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......@@ -630,12 +630,38 @@ R_{X,Y}Z=\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt -\nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt -\nabla_{\ltt X,Y\rtt}
\end{equation}
gilt. Diese Formel wird unter der Berücksichtigung von $\ltt \frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j} \rtt = 0$ zur Berechnung der expliziten Darstellung in Koordinaten genutzt werden:
\begin{eqnarray}
R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}} \lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt &=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_i}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt\rt \\
&=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{jk}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{ik}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt \\
&=& \sum_{s=1}^m \lt \frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_s} \\
&+& \sum_{s=1}^m \lt \Gamma_{jk}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_s} - \Gamma_{ik}^s}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\frac{\partial}{\partial x_s} \rt \\
&=& \sum_{s=1}^m\lt\frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j}\rt + \sum_{r=1}^m\sum_{s=1}^m \lt\Gamma_{jk}^r\Gamma_{ir}^s - \Gamma_{ik}^r\Gamma_{jr}^s\rt\frac{\partial}{\partial x_j} \\
R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}} \lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt
&=&
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}
\lt
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_k}
\rt
- \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_i}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_k}
\rt
\rt
\rt
\\&=&
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{jk}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{ik}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt
\\&=&
\sum_{s=1}^m \lt \frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_s}
\\&+&
\sum_{s=1}^m
\lt
\Gamma_{jk}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}
\frac{\partial}{\partial x_s}
- \Gamma_{ik}^s \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\frac{\partial}{\partial x_s}
\rt
\\&=&
\sum_{s=1}^m\lt\frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j}\rt + \sum_{r=1}^m\sum_{s=1}^m \lt\Gamma_{jk}^r\Gamma_{ir}^s - \Gamma_{ik}^r\Gamma_{jr}^s\rt\frac{\partial}{\partial x_j}
\\
\end{eqnarray}
%TODO
$\Gamma_{ik}^s$ sind in Termen der Metrik $\lt g_{sr}\rt$ beschreibbar. $R_{ijk}^l$ hängt nur von $\lt g_{sr}\rt$ und ihren Ableitungen ab. Aus den Relationen $R_{X,Y}Z=-R_{Y,X}Z$ und $g\lt R_{X,Y}Z, W\rt = -g\lt Z, R_{X,Y}W\rt$ folgt
\begin{eqnarray}
......@@ -712,4 +738,4 @@ Für eine Fläche $\lt M,\nu\rt\subset\mb R^3$ gilt in lokalen Koordinaten
\end{equation}
\end{cor}
Wir haben jetzt für eine UM $M\subset\mb R^n$ viele Größen der inneren Geometrie gefunden. Die Einbettung nach $\mb R^n$ hat viele Identifikationen mit sich gebracht, die Berechnnungen zwar erleichtert, jedoch die Strukturen verschleiert haben. Die Idee ist nun sich von der Einbettung zu lösen und die intrinsischen Strukturen zu studieren. Dies führt zu abstrakten Mannigfaltigkeiten. Dabei soll eine solche lokal wie $\mb R^n$ aussehen, aber zusätzlich eine differenzierbare Struktur tragen.
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Wir haben jetzt für eine UM $M\subset\mb R^n$ viele Größen der inneren Geometrie gefunden. Die Einbettung nach $\mb R^n$ hat viele Identifikationen mit sich gebracht, die Berechnnungen zwar erleichtert, jedoch die Strukturen verschleiert haben. Die Idee ist nun sich von der Einbettung zu lösen und die intrinsischen Strukturen zu studieren. Dies führt zu abstrakten Mannigfaltigkeiten. Dabei soll eine solche lokal wie $\mb R^n$ aussehen, aber zusätzlich eine differenzierbare Struktur tragen.
......@@ -53,7 +53,9 @@ Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
Sei $p\in M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$. Die Koordinatenvektorfelder auf $U$ bzgl. $(U,x)$ sind gegeben als Familie von TV $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\in T_pM, p\in U$. $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f):= \partial_i\lt f\circ x^{-1}\rt\lt x(p)\rt=D_{x(p)}\lt f\circ x^{-1}\rt(e_i), i\in\lb 1,\ldots, n\rb$. Durch die Eigenschaften des Differentials in $\mb R^n$ sind die $\left\frac{\partial}{\partial x_i}\right.\vert$ wirklich TV.
Sei $p\in M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$. Die Koordinatenvektorfelder auf $U$ bzgl. $(U,x)$ sind gegeben als Familie von TV $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\in T_pM, p\in U$. $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f):= \partial_i\lt f\circ x^{-1}\rt\lt x(p)\rt=D_{x(p)}\lt f\circ x^{-1}\rt(e_i), i\in\lb 1,\ldots, n\rb$. Durch die Eigenschaften des Differentials in $\mb R^n$ sind die
% $\left\frac{\partial}{\partial x_i}\right.\vert$
wirklich TV.
\end{bsp}
Wenn wir nun beweisen wollen, dass $\dim T_pM=n$, reicht es zu zeigen, dass die $\partial_i$ eine Basis von $T_pM$ bilden.
......@@ -64,7 +66,7 @@ Sei $M$ eine $n$-dim. MF, $p\in M, ~(U,x)$ eine Karte um $p$. Dann kann jeder Ve
Tatsaechlich gilt $\alpha_i=v\lt x^i\rt$. Insbesondere ist $\lb\partial_i\rb_{i=1}^n$ eine Basis von $T_pM$ und damit ist dessen Dimension $n$.
\begin{lem}
Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\inC^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_if(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\in C^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_if(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
\end{lem}
\begin{proof}
......@@ -116,7 +118,7 @@ Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\i
D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
\]
\[
D_pf (v) (\varphi)=v\lt f^\ast(\varphi)).
D_pf (v) (\varphi)=v\lt f^\ast(\varphi))\rt.
\]
\end{defn}
Wenn $M=\mb R^n, N=\mb R^m$, dann ist $T_pM\simeq \mb R^n, T_pN\simeq\mb R^m$. Dann ist
......@@ -226,7 +228,7 @@ Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildun
Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.
\begin{defn}
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\Rg D_p f = n$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $Rg D_p f = n$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
\end{defn}
Wenn $m\geqslant n$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($= n$).
......@@ -618,4 +620,4 @@ wie gewünscht.
Somit ist die Lie-Algebra von $GL(n,\mb R)$ identifiziert: sie ist isomorph zu den Matrizen $M_n(\mb R)$ mit dem Kommutator $[M,N]=MN-NM$; diese wird auch durch $\mk{gl}(n,\mb R)$ bezeichnet.
Für alle oben eingeführten klassischen Lie-Gruppen ($O(n)$, $SL(n)$ etc.) identifizieren sich somit die Lie-Algebren mit Lie-Unteralgebren von $\mk{gl}(n,\mb R)$ oder $\mk{gl}(n,\mb C)$ mit dem Matrixkommutator. Wir werden in den Übungen sehen, wie man diese Lie-Algebren dann explizit ausrechnet.
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Für alle oben eingeführten klassischen Lie-Gruppen ($O(n)$, $SL(n)$ etc.) identifizieren sich somit die Lie-Algebren mit Lie-Unteralgebren von $\mk{gl}(n,\mb R)$ oder $\mk{gl}(n,\mb C)$ mit dem Matrixkommutator. Wir werden in den Übungen sehen, wie man diese Lie-Algebren dann explizit ausrechnet.
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