From ccf6a6d7ed6139eefc354b3123b05c74ae8f079a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Harry Fuchs Date: Wed, 8 Jan 2020 11:15:25 +0100 Subject: [PATCH] 2019-12-13 --- diffgeoIII/edit-this-file.tex | 176 +++++++++++++++++++++++++++++++++- diffgeoIII/latex.template | 1 + 2 files changed, 175 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/diffgeoIII/edit-this-file.tex b/diffgeoIII/edit-this-file.tex index 5c0f9fa..f255332 100644 --- a/diffgeoIII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoIII/edit-this-file.tex @@ -2607,7 +2607,179 @@ $\Rightarrow g_\infty \in \operatorname{Stab}(m) \subseteq U$ $\lightning$, da $g_{k_n} \underbrace{\in}_{\xrightarrow{n\to \infty}g_\infty} U$ -TODO 2019-12-13 +%2019-12-13 + +Beweis vom Satz von Gestern: + +Sei $m\in M$, +$$ + \psi_m \colon \begin{cases} G&\to M\\g&\mapsto gm \end{cases} +$$ +ist glatt und surjektiv, sogar eine Immersion. +$$ + \to\text{lokale Einbettung}, T_1\mathcal O_m (D_1 \psi_m) \cong \mathfrak g = T_1G +$$ + +Lokal an $m$ gibt es eine Untermannigfaltigkeit $\subset M$, so dass $T_m M\cong \underbrace{T_m\mathcal O_m}_{\cong \mathfrak g} \oplus T_mS$, denn lokal sieht $\mathcal O_m\subseteq M$ wie $\R^m\subseteq\R^n$ aus. + +Daher $\exists v$, $U$ mit $m\in V\subseteq M$, $1\in U\subseteq G$, so dass +$$ + \varphi\colon \begin{cases} U\times S &\to V \\ (u,s) & \mapsto u\cdot s \end{cases} +$$ + +mit $\varphi(g, s) = g\cdot s$, $g\in U$, $s\in S$ + +Behauptung: + +Für $V$, $U$ hinreichend klein ist $\varphi$ ein Diffeomorphismus, denn $\varphi$ ist lokal ein Diffeomorphismus: +$$ + D_{(1, m)}\varphi =\id +$$ + +$\varphi$ ist aber auf ganz $G$ definiert: + +$$ + \hat \varphi \colon \begin{cases} G\times S&\to M\\(g, s)&\mapsto g\cdot s \end{cases} +$$ + +Behauptung: + +Nach eventueller Verkleinerung von $S$ ist $\hat \varphi\colon G\times S\to \hat\varphi(G\times S)$ ein Diffeomorphismen. + +Gestern: + +$\hat \varphi$ hat konstanten Rang $\Rightarrow \forall (g,s)$ ist es ein lokaler Diffeomorphismus. Wenn es für beliebig kleine Untermannigfaltigkeiten $m\in S'\subseteq S$ kein Diffeomorphismus wird. + +- $\Rightarrow$ $\exists m_k \in S$, $g_k\in G$, $m_k\to m$, $g_km_k = m$, $(g_k, m_k)$ konvergiert nicht +- $\Rightarrow$ $m_k =g_k^{-1} m$, $m_k \to m\Rightarrow g_k^{-1} \to m$ + +$$ + (m_k, m) \in M\times M \subseteq K \text{ kompakt } \overset{\text{Wirkung, eigentlich}}\Rightarrow (g_k^{-1},m)\in L\subseteq G\times M \text{ kompakt} +$$ + +das heißt für konvergente Teilfolge +$$ + g_{k_n}\to : g_\infty, \quad(g_\infty, m)\in L \Rightarrow g_\infty m = m \overset{\text{Wirkung, frei}}\Rightarrow g_{k_n} \to g_\infty = 1 +$$ +$$ + \overset{\text{konvergente Teilfolge, beliebig}}\Rightarrow g_k \to 1\quad\quad \lightning \text{ zu konvergiert nicht} +$$ + +Da für $S$ hinreichend klein $\hat \varphi \colon G\times S \to \varphi(G\times S)$ ein Diffeomorphismus ist, folgt +$$ + \Rightarrow \hat \varphi(G\times S) = G\cdot S \cong G\times S +$$ + +$$ + \Rightarrow G\cdot S/G \cong S, \quad G\cdot S \xrightarrow{q_s} S +$$ + +ist Immersion. Das funktioniert für jedes $m\in M$ und die glatten Strukturen sind kompatibel: + +$$ + G\cdot S \cap G\cdot S' \neq \emptyset +$$ + +dann ist die Vergleichsabbildung + +$$ + \underbrace{q_s(\underbrace{G\cdot S'}_{\subseteq G\cap S})}_{\subseteq S} + \to q_{s'}(G\cdot S' \cap G\cdot S) +$$ + +$\exists! g_s : g_s s\in G\cdot S'$ + +$\exists! g_{s'}, S' : g_sS = g_{s'} S'$ + +% \smash{\exists! g_s : g_s s\in G\cdot S'} +% \smash{\exists! g_{s'}, S' : g_sS = g_{s'} S'} + +\begin{center} +\begin{tikzcd} + &[-20pt] &[-20pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-25pt] &[-20pt] &[-20pt] \\ + & & & & G\cdot S\cap G\cdot S' \arrow[lld, hook] \arrow[rrd, hook] & & & & \\ +G\times S \arrow[rrd, "\pi_S"'] & & G\cdot S \arrow[d, "q_s"] \arrow[phantom, ll, "\cong"'] & & & & G\cdot S' \arrow[d, "q_{s'}"] \arrow[phantom, rr, "\cong"] & & G\times S' \arrow[lld, "\pi_{S'}"] \\ + & & S & & & & S' & & \\ + & & S \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"] \arrow[lluu, "{(1,s)}", bend left] \arrow[rrrr, maps to] & & & & S' \arrow[phantom, u, "{\rotatebox[origin=c]{+90}{$\in$}}"] & & +\end{tikzcd} +\end{center} + +Diese Vergleichsabbildung ist glatt als Verkettung glatter Abbildungen. $q\colon M\to M/G$ ist Submersion, weil dies eine lokale Eigenschaft ist. + +** Beispiel + +$G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe + +$$ + \Rightarrow \begin{matrix} H&\overset{L}\curvearrowright& G \\ h&\mapsto & (g\mapsto h_g) \end{matrix} +$$ + +ist automatisch frei und eigentlich. + +$$ + \begin{matrix} H\times G \to G\times G \\ (h,g)&\mapsto & (hg, g) \end{matrix} +$$ +wenn $K\subseteq G\times G$ kompakt + - $\Rightarrow$ $\pi_1(K)\subseteq G$, $\pi_2(K)\subseteq G$ kompakt + - $\Rightarrow$ $K\subseteq \pi_1(K) \times \pi_2(K)$ + (oBdA: $K=L\times L$ für ein kompaktes $L$) + +$hg\in L$, $g\in L \Rightarrow (h,g)\in L\cdot L^{-1}\times L$ +$$ + L\cdot L^{-1}\times L &\text{ist}& \text{kompakt} + \\L\cdot L^{-1}&:=& \{ l\cdot l'\ |\ l\in L, {l'}^{-1} \in L \} +$$ +%TODO definition korrekt? +%TODO Doppelpunkt richtig rum + +$\Rightarrow$ $G/H$ immer Mannigfaltigkeit ($G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe) + +** Beispiel + +- $\operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) \overset{\text{Diffeomorphismus}}\cong S$, $\operatorname{SO}(n+1)\curvearrowright S^n$ transitiv $\Rightarrow$ nur eine Bahn + $$ + \operatorname{Stab}(e_1) = + \left[ + \begin{array}{c|c} + 1 & \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \\ + \hline + \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} & \operatorname{SO}(n) + \end{array} + \right] + \cong \operatorname{SO(n)} + $$ + - $\operatorname{SU}(n+1)/\operatorname{SU(n)} \cong S^{2n+1}$ + $$ + \operatorname{SU}(n+1) \curvearrowright \{ z\in \mathbb C^n\ |\ \norm{z} = 1 \} \cong S^{2n+1} + $$ + - $\operatorname{GL}(n, \R) = G$, $B = \left\{ \begin{matrix} * & \hdots & *\\ & \ddots & \vdots \\ &&* \end{matrix} \in \operatorname{GL}(n,\R) \right\}$ + Frage: + Was ist $G/B$? Das heißt suche $X$, sodass $G\curvearrowright X$ transitiv, $B= \operatorname{Stab}(x_0)$, $b\in B\Leftrightarrow \Lin(e_1)\subseteq \Lin(e_1, e_2)\subseteq\ldots\subseteq \Lin(e_1,\ldots, e_{n-1})$ sind invariante Unterräume. + +** Definition + +Sei $V$ ein Vektorraum. Eine \emph{Flagge} $F$ in $V$ ist eine Kette von Untervektorräumen +$$ + 0 = V_0 \subsetneq \ldots \subsetneq V_k = V +$$ + +$k$ heißt \emph{Länge} der Flagge. Eine \emph{volle Flagge} ist eine Flagge mit Länge $\dim V$. + +$$ + G/B = \{ \text{ alle vollen Flaggen in } \R^n \} +$$ + +$$ + G\curvearrowright \{ \text{volle Flaggen} \}\quad \text{klar} +$$ + +transitiv: + +Zu jeder vollen Flagge $\mathcal F$ existiert eine Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit +$$ + \mathcal F &=& (0\subsetneq \langle v_1 \rangle\subsetneq \ldots\subsetneq \langle v_1,\ldots, v_{n-1} \rangle \subsetneq V) + \\ B&=&\operatorname{Stab}(0\subsetneq \langle e_1 \rangle\subsetneq \ldots\subsetneq \langle e_1,\ldots, e_{n-1} \rangle \subsetneq \R^n) +$$ + TODO 2019-12-19 TODO 2019-12-20 - diff --git a/diffgeoIII/latex.template b/diffgeoIII/latex.template index 5f6ea56..f6c65c1 100644 --- a/diffgeoIII/latex.template +++ b/diffgeoIII/latex.template @@ -398,6 +398,7 @@ $endif$ \newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} } \newcommand{ \rg }{ \operatorname{rg} } \newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} } +\newcommand{ \Lin }{ \operatorname{span} } \newcommand{ \id }{ \operatorname{id} } \newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} } -- GitLab