\to\text{lokale Einbettung}, T_1\mathcal O_m (D_1\psi_m)\cong\mathfrak g = T_1G
$$
Lokal an $m$ gibt es eine Untermannigfaltigkeit $\subset M$, so dass $T_m M\cong\underbrace{T_m\mathcal O_m}_{\cong\mathfrak g}\oplus T_mS$, denn lokal sieht $\mathcal O_m\subseteq M$ wie $\R^m\subseteq\R^n$ aus.
Daher $\exists v$, $U$ mit $m\in V\subseteq M$, $1\in U\subseteq G$, so dass
$$
\varphi\colon\begin{cases} U\times S &\to V \\(u,s)&\mapsto u\cdot s \end{cases}
$$
mit $\varphi(g, s)= g\cdot s$, $g\in U$, $s\in S$
Behauptung:
Für $V$, $U$ hinreichend klein ist $\varphi$ ein Diffeomorphismus, denn $\varphi$ ist lokal ein Diffeomorphismus:
$$
D_{(1, m)}\varphi=\id
$$
$\varphi$ ist aber auf ganz $G$ definiert:
$$
\hat\varphi\colon\begin{cases} G\times S&\to M\\(g, s)&\mapsto g\cdot s \end{cases}
$$
Behauptung:
Nach eventueller Verkleinerung von $S$ ist $\hat\varphi\colon G\times S\to\hat\varphi(G\times S)$ ein Diffeomorphismen.
Gestern:
$\hat\varphi$ hat konstanten Rang $\Rightarrow\forall(g,s)$ ist es ein lokaler Diffeomorphismus. Wenn es für beliebig kleine Untermannigfaltigkeiten $m\in S'\subseteq S$ kein Diffeomorphismus wird.
&&&& G\cdot S\cap G\cdot S' \arrow[lld, hook]\arrow[rrd, hook]&&&&\\
G\times S \arrow[rrd, "\pi_S"']&& G\cdot S \arrow[d, "q_s"]\arrow[phantom, ll, "\cong"']&&&& G\cdot S' \arrow[d, "q_{s'}"]\arrow[phantom, rr, "\cong"]&& G\times S' \arrow[lld, "\pi_{S'}"]\\
&& S &&&& S' &&\\
&& S \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"] \arrow[lluu, "{(1,s)}", bend left]\arrow[rrrr, maps to]&&&& S' \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"] &&
\end{tikzcd}
\end{center}
Diese Vergleichsabbildung ist glatt als Verkettung glatter Abbildungen. $q\colon M\to M/G$ ist Submersion, weil dies eine lokale Eigenschaft ist.
$hg\in L$, $g\in L \Rightarrow(h,g)\in L\cdot L^{-1}\times L$
$$
L\cdot L^{-1}\times L &\text{ist}&\text{kompakt}
\\L\cdot L^{-1}&:=&\{ l\cdot l'\ |\ l\in L, {l'}^{-1}\in L \}
$$
%TODO definition korrekt?
%TODO Doppelpunkt richtig rum
$\Rightarrow$$G/H$ immer Mannigfaltigkeit ($G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe)
** Beispiel
- $\operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)\overset{\text{Diffeomorphismus}}\cong S$, $\operatorname{SO}(n+1)\curvearrowright S^n$ transitiv $\Rightarrow$ nur eine Bahn
Was ist $G/B$? Das heißt suche $X$, sodass $G\curvearrowright X$ transitiv, $B=\operatorname{Stab}(x_0)$, $b\in B\Leftrightarrow\Lin(e_1)\subseteq\Lin(e_1, e_2)\subseteq\ldots\subseteq\Lin(e_1,\ldots, e_{n-1})$ sind invariante Unterräume.
** Definition
Sei $V$ ein Vektorraum. Eine \emph{Flagge}$F$ in $V$ ist eine Kette von Untervektorräumen
$$
0= V_0\subsetneq\ldots\subsetneq V_k = V
$$
$k$ heißt \emph{Länge} der Flagge. Eine \emph{volle Flagge} ist eine Flagge mit Länge $\dim V$.