2019-12-13

diffgeoIII/edit-this-file.tex

@@ -2607,7 +2607,179 @@ $\Rightarrow g_\infty \in \operatorname{Stab}(m) \subseteq U$
 
 $\lightning$, da $g_{k_n} \underbrace{\in}_{\xrightarrow{n\to \infty}g_\infty} U$
 
-TODO 2019-12-13
+%2019-12-13
+
+Beweis vom Satz von Gestern:
+
+Sei $m\in M$,
+$$
+  \psi_m \colon \begin{cases} G&\to M\\g&\mapsto gm \end{cases}
+$$
+ist glatt und surjektiv, sogar eine Immersion.
+$$
+  \to\text{lokale Einbettung}, T_1\mathcal O_m (D_1 \psi_m) \cong \mathfrak g = T_1G
+$$
+
+Lokal an $m$ gibt es eine Untermannigfaltigkeit $\subset M$, so dass $T_m M\cong \underbrace{T_m\mathcal O_m}_{\cong \mathfrak g} \oplus T_mS$, denn lokal sieht $\mathcal O_m\subseteq M$ wie $\R^m\subseteq\R^n$ aus.
+
+Daher $\exists v$, $U$ mit $m\in V\subseteq M$, $1\in U\subseteq G$, so dass
+$$
+  \varphi\colon \begin{cases} U\times S &\to V \\ (u,s) & \mapsto u\cdot s \end{cases}
+$$
+
+mit $\varphi(g, s) = g\cdot s$, $g\in U$, $s\in S$
+
+Behauptung:
+
+Für $V$, $U$ hinreichend klein ist $\varphi$ ein Diffeomorphismus, denn $\varphi$ ist lokal ein Diffeomorphismus:
+$$
+  D_{(1, m)}\varphi =\id
+$$
+
+$\varphi$ ist aber auf ganz $G$ definiert:
+
+$$
+  \hat \varphi \colon \begin{cases} G\times S&\to M\\(g, s)&\mapsto g\cdot s \end{cases}
+$$
+
+Behauptung:
+
+Nach eventueller Verkleinerung von $S$ ist $\hat \varphi\colon G\times S\to \hat\varphi(G\times S)$ ein Diffeomorphismen.
+
+Gestern:
+
+$\hat \varphi$ hat konstanten Rang $\Rightarrow \forall (g,s)$ ist es ein lokaler Diffeomorphismus. Wenn es für beliebig kleine Untermannigfaltigkeiten $m\in S'\subseteq S$ kein Diffeomorphismus wird.
+
+- $\Rightarrow$ $\exists m_k \in S$, $g_k\in G$, $m_k\to m$, $g_km_k = m$, $(g_k, m_k)$ konvergiert nicht
+- $\Rightarrow$ $m_k =g_k^{-1} m$, $m_k \to m\Rightarrow g_k^{-1} \to m$
+
+$$
+  (m_k, m) \in M\times M \subseteq K \text{ kompakt } \overset{\text{Wirkung, eigentlich}}\Rightarrow (g_k^{-1},m)\in L\subseteq G\times M \text{ kompakt}
+$$
+
+das heißt für konvergente Teilfolge
+$$
+  g_{k_n}\to : g_\infty, \quad(g_\infty, m)\in L \Rightarrow g_\infty m = m \overset{\text{Wirkung, frei}}\Rightarrow g_{k_n} \to g_\infty = 1
+$$
+$$
+  \overset{\text{konvergente Teilfolge, beliebig}}\Rightarrow g_k \to 1\quad\quad \lightning \text{ zu konvergiert nicht}
+$$
+
+Da für $S$ hinreichend klein $\hat \varphi \colon G\times S \to \varphi(G\times S)$ ein Diffeomorphismus ist, folgt
+$$
+  \Rightarrow \hat \varphi(G\times S) = G\cdot S \cong G\times S
+$$
+
+$$
+  \Rightarrow G\cdot S/G \cong S, \quad G\cdot S \xrightarrow{q_s} S
+$$
+
+ist Immersion. Das funktioniert für jedes $m\in M$ und die glatten Strukturen sind kompatibel:
+
+$$
+  G\cdot S \cap G\cdot S' \neq \emptyset
+$$
+
+dann ist die Vergleichsabbildung
+
+$$
+  \underbrace{q_s(\underbrace{G\cdot S'}_{\subseteq G\cap S})}_{\subseteq S}
+  \to q_{s'}(G\cdot S' \cap G\cdot S)
+$$
+
+$\exists! g_s : g_s s\in G\cdot S'$
+
+$\exists! g_{s'}, S' : g_sS = g_{s'} S'$
+
+% \smash{\exists! g_s : g_s s\in G\cdot S'}
+% \smash{\exists! g_{s'}, S' : g_sS = g_{s'} S'}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+  &[-20pt] &[-20pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-20pt] &[-20pt] \\
+                               &                                   &                                                                             &  & G\cdot S\cap G\cdot S' \arrow[lld, hook] \arrow[rrd, hook] &  &                                                   &                                          &                                    \\
+G\times S \arrow[rrd, "\pi_S"'] &                                   & G\cdot S \arrow[d, "q_s"] \arrow[phantom, ll, "\cong"']                              &  &                                                            &  & G\cdot S' \arrow[d, "q_{s'}"] \arrow[phantom, rr, "\cong"] &                                          & G\times S' \arrow[lld, "\pi_{S'}"] \\
+                               &                                   & S                                                                           &  &                                                            &  & S'                                                &                                          &                                    \\
+                               &                                   & S \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"] \arrow[lluu, "{(1,s)}", bend left] \arrow[rrrr, maps to] &  &                                                            &  & S' \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"]                               &                                          &
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Diese Vergleichsabbildung ist glatt als Verkettung glatter Abbildungen. $q\colon M\to M/G$ ist Submersion, weil dies eine lokale Eigenschaft ist.
+
+** Beispiel
+
+$G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe
+
+$$
+  \Rightarrow \begin{matrix} H&\overset{L}\curvearrowright& G \\ h&\mapsto & (g\mapsto h_g) \end{matrix}
+$$
+
+ist automatisch frei und eigentlich.
+
+$$
+  \begin{matrix} H\times G \to G\times G \\ (h,g)&\mapsto & (hg, g) \end{matrix}
+$$
+wenn $K\subseteq G\times G$ kompakt
+ - $\Rightarrow$ $\pi_1(K)\subseteq G$, $\pi_2(K)\subseteq G$ kompakt
+ - $\Rightarrow$ $K\subseteq \pi_1(K) \times \pi_2(K)$
+   (oBdA: $K=L\times L$ für ein kompaktes $L$)
+
+$hg\in L$, $g\in L \Rightarrow (h,g)\in L\cdot L^{-1}\times L$
+$$
+  L\cdot L^{-1}\times L &\text{ist}& \text{kompakt}
+  \\L\cdot L^{-1}&:=& \{ l\cdot l'\ |\ l\in L, {l'}^{-1} \in L \}
+$$
+%TODO definition korrekt?
+%TODO Doppelpunkt richtig rum
+
+$\Rightarrow$ $G/H$ immer Mannigfaltigkeit ($G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe)
+
+** Beispiel
+
+- $\operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) \overset{\text{Diffeomorphismus}}\cong S$, $\operatorname{SO}(n+1)\curvearrowright S^n$ transitiv $\Rightarrow$ nur eine Bahn
+  $$
+    \operatorname{Stab}(e_1) =
+    \left[
+    \begin{array}{c|c}
+      1 & \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \\
+      \hline
+      \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} & \operatorname{SO}(n)
+    \end{array}
+    \right]
+    \cong \operatorname{SO(n)}
+  $$
+ - $\operatorname{SU}(n+1)/\operatorname{SU(n)} \cong S^{2n+1}$
+   $$
+     \operatorname{SU}(n+1) \curvearrowright \{ z\in \mathbb C^n\ |\ \norm{z} = 1 \} \cong S^{2n+1}
+   $$
+ - $\operatorname{GL}(n, \R) = G$, $B = \left\{ \begin{matrix} * & \hdots & *\\ & \ddots & \vdots \\ &&* \end{matrix} \in \operatorname{GL}(n,\R) \right\}$
+   Frage:
+   Was ist $G/B$? Das heißt suche $X$, sodass $G\curvearrowright X$ transitiv, $B= \operatorname{Stab}(x_0)$, $b\in B\Leftrightarrow \Lin(e_1)\subseteq \Lin(e_1, e_2)\subseteq\ldots\subseteq \Lin(e_1,\ldots, e_{n-1})$ sind invariante Unterräume.
+
+** Definition
+
+Sei $V$ ein Vektorraum. Eine \emph{Flagge} $F$ in $V$ ist eine Kette von Untervektorräumen
+$$
+  0 = V_0 \subsetneq \ldots \subsetneq V_k = V
+$$
+
+$k$ heißt \emph{Länge} der Flagge. Eine \emph{volle Flagge} ist eine Flagge mit Länge $\dim V$.
+
+$$
+  G/B = \{ \text{ alle vollen Flaggen in } \R^n \}
+$$
+
+$$
+  G\curvearrowright \{ \text{volle Flaggen} \}\quad \text{klar}
+$$
+
+transitiv:
+
+Zu jeder vollen Flagge $\mathcal F$ existiert eine Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit
+$$
+  \mathcal F &=& (0\subsetneq \langle v_1 \rangle\subsetneq \ldots\subsetneq \langle v_1,\ldots, v_{n-1} \rangle \subsetneq V)
+  \\ B&=&\operatorname{Stab}(0\subsetneq  \langle e_1 \rangle\subsetneq \ldots\subsetneq \langle e_1,\ldots, e_{n-1} \rangle \subsetneq \R^n)
+$$
+
 TODO 2019-12-19
 TODO 2019-12-20
-

diffgeoIII/latex.template

@@ -398,6 +398,7 @@ $endif$
 \newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
 \newcommand{ \rg }{ \operatorname{rg} }
 \newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
+\newcommand{ \Lin }{ \operatorname{span} }
 \newcommand{ \id }{ \operatorname{id} }
 \newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }