ
\phi
_{
-
\sqrt
{
t
}}
\circ
\psi
_{
\sqrt
{
t
}}
\circ
\phi
_{
\sqrt
{
t
}}
)
$$
Wurzel, da
$
2
$
. Ordnung
TODO Bildchen 37
TODO 2019-12-20
diffgeoIII/latex.template
View file @
b35cc95f
...
...
@@ -400,10 +400,13 @@ $endif$
\newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
\newcommand{ \Lin }{ \operatorname{span} }
\newcommand{ \id }{ \operatorname{id} }
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{ \R }{ \mathbb R }
\newcommand{ \N }{ \mathbb N }
\newcommand{ \K }{ \mathbb K }
\newcommand{ \M }{ \mathbb M }
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{\quoteunquote}[1]{ \begin{array}{rcl} && \text{ “ } \\ & #1 & \\ \text{ „ } && \end{array} }
%alexeev-custom
\newcommand{ \coloneqq }{ := }
...
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