From c70f56db5fe9b975afb64492f9489944fbe6fd2a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Harry Fuchs Date: Tue, 25 Jun 2019 11:33:04 +0200 Subject: [PATCH] hack tex output for denser paragraphs --- diffgeoII/compile.sh | 1 + diffgeoII/edit-this-file.tex | 277 +++++++++++++++-------------------- diffgeoII/latex.template | 1 + diffgeoII/postprocessor.py | 20 +++ 4 files changed, 139 insertions(+), 160 deletions(-) create mode 100644 diffgeoII/postprocessor.py diff --git a/diffgeoII/compile.sh b/diffgeoII/compile.sh index 287d9f3..2f24438 100755 --- a/diffgeoII/compile.sh +++ b/diffgeoII/compile.sh @@ -1,6 +1,7 @@ cp edit-this-file.tex tmp.tex python3 preprocessor.py pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o for-compile.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template" +python3 postprocessor.py # clear && clear echo "start pdflatex" diff --git a/diffgeoII/edit-this-file.tex b/diffgeoII/edit-this-file.tex index 07d4247..ac95d74 100644 --- a/diffgeoII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoII/edit-this-file.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana ~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!) 1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren. - %TODO %TYPO: remove space here + TODO%TODO %TYPO: remove space here $$ T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \} \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \} @@ -37,7 +37,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana $$ Jetzt in Diffgeo: - $$1 f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear} $$1 @@ -51,9 +50,9 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes) s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE - $$1 + $$ \dot \gamma(t) = X(\gamma(t)) - $$1 + $$ lässt 3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$ @@ -82,37 +81,36 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum $\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$ - - %TODO %TYPO vertical space $$ Lg \colon G &\to& G\\ h &\mapsto& g\cdot h $$ - Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$ + Satz + $$ + G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R) + \\ \operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R) + $$ - $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$ Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren! - - $$1 + $$ (\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot]) - $$1 + $$ Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$. - $$1 + $$ [A,B] = AB - BA - $$1 + $$ %DATE 2019-04-02 * Übung 1 Differential einer Abbildung - -$$1 +$$ f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n -$$1 +$$ $$ p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear}) @@ -121,13 +119,12 @@ $$ $$ \partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i - \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{ + \\ D_pf &\underset{\text{als Matrix}}{=}& \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{ \begin{matrix} i = \overline{1, m} \\ j = \overline{1, n} \end{matrix}} $$ - $$ f\colon M\to N $$ @@ -145,22 +142,24 @@ M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] \end{tikzcd} \end{center} -%TODO vertical line +TODO%TODO vertical line %2019-??-?? -TODO Bildchen %TODO +TODO Bildchen TODO%TODO $$ M &\overset f\to& N \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}& - \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden + \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}TODO%TODO letzes Wort nicht verstanden \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f $$ -Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear - -%TODO vertical line +Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist +$$ + \underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R +$$ +linear ** Beispiel @@ -247,7 +246,7 @@ $$ $\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$ -%TODO vertical line +TODO%TODO vertical line $$ x &\mapsto& A\cdot x @@ -257,7 +256,7 @@ $$ \\ f\colon V &\to& W \text{ linear} $$ -mit Übung 28 %TODO ref +mit Übung 28 TODO%TODO ref $p\in V$: @@ -268,8 +267,8 @@ $p\in V$: \end{tikzcd} \end{center} -%TODO vertical line -%TODO das war das mündliche Zeug +TODO%TODO vertical line +TODO%TODO das war das mündliche Zeug $$ \det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} @@ -317,12 +316,13 @@ $$ Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs -%TODO schöner +TODO%TODO schöner + \begin{center} \begin{tikzcd} - \arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\ - & & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\ - \arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n + \arrow[rr, "U"'{name=links}, no head] & {} & \mathbb R^n\\ + {} & {} & \\ + \arrow[rr, "V"{name=rechts}, no head] & {} & \mathbb R^n \arrow[from=links, to=rechts, "\alpha \colon U\overset{\cong} \longrightarrow V \text{ Diffeo}"] \end{tikzcd} \end{center} @@ -366,7 +366,6 @@ $$ = \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1 + \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2 $$ - $$ \intd v_2 = \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1 @@ -385,7 +384,7 @@ $$ $$ = \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2 = \int_U f(v(u)) -% \left%TODO overcome boxes +% \leftTODO%TODO overcome boxes \Bigg ( \underbrace{ @@ -409,7 +408,6 @@ $$ $$ Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten: - $$ \intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0 \\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0 @@ -538,7 +536,7 @@ $$ \end{subarray} \right\}\right\rangle }_{:=\langle\ldots\rangle} - \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{%TODO \middle + \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{TODO%TODO \middle |} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\} $$ @@ -577,14 +575,14 @@ $$ wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$) Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$. -($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ? +($e'=0$, $e'\in E'$) TODO%TODO ? Entsprechend ist $$ V\otimes W § &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \} -§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{%TODO\middle +§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{TODO%TODO\middle |} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\} § \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \} % \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \} @@ -621,7 +619,7 @@ $$ § \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right) $$ -Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref +Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben TODO%TODO ref im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B. $$ @@ -647,7 +645,6 @@ Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^ ** Proposition $W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann: - $$ \operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V $$ @@ -659,7 +656,6 @@ Beweis: Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$) $L$ ist bilinear, weil: - $$ && (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v) \\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2) @@ -706,7 +702,6 @@ $W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operat ** Korollar Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt: - $$ \mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y) $$ @@ -722,7 +717,6 @@ Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen ** Definition Tensor Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes - $$ T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}} $$ @@ -736,7 +730,6 @@ $$ ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an). $\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also - $$ T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s}) $$ @@ -768,18 +761,16 @@ $$ $$ Letzes mal: - $$ T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}} $$ - $$ M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \} $$ ** Proposition -%TODO kan. ? +TODO%TODO kan. ? $$1 T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V) $$1 @@ -787,7 +778,6 @@ $$1 Beweis: Nach obigen Eigenschaften gilt: - $$ M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^* \\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}} @@ -813,7 +803,6 @@ $\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$ Beispiel: $W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$ - $$ \beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle $$ @@ -825,7 +814,7 @@ $$ Definiere $$ - && \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*) + {}& & \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*) \\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt } $$ @@ -836,14 +825,12 @@ Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}( Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$ Dann gilt: - $$ t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r} e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s} $$ $D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$: - $$ 0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t) $$ @@ -857,7 +844,7 @@ $V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$ Erinnerung: $\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$ -%TODO \intd s +TODO%TODO \intd s Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest) 1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$ @@ -869,13 +856,11 @@ Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest) $$ Beispiel: - $$ g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i $$ ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$ - $$ g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right) &=& \sum_{i=1}^n @@ -903,7 +888,6 @@ $$ $$ Notation: - $$ V^{\otimes k} := \begin{cases} @@ -911,7 +895,6 @@ $$ \mathbb R & k = 0 \end{cases} $$ - $$ T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k} $$ @@ -919,7 +902,6 @@ $$ heißt die Tensoralgebra von $V$ Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$ - $$ t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)} $$ @@ -933,7 +915,6 @@ Diese wollen wir erzwingen. Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$ Notation: - $$ I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) } $$ @@ -948,7 +929,6 @@ $$ heißt äußere Algebra von $V$ Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt - $$ \bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V} $$ @@ -959,7 +939,6 @@ $$ ** Proposition Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist - $$ \{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \} $$ @@ -976,13 +955,11 @@ $$ Beweis Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt - $$ \{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \} $$ den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass - $$ \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0 $$ @@ -992,7 +969,6 @@ Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert. Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$ Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$: - $$ \pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0 $$ @@ -1002,17 +978,13 @@ Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt. %2019-04-17 Gestern: - $$ \bigwedge (V) = T(V) / I(V) $$ - $I(V) = \langle v\otimes v\ |\ v\in V \rangle$ Ideal erzeugt durch $v\otimes v$ - $$ = \left\{ \sum_{i=1}^k t_i \otimes v_i \otimes v_i z_i \ \middle|\ t_i, t'_i \in T(V), v_i \in V \right\} $$ - $$ [\underbrace{ v_1\otimes \ldots \otimes v_n }_{\in T(V)}] =: i v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \in \bigwedge (V) $$ @@ -1020,7 +992,6 @@ $$ nach Konstruktion gilt $v\wedge v = 0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w = -w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0= (v+w)\wedge (v+w) = \underbrace{v\wedge v}_{=0} + v\wedge w + w\wedge v + \underbrace{w \wedge w}_{=0} = v\wedge w + w\wedge v$) Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge (V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$, - $$ \bigwedge^k (V) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \middle| v_{i_l} \in V \right\} $$ @@ -1033,13 +1004,10 @@ Beweis: Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$ $e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0$ $\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4 \}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists \alpha_{ij}$: - $$ \alpha_{12}e_1\wedge e_2 + \alpha_{13}e_1\wedge e_j + \alpha_{14} e_1\wedge e_4 + \ldots = 0 $$ - $\rightarrow \alpha_{13} e_1e_3\wedge e_2\wedge e_4 = 0 = -\alpha_{13}(e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)$ - $$ e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0 \Leftrightarrow e_1\otimes \ldots \otimes e_n \notin I(V) $$ @@ -1053,13 +1021,11 @@ $$ $$ Sei $x\in I_n(V) = I(V)\cap V^{\operatorname{op}}$. Aus der obigen Rechnung folgt: Wenn man $x$ in der Tensorbasis ausdrückt. - $$ x = \sum_{1\leqslant i_{1}, \ldots, i_n \leqslant n} x^{i_1, \ldots, i_n} e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n} $$ dann gilt: wenn alle $i_j$'s verschieden sind, so gilt - $$ x^{i_1,\ldots,i_j,i_{j+1},\ldots,l_n} = x^{i_1, \ldots, i_{j+1}, i_j, \ldots, i_n} $$ @@ -1086,13 +1052,10 @@ Die explizite Formel ergibt sich daraus, dass $e_1\wedge \ldots \wedge e_n$ ein $$ f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) = f(e_1) \wedge \ldots \wedge f(e_n) = \ldots\ \text{ (Leibnitz-Formel) } e_1\wedge \ldots \wedge e_n $$ - $[f_{ij}] = M_{\xi}^{\xi} (f)$ - $$ f(e_i) = \sum_{j=1}^{n} f_{ij} e_j $$ - $$ f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) &=& \sum_{j_1,\ldots, j_n = 1}^n f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{j_n} \\&=& \sum_{j=(j_1, \ldots, j_1) \in S_n} f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} \operatorname{sign}(j) e_1\wedge\ldots\wedge e_n @@ -1110,7 +1073,7 @@ Interpretiere $\bigwedge^k V^*$ als gewisse multiliniear Abbildung $V^k \to \mat $$ \bigwedge^k V^* &=& (V^*)^{\otimes k} / I_k(V^*) - \\ (V^*)^{\otimes k} = \{ f\colon V^k \to \mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung } \} + \\ (V^*)^{\otimes k} &=& \{ f\colon V^k \to \mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung } \} $$ $$ @@ -1144,10 +1107,11 @@ $$ $\longrightarrow$ $m$ definiert eine Abbildung -%TODO check \lbrack +TODO%TODO check \lbrack + $$ \overline{m} \colon \bigwedge^kV &\to& \mathbb R - \\ \lbrack v_1\wedge\ldots\wedge v_n \rbrack \mapsto m(v_1\otimes \ldots \otimes v_n) + \\ \lbrack v_1\wedge\ldots\wedge v_n \rbrack &\mapsto& m(v_1\otimes \ldots \otimes v_n) $$ ** Proposition @@ -1170,7 +1134,7 @@ $$ v_1 \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v_k = 0 $$ -Zum Iso %TODO ?? +Zum Iso TODO%TODO ?? $\bigwedge^k V^* \cong (\bigwedge^k V)^*$: wir brauchen eine nichtsinguläre bilineare Paarung $\bigwedge^kV^*\times\bigwedge^kV\to \mathbb R$ (die für $K=1$ offensichtlich ist) $$ @@ -1222,7 +1186,7 @@ $$ $\Rightarrow$ $\det = 0$ -%TODO missing +TODO%TODO missing ** Bemerkung Unter der Identifikation aus der Proposition bekommen wir die Rechenregeln @@ -1239,7 +1203,7 @@ $$ %2019-04-23 -%TODO missing exercise +TODO%TODO missing exercise %2019-04-24 @@ -1273,7 +1237,7 @@ E\to M$ ($\pi$ heißt Bündelprojektion) mit folgenden Eigenschaften: $$ E|_U := \pi^{-1}(U) \overset{\overset{\psi}{\underset{\text{diffeomorph}}\cong}}\longrightarrow U \times \mathbb R^k $$ - sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)%TODO ?? + sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)TODO%TODO ?? $$ \pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1 + \lambda v_2) = \pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1) + \lambda\cdot\pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_2) @@ -1320,9 +1284,11 @@ $$ heißen äußere Potenzen von $TM$ bzw. $T^*M$; entsprechend sind $\bigwedge^*(TM)$, $\bigwedge^*(T^*M)$ definiert. ** Proposition + $$ T_{r,s}(M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^k(T^M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^*(T^*M) $$ + sind Vektorbündel über $M$. Beweis: (Für $T_{r,s}$ andere analog) @@ -1349,7 +1315,7 @@ $$ \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \right|_{q} \otimes \intd x^{j_1}(q) \otimes \ldots - \otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{%TODO\middle + \otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{TODO%TODO\middle |} i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1, \ldots, n \} \right\} $$ @@ -1370,7 +1336,7 @@ $\longrightarrow$ dann ist insbesondere (2) auf errfüllt. ** Fazit -aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruiren ($TM$, $T_{r,s} (M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$) +aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruieren ($TM$, $T_{r,s} (M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$) Slogan: @@ -1433,7 +1399,7 @@ heißen Differentialformen auf $M$ - $\Gamma^{0} (M) = \Gamma\left(\bigwedge^0T^*M\right) = \Gamma(M\times \mathbb R) = C^\infty (M)$ - $\Gamma^{1} (M) = \Gamma \left(\bigwedge^1T^*M \right) = \Gamma(T^*M) =$ Vektorfelder auf $M$ -%TODO msisng +TODO%TODO msisng Wenn $(U, x)$ eine Karte von $M$ ist $\rightsquigarrow$ bekommen @@ -1471,7 +1437,7 @@ für gewisse $\omega_{i_1,\ldots, i_k} \in C^\infty(U)$ Algebraisch heißt es: $$ - \left\{ \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} \mathrel{%TODO\middle + \left\{ \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} \mathrel{TODO%TODO\middle |} i_1, \ldots, i_r, j_1,\ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \right\} $$ @@ -1549,7 +1515,7 @@ Ableitungsoperation ($=$ das äußere Differential) auf Formen. Letztes Mal: $$ \Omega^0(M) &=& C^\infty -\\\Omega^1 (M) = \Gamma (T^* M) +\\\Omega^1 (M) &=& \Gamma (T^* M) $$ haben schon die Ableitungsoperation ($=$ Differential) @@ -1617,12 +1583,12 @@ $$ Zu zeigen: $\intd' \omega = \intd \omega$ -Nach (4') %TODO ref +Nach (4') TODO%TODO ref gilt: $$ \intd'(\wedge_I\intd x^I) - &\overset{\text{Leibnitz (2'%TODO ref + &\overset{\text{Leibnitz (2'TODO%TODO ref )}}{=} & \intd'\omega_I \wedge \intd x^I + \omega_1 \wedge \intd'(\intd x^I) @@ -1647,7 +1613,7 @@ Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + Q \intd y$ $$ \intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x - \\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial G}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y + \\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial Q}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y \\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy) \\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y $$ @@ -1735,7 +1701,7 @@ $$ \\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k})) $$ -%TODO missing +TODO%TODO missing * Integration von Differentialform @@ -1778,7 +1744,7 @@ $$ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine (glatte) Abbildung $c\colon[0,1]^k \to M$ -%TODO Bilchen malwurf +TODO%TODO Bilchen malwurf ** Definition @@ -1806,7 +1772,7 @@ Sei $\omega = f(u) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k \in \Omega^k(\mathbb $$ \int_c \omega &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega = \int_{[0,1]^k} f(c(x)) \operatorname{det} D_x c\,\diffd x^1\cdots \diffd x^k \\ &\overset{\text{Transformationsformel}}=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd^1 u^1 \cdots \intd u^k - %TODO missing + TODO%TODO missing $$ $$ @@ -1814,7 +1780,7 @@ $$ \\ - && \text{wenn $\det D_x c >0$ }, \forall x \in [0,1]^k $$ -%TODO Bildchen 2 +TODO%TODO Bildchen 2 $$ c^* &=& \tilde f(x) \, \diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^k \in \Omega^k([0,1]^k) @@ -1846,7 +1812,7 @@ $$ \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \omega $$ -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen ** Definition @@ -1882,7 +1848,7 @@ $$ Sei $c\colon W_k \to M$ ein singulärer $k$-Würfel. Der Rand von $c$ ist die singuläre $(k-1)$-Kette -%TODO author of book might have done a mistake +TODO%TODO author of book might have done a mistake $$ \partial c &:=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c |_{W_{i,j}} $$ @@ -1897,7 +1863,7 @@ $$ \\ k=2 &\Rightarrow& \partial c = -c|_{W_{1,0}} + c|_{W_{1,1}} - c|_{W_{2,1}} +c|_{W_{2,0}} $$ -%TODO Bilchen (4) +TODO%TODO Bilchen (4) Es gilt $\partial(partial(c)) = 0$. ($k=1$ klar, $k=2$:) @@ -1980,7 +1946,7 @@ $$ $c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$ -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen $$ \partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}} @@ -2128,18 +2094,18 @@ $$ Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$ - 1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$ + 1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_\alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$ 2. $$ \sum_{\alpha\in A} \varphi_{\alpha} (p) = 1, \forall p\in M $$ -%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel +TODO%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel ** Satz -Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$ +Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$ (die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet) @@ -2252,10 +2218,10 @@ $$ $$ $$ - f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part + f^* \omega = \xi ^2 \ldots TODO%TODO missing part $$ -%TODO finish Übung +TODO%TODO finish Übung %2019-05-15 @@ -2270,7 +2236,7 @@ Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent \det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V) $$ -Beweis:%TODO reference +Beweis:TODO%TODO reference $(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht. Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform) @@ -2282,7 +2248,7 @@ $$ $\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) -%TODO Bilchen überschneidende Hügel +TODO%TODO Bilchen überschneidende Hügel Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$) $$ @@ -2292,7 +2258,7 @@ $$ \varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k}) $$ -%TODO Bilchen one bump +TODO%TODO Bilchen one bump Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins. @@ -2323,7 +2289,7 @@ endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen Beweis: -%TODO Bilchen: Langos, mit wellen +TODO%TODO Bilchen: Langos, mit wellen 1. Ziel: @@ -2377,7 +2343,7 @@ Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft (Siehe Übung 24) -%TODO rundes Trapez +TODO%TODO rundes Trapez Sei $$ @@ -2389,14 +2355,13 @@ $$ $$ Nach Konstruktion gilt: - $$ \psi_j\in C^\infty(M, [0,1]) $$ - Behauptung: - +\begin{center} $\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$ +\end{center} $\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$ $\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$ @@ -2454,7 +2419,7 @@ Sie ist orientierungserhaltend $$ \int_{c_2} \omega \overset{ \text{Invarianz*} }= \int_{c_2\circ c_2^{-1}\circ c_1} \omega = \int_{c_1}\omega $$ -%TODO * +TODO%TODO * *der Integration ?? orientierter Abbildungen ** Definition @@ -2467,8 +2432,8 @@ $$ \int_M \omega := \int_c \omega $$ -%TODO Bildchen: Hase I -%TODO irgendwann später verändertes Bildchen +TODO%TODO Bildchen: Hase I +TODO%TODO irgendwann später verändertes Bildchen Nach dem Lemma ist es wohldefiniert Bemerkung: @@ -2529,7 +2494,7 @@ Folgende Beobachtung erleichtern die Integration \int_M \omega = \sum_{i=1}^k \int_{ \underbrace{ U_i }_{ \text{das kann man in Koordinaten ausrechnen} } }\omega $$ -%TODO Bildchen Schuppen dragon +TODO%TODO Bildchen Schuppen dragon Beweis: @@ -2544,7 +2509,7 @@ Beispiel: $M=S^1$, -%TODO Bildchen: nurn Kreis +TODO%TODO Bildchen: nurn Kreis $$ x^{-1} \colon (0,2\pi) \to S^1, \quad \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta) @@ -2623,7 +2588,7 @@ Beispiel: $M=\overline B(0,1) \subseteq\mathbb R^n$ ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M = S^{n-1}$ -%TODO Bilchen Kugel +TODO%TODO Bilchen Kugel ** Beweis: @@ -2643,7 +2608,7 @@ letztes Mal: Mannigfaltigkeiten mit Rand Errinnerung: $(M, \partial M)$, modelliert auf $\mathbb R^n$ oder auf $H^n = \{x\in R^n \mathrel | x^n \geqslant 0 \}$ -%TODO Bild B1 +TODO%TODO Bild B1 $$ M = \overline B (0,1) &\subset& \mathbb R^{n+1} @@ -2662,7 +2627,7 @@ $$ \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega\quad \forall \omega\in \Omega^k (M) $$ -%TODO Bild B2 +TODO%TODO Bild B2 Errinnerung: eine glatte Funktion au $H^n$ ist per Definition die Einschränkung einer glatten Funktion von $\underbrace{ U }_{\mathbb R^n, \text{ offen}}\supseteq H^n$ @@ -2678,17 +2643,17 @@ $\partial M$ Sei $v \in T_p M$, $p\in \partial M$. $v$ heißt nach außen (bzw. nach innen) zeigend, wenn $v(x^n) < 0$ für jede Karte $(U,x)$ mit $x(p)=0$ -%TODO Bild B3 +TODO%TODO Bild B3 ** Bemerkung Dies ist wohldefiniert, weil für jede andere Karte $(V,y)$ mit $y(p)=0$ gilt: $$ - D(y\circ x^{-1}) = \left[ TODO \right]%TODO B4 + D(y\circ x^{-1}) = \left[ TODO \right]TODO%TODO B4 $$ -(weil $y\circ x^{-1}\colon H^n \overset{Diffeo}\to H^n$) %TODO Bilchen B5 +(weil $y\circ x^{-1}\colon H^n \overset{Diffeo}\to H^n$) TODO%TODO Bilchen B5 $$ \tilde x^{-1} = x^-1|_{\mathbb R^{n-1}} @@ -2706,7 +2671,7 @@ $\Rightarrow \{ (U\cap \partial M, \tilde x) \}$ ist ein orientierter Atlas für $v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p(\partial M)$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow v, v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p M$ positiv orientiert für jedes nach außen zeigende $v$ -%TODO Bilchen B6 +TODO%TODO Bilchen B6 Ziel: @@ -2737,7 +2702,7 @@ $$ c([0,1]^n)\cap \partial M = c_{n,0}([0,1]^{n-1}) $$ -%TODO Bildchen B7 +TODO%TODO Bildchen B7 ($U$ existiert nach Definition von einer Mannigfaltigkeit mit Rand: (benutze Karten) @@ -2745,7 +2710,7 @@ $$ Wenn $M$ orientiert ist, bezeichnen wir durch $-M$ die Mannigfaltigkeit $M$ mit Umgekehrter Orientierung (mit Volumenform $-\omega$ statt $\omega$) -NB:%TODO NB? +NB:TODO%TODO NB? $$ \int_{-M} \alpha = - \int_M \alpha @@ -2768,7 +2733,7 @@ $$ \\ \operatorname{supp} \varphi_k \subseteq \underbrace{U_{i_k}}_{\text{offen}} \subseteq c\left([0,1]^n\right) $$ -%TODO Bilchen B8 +TODO%TODO Bilchen B8 Wenn $\omega \in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left([0,1]^n\right)$, $c([0,1]^n) \cap \partial M=\emptyset$ @@ -2795,7 +2760,7 @@ $$ \\&=& \int_{\partial M} \omega $$ -%TODO Bildchen B9 +TODO%TODO Bildchen B9 $c$ orientiert $\Rightarrow \underbrace{ e_1 }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^1} \right)}, \ldots, \underbrace{ e_n }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^n} \right)}$ positiv orientiert. @@ -2848,7 +2813,7 @@ $\Leftarrow$ gilt im Allgemeinen nicht: $M=S^1$, $\omega = \diffd \theta$ (im lokelen Koordinaten) -%TODO Bildchen B10 +TODO%TODO Bildchen B10 $$ \int_{S^1} \omega = \int_0^{2\pi} \intd \theta = 2\pi @@ -3013,7 +2978,7 @@ $$ für eine Funktion $\varphi$ -%TODO Bildchen +TODO%TODO Bildchen $$ \omega = g(\theta)\diffd \theta @@ -3033,7 +2998,7 @@ erfüllt $\varphi(2\pi) = \varphi(0) = 0$ $\Rightarrow \varphi$ definiert eine glatte Funktion auf $S^1$ -%TODO B3 +TODO%TODO B3 * Homotopie und Homotopieinvarianz von der de-Rahm-Kohomologie @@ -3205,14 +3170,13 @@ $$ $$ $$ - \int_{partial M} \omega = \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd x + L_z \intd x\wedge \diffd y + \int_{partial M} \omega &=& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd x + L_z \intd x\wedge \diffd y \\ &\overset{?}=& \int_{\partial M}\langle L, \nu \rangle\intd S $$ $$ \\&& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z - \\&=& \int_U L_x (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \left[\frac{\partial y}{\partial u} \intd u + \frac{\partial y}{\partial v} \intd v \right]\wedge - \wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u} \intd u + \frac{\partial z}{\partial v}\intd v\right) + \\&=& \int_U L_x (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \left[\frac{\partial y}{\partial u} \intd u + \frac{\partial y}{\partial v} \intd v \right]\wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u} \intd u + \frac{\partial z}{\partial v}\intd v\right) \\&=& \int_U L_x(u,v) \underbrace{ \left[ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right] }_{(e_u\times e_v)_x} \intd u\wedge \intd v \\&=& \int_U L_x (u,v) \frac{(e_u\times e_v)_x}{\underbrace{ \lVert e_u \times e_v \rVert}_{\nu_x} } \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \wedge \diffd v \\&=& \int_{\partial M} L_x \nu_x \intd S @@ -3256,7 +3220,7 @@ $$ \int_{\underbrace{\partial B(0,r)}_{r \cdot S^1} } A = \int_{\partial B(0,1)} A $$ -%TODO Bilchen (3) +TODO%TODO Bilchen (3) $$ N := \{ x\in \mathbb R^2 \mathrel| 1\leqslant \lVert x \rVert \leqslant r\}\quad (\text{bzw. } r\leqslant \lVert x \rVert \leqslant 1) @@ -3406,13 +3370,13 @@ $$ $$ ** Korrolar -%TODO homotopräg ?? +TODO%TODO homotopräg ?? $\underset{\text{homotopräg.} }{ M\simeq N } \Rightarrow H^k(N) \cong H^k(M)$ $(k\in \mathbb N)$ ** Korrolar $M\simeq * \Rightarrow H^k(M) \cong \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0 \end{cases}$ -(diese Aussage heißt auch Poincaré-Lemma: Jede geschlossene $k$-Form ($k \geqslant 1$) auf einen zusammenziehbaren Raum ist exact) +(diese Aussage heißt auch Poincaré-Lemma: Jede geschlossene $k$-Form ($k \geqslant 1$) auf einen zusammenziehbaren Raum ist exakt) Beweis: @@ -3452,7 +3416,7 @@ $$ Frage: Was ist $H^k(S^2)$? -%TODO Bilchen B2 +TODO%TODO Bilchen B2 brauchen ein Verfahren, wie man aus der Kohomologie von $U$, $V$, $U\cap V$ die Kohomologie von $U\cap V$ ausrechnet @@ -3478,7 +3442,6 @@ $$ $$ so dass die Diagramme kommutieren. - $$ H^k = \operatorname{ker} \diffd^n / \operatorname{Im} \diffd^{n-1} \rightarrow \text{Kohomologie} $$ @@ -3492,7 +3455,6 @@ $$ erfüllen. ($\Leftrightarrow \diffd \colon \bigoplus_n C^n \to \bigoplus_n C^n$ hat Grad $1$ und erfüllt $\diffd^2 = 0$) $d^n$'s heißen Differntiale von $C^*$ - $$ H^k(C^*, \diffd) := \operatorname{ker}\diffd^{k+1} / \operatorname{Im} \diffd^k $$ @@ -3552,7 +3514,7 @@ Das heißt: $C^0 \cong i(C^0) \subseteq C^1$, $C^2 \cong C^1/i(C^0)$ ** Beispiel \begin{tikzcd} -0 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r] & C^2 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots +0 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r, "\diffd"] & C^2 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots \end{tikzcd} exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus @@ -3569,19 +3531,19 @@ TODO missing 2019-06-18 Gestern: -Haupsatz der homologischen Algebra: +Hauptsatz der homologischen Algebra: eine exakte Sequenz -%TODO Bildchen +TODO%TODO Bildchen von Kokettenkomplex gibt eine lange exakte Sequenz in Kohomologien -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen Nachtrag: -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen $\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv) Sei $[\alpha] \in H^k(B_*)$ mit $q_*([\alpha]) = 0$ @@ -3614,7 +3576,7 @@ $M= U\cup V$, beide offen, $U\cap V$ offen % $\Rightarrow \exists$ l.e.S -%TODO +TODO%TODO % \begin{center} % \begin{tikzcd} % \arrow[r, "\diffd^*"] & H^k(M) \arrow[rr, "i^*_v \oplus i^*_v"] & {} & H^k(V)\oplus H^k(V) \arrow[rr, "q_*"] & {} & H^k(U\cap V) \arrow[rr, "\diffd^*"] & {} & H^{k+1}(M) \arrow[r] & \ldots @@ -3641,10 +3603,10 @@ $$ *** Induktion $d=1$ haben wir es schon ausgerechnet. Induktionsvoraussetzung. Sei die Behauptung richtig für Sphären von Dimension $\leqslant d-1$ -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen $$ - S^d = U\cup V,\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel | x_{d+1} > -\frac{1}{2} \right\},\quad V = \left\{ x\in S^d | x_{d+1} < \frac{1}{2} \right\} + S^d = U\cup V,\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} > -\frac{1}{2} \right\},\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel{\Bigg |} x_{d+1} < \frac{1}{2} \right\} $$ $$ @@ -3668,7 +3630,7 @@ $\Rightarrow$ ist exakt $\Rightarrow$ -%TODO missing +TODO%TODO missing TODO missing $N\subset M$, $M\setminus N$. Möchte die Zerlegung betrachten $M=N \cup (M\setminus N)$, $N$ abgeschlossen, $M$ offen. @@ -3735,9 +3697,9 @@ $H^k(M,N)$ ist mysteriös :-( . Lösung: gibt's für $N$ kompakt, was wir ab jetzt annehmen -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen *** Beweis @@ -3747,11 +3709,11 @@ Setze $C^k := \Omega^k(M,N) / \Omega_c^k (M\setminus N)$ $\rightsquigarrow$ kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen -%TODO Bilchen +TODO%TODO Bilchen $\Rightarrow$ l.e.S. -%TODO Bildchen +TODO%TODO Bildchen ** Proposition $H^k(C^*) = 0$ für alle $k\in \mathbb N$ @@ -3774,15 +3736,10 @@ Wollen: $[\omega] = \diffd[\sigma]$, also wollen wir ein $\sigma \in \Omega^{k-1 Aus der Vorraussetzung an $T$ folgt: $\exists p\colon T\to N$, die eine Homotopieäquivalenz ist (sogar mit $p|_N = \operatorname{id}$) Betrachte jetzt die Form $\omega - p^*\omega$ auf $T$, da $N\simeq T$, gilt $H^k(T,N) = 0$, und deswegen ist $\omega - p^*\omega$ exakt, also - $$ \exists v \in \Omega^{k-1}_c(T, N) $$ - -mit $\omega-p^*\omega = \diffd v$ - -Nun gilt: - +mit $\omega-p^*\omega = \diffd v$. Nun gilt: $$ p = i\circ p \Rightarrow p^* = p^*\circ i^* $$ diff --git a/diffgeoII/latex.template b/diffgeoII/latex.template index 3a165fe..d3a80b3 100644 --- a/diffgeoII/latex.template +++ b/diffgeoII/latex.template @@ -380,6 +380,7 @@ $endif$ $endif$ %custom +\usepackage{stmaryrd} \usepackage{datetime} \usepackage{cancel} \usepackage{bbm} diff --git a/diffgeoII/postprocessor.py b/diffgeoII/postprocessor.py new file mode 100644 index 0000000..e564956 --- /dev/null +++ b/diffgeoII/postprocessor.py @@ -0,0 +1,20 @@ +#TODO Algorithmic efficiency + +import re + +filename = "for-compile.tex" + +with open(filename, 'r') as file: + data = file.read() + copy = data + while True: + data = copy + + #print(data, copy) + if data == copy: + break + +data = re.sub(r'\n\s*\\begin{eqnarray\*}', r' \\begin{eqnarray*}', data) + +with open(filename, 'w') as file: + file.write(data) -- GitLab