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Commit c56d77b9 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs
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2019-04-16

parent 6388dc77
%TODO alles mit ??
Compiled on \today
* Erinnerungen an WS
......@@ -328,7 +330,7 @@ $U$, $V \subseteq \mathbb R$ offenen Intervalle. $\alpha\colon \underbrace{U}_{=
Transformationsformel:
$$
\int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\,\mathrm d t = \int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm dt
\int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)} f(\alpha(t))\alpha'(t)\intd t = \int_{a}^{b}f(t)\intd t
$$
„Mnemonik“:
......@@ -490,7 +492,7 @@ Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (re­elle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der?
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der? Eindeutigkeit?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
$$
......@@ -710,3 +712,243 @@ $$
Insbesondere ist ein Skalarpodukt auf $V$ ein Tensor vom Typ $(0,2)$ Notation $g_{i,j}$ für Koordinaten einer Metrik ist konstant mit Tensorprodukten.
%2019-04-16
* Tensorprodukte von Vektorräumen
$$
&& \operatorname{Hom} (V\otimes \underbrace W_{ \mathbb R }) \cong \operatorname{Bil}(V\times W, \underbrace Z_{\mathbb R})
\\&\overset{\text{Induktion}}\Rightarrow& \operatorname{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_n, Z) \cong \{ f\colon V_1\times\ldots\otimes V_n \to Z \ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$
Letzes mal:
$$
T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}}
$$
$$
M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$
** Proposition
%TODO kan. ?
$$1
T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V)
$$1
Beweis:
Nach obigen Eigenschaften gilt:
$$
M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^*
\\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}
$$
Wir wollen also zeigen: $W$, $Z$ zwei Vektoräume, wollen zeigen, dass $W^* \cong Z$ ($W=T_{s,r}(V)$, $Z=T_{r,s}(V)$)
Def./Erinnerung:
Eine nichtsinguläre Paarung zwischen $W$, $Z$ ist eine bilineare Abbildung $\beta\colon W\times Z \to \mathbb R$ mit
- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall Z\in Z \Rightarrow w = 0$
- $\beta(W,Z) = 0$ $\forall w\in W \Rightarrow Z = 0$
Übung:
Wenn $W$, $Z$ endlichdimensional, $(w_i)^n_{i=1}$, $(z_i)_{i=1}^m$ Basen in $W$ bzw. $Z$ dann ist
$\beta$ nichtsingulär
$\Leftrightarrow (\beta(w_i, z_j))_{ \begin{subarray}{l} i=1, \ldots, n \\ j=1, \ldots, m \end{subarray} }$ nicht ausgeartet ist $\Rightarrow n = m$
$\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$
Beispiel:
$W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$
$$
\beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle
$$
Alos: Wir betrachten eine nichtsinguläre Paarung
$$
\beta_i \colon T_{s,r}(V) \times T_{r,s}(V) \to \mathbb R
$$
Definiere
$$
&& \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*)
\\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt }
$$
** Tensorprodukte von Vektorräumen
Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}(V)$, wir suchen $t^*\in T_{s,r}(V)$ mit $\beta(t^*, t) \neq 0$
Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$
Dann gilt:
$$
t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}
e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s}
$$
$D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$:
$$
0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t)
$$
Bemerkung: Die Paarung zwischen $T_{r,s}$ mal $T_{s,r}$ wird gelegentlich einfach durch $\langle \cdot, \cdot \rangle$ oder $(\cdot, \cdot)$ bezeichnet.
Beispiel $V = T_p M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$, dann hat $V=T_p M$ eine Basis $\{ \frac{\partial}{\partial x_i} \}_{i=1}^n$
$V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$
Erinnerung:
$\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$
%TODO \intd s
Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest)
1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$
$$
t_{ij} &=& (\intd x^i \otimes \intd x^j )(v,w)
\\&=& \intd x^i(v)\cdot \intd x^j(w)
\\&=& v(x^i)\cdot w(x^j),\ v,w\in T_p M
$$
Beispiel:
$$
g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i
$$
ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$
$$
g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right)
&=& \sum_{i=1}^n
\underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right) }_{=\delta_{ik}}
\underbrace{ \intd x^i \left(\frac{\partial}{\partial x^l}\right) }_{=\delta_{il}}
\\&=& \delta_{kl} + \delta_{lk}
\\&=& \delta_{kl}
$$
** Äußere Potenzen, äußere Algebra
Errinnerung:
für Integrationstheorie wollen wir die Rechenregeln
$$
d_x^i \wedge \intd x^j = - \intd x^j \wedge \intd x^i
$$
Beobachtung:
Tensoren kann man miteinander multiplizieren. Es gibt eine kanonische bilineare Abbildung
$$
(\underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}}) \times \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{l\text{-mal}} \to \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{(k+l)\text{-mal}}
\\ ((v_1 \otimes \ldots \otimes v_k), (v_{k+1}\otimes \ldots \otimes v_{k+l})) \mapsto (v_1 \otimes \ldots \otimes v_{k+l})
$$
Notation:
$$
V^{\otimes k} :=
\begin{cases}
\underbrace{V\otimes \ldots \otimes V}_{k\text{-mal}} & k > 0 \\
\mathbb R & k = 0
\end{cases}
$$
$$
T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k}
$$
heißt die Tensoralgebra von $V$
Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$
$$
t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)}
$$
definiert eine Multiplikation auf $T(V)$
In $T(V)$ gelten die Relationen $v\otimes v = 0$ nicht.
Diese wollen wir erzwingen.
Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$
Notation:
$$
I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) }
$$
Multiplikation wird durch $\bigwedge$ bezeichnet. nach Konstruktion gilt $v_1\wedge \ldots \wedge v_k = [v_1\otimes \ldots \otimes v_k]$
** Definition
$$
\bigwedge (V) := T(V) / I(V)
$$
heißt äußere Algebra von $V$
Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt
$$
\bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V}
$$
1. $\wedge^0 V \cong \mathbb R$, weil $I_0(V) = \{0\}$
2. $\wedge^1 V \cong V$, weil $I_1(V) = \{0\}$
** Proposition
Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist
$$
\{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \}
$$
eine Basis von $\bigwedge^k(V)$ ($\leftarrow$ $k$-te äußere Potenz)
Insbesondere gilt:
$$
\bigwedge^k(V) = \binom{n}{k},\ \ \ 0\leqslant k \leqslant n,\ \ \ \wedge_k (V) = \{0\},\ \ \ k>n
$$
** Äußere Potenzen, äußere Algebra
Beweis
Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt
$$
\{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \}
$$
den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass
$$
\sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0
$$
Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert.
Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$
Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$:
$$
\pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0
$$
Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt.
......@@ -43,12 +43,17 @@ Zitatinhalt
#+END_QUOTE
German „quotes“ and ‚inner quoates‘.
„“‚‘
* Thema
** Definition
Sei $x\in \mathbb R$, dann:
$$1
$$
\sum_{\begin{subarray} a \\ b \end{subarray}}
$$
x=\sqrt{b}
$$1
für ein $b\in \mathbb C$.
......
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