2019-05-08

diffgeoII/compile.sh

@@ -15,9 +15,11 @@ pdflatex $latexoption for-compile.tex
 ec=$?
 if [[ $ec == 0 ]]
 then
-  pdflatex $latexoption for-compile.tex
-  pdflatex $latexoption for-compile.tex
-  pdflatex $latexoption for-compile.tex
+  if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+  fi  
 else
   echo "Compilation failed"
   exit $ec

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -1943,3 +1943,251 @@ wenn $\operatorname{dim} M=n (+\ldots)$ für $\omega\in \Omega^n(M) \rightsquiga
 $$
   \int_{\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit mit Rand}}} \intd \omega' = \int_{\partial M} \omega'
 $$
+
+%2019-05-08
+
+* Integration von Differentialformen
+
+$M$ -- eine Mannigfaltigkeit, $\omega \in \Omega^k(M)$
+
+$$
+  c\colon [0,1]^k \to M
+$$
+
+singulärer $k$-Würfel
+
+$$
+  \int_c \omega &:=& \int_{[0,1]^k} c^*\omega
+$$
+
+($c^*\omega \underbrace{\text{linear}}{=} f(u) \intd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k$)
+
+haben auch 
+
+$$
+  \partial c = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j}
+$$
+
+$c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$
+
+%TODO Bilchen
+
+$$
+  \partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}} 
+$$
+
+** Satz von Stokes lokale Version
+
+$$
+  \underbrace{ \text{Newton-Leibnitz}}_{k=1} \text- \underbrace{\text{Green}}_{k=2} \text- \underbrace{\text{Gauss-Ostragradisk}}_{k=3} \text - \underbrace{\text{Stokes-Poincaré}}_{k\in \mathbb N}
+$$
+
+Wenn $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel.
+
+Dann gilt:
+
+$$
+  \int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega
+$$
+
+Beweis:
+
+Zunächst $M = \mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \hookrightarrow \mathbb R^k$
+
+Für $k=2$:
+
+$$
+  \omega &\in& \Omega^1([0,1]^2)
+  \\ \Rightarrow \omega(u) &=& f_1(u)\diffd u^2 + f_2(u) \diffd u^1, \quad u\in [0,1]^2, f_1, f_2 \in C^\infty\left( [0,1]^2 \right)
+$$
+
+Integrieren ist linear $\Rightarrow$ können $f_1(u)\diffd u^2$, $f_2(u)\diffd u^1$ separat behandeln
+
+$$
+  \diffd (f_1(u) \diffd u^2) = \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd ^u1 \wedge \intd u^2
+$$
+
+$$
+  \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \wedge \intd u^2 
+  &\overset{\text{Def.}}{=}&
+  \int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \intd u^2
+  = \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \right] \intd u^2
+  \\ &=& \int_0^1 (f_1 (1,u_2) - f_1(0,u_2)) \intd u^2
+  \\&=& \int_{W_{1,1}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + \int_{W_{2,0}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2
+  \\&-& \int_{W_{2,1}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 - \int_{W_{1,0}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + 
+  \\&=& \int_{\partial [0,1]^2} f_1 (u) \intd u^2
+$$
+
+Für $f_2 (u) \diffd u^1 \rightsquigarrow \diffd (f_2(u) \diffd u_1) = -\frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2$
+
+Dann bekommt man analog
+$$
+  -\int \frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2 = \int_{\partial [0,1]^2} f_2 (u) \diffd u^1
+$$
+
+(beachte Vorzeichen bei Randkomponenten!)
+
+Im Allgemeinen (für $k\in \mathbb N$): jedes $\omega\in\Omega^{k-1}\left([0,1]^k\right)$ ist von der Form
+
+$$
+  \omega(u) = \sum_{i=1}^k \underbrace{ f_2(u) }_{\in C^{\infty}\left( [0,1]^k \right) } \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^{i-1} \wedge \diffd u^{i+1} \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
+$$
+
+Dach über $\diffd u^i$ heißt weglassen.
+
+$$
+  \partial c = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j}
+$$
+
+Wegen Linearität reicht es einen Summanden
+
+$$
+  \omega_i = f_i (u) \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{ \diffd u^i } \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
+$$
+
+zu betrachten
+
+$$
+  \diffd \omega_i = (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^i \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
+$$
+
+$$
+  \int_{[0,1]^k} \diffd \omega_i &=& \int_{[0,1]^k} (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \intd u^1 \cdots \diffd u^k
+  \\&=& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, u^{i+1}, 1, u^{i+1}, \ldots, u^k) \diffd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^1 }\cdots \diffd u^k
+  \\&-& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, \ldots, u^{i-1}, 0, u^{i+1}, \ldots, u^k) \intd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^i } \cdots \diffd u^k
+  \\&(*)=& \sum_{l=1}^{k} \sum_{j=0}^{1} (-1)^{l+j} \int_{W_{l,j}} \omega_i = \int_{\partial c} \omega_i
+$$
+
+Beachte $(*)$ alle Summanden mit $l\neq i$ verschwinden (da ist eine der Variablen $u^1,\ldots, u^{i-1}, u^{i+1}, \ldots, u^k$ konstant)
+
+Allgemeiner Fall:
+
+$c\colon [0,1]^k \to M$, $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$
+
+$c_{i,j} = c|_{W_{i,j}} \cong W_{k-1}$
+
+$$
+  \int_{\partial c} \omega
+  &=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^1 (-1)^{i+1} \int_{c_{i,j}} \omega
+  \\&\overset{\text{Def.}}=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} \int_{[0,1]^{k-1}} c_{i,j}^* \omega
+  \\&=& \int_{\partial[0,1]^k} c^* \omega
+  \\&\overset{\text{Stokes für } [0,1]^k \text{ eben bewiesen}}=&
+  \int_{[0,1]^k} \diffd (c^* \omega)
+  \\&\overset{\diffd c^* = c^* \diffd}=& \int_{[0,1]^k} c^* (\diffd \omega)
+  \\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \diffd \omega
+$$
+
+Errinnerung:
+
+Dann gilt:
+
+$$
+  \int_{c\circ F} \omega &=& \int_c \omega, \quad \omega \in \Omega^k (M)
+$$
+
+Fazit:
+
+$\int \omega$ ist koordinatennabhängig, wenn man nur orientierungserhaltende Koordinatentransformation zulässt.
+
+** Definition
+
+Eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ heißt \emph{orientierbar}, wenn $\exists \omega \in \Omega^n (M)$ mit $\omega(p) \neq 0$, $\forall p\in M$.
+
+** Bemerkung
+
+Die Wahl einer Volumenform $\omega$ definiert eine Orientierung von $T_p M$ für jedes $p\in M$
+
+($(e_1,\ldots, e_n) \in T_pM$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow$ $\omega(e_1, \ldots, e_n) > 0$)
+
+($M$ ist also orientierbar, wenn man alle $T_pM$ konstant orientieren kann)
+
+** Bemerkung
+
+Innerhalb einer Karte $(U,x)$ existiert immer eine Volumenform $\diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n$
+
+D.h. Orientierbarkeit hängt davon ab, ob man diese lokalen Volumenformen zu $\omega \in \Omega^n (M)$ „verkleben“ kann. Solche 
+„lokal-zu-global“-Fragen werden mit der Teilung der Eins behandelt
+
+** Definition
+
+$$
+  \operatorname{supp} \varphi := \overline{ \{ x\in M \mathrel| \varphi(x) \neq 0 \} }
+$$
+
+** Definition
+
+Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$
+
+ 1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$
+ 
+ 2.
+    $$
+      \sum_{\alpha\in A} \varphi_{\alpha} (p) = 1, \forall p\in M
+    $$
+
+%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel
+
+** Satz
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$
+
+(die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet)
+
+Die Menge $K$ kann sogar abzählbar gewählt werden.
+
+Beweis: wird nachgeliefert
+
+** Bemerkung
+
+Kurzfassung des Satzes: Mannigfaltigkeiten sind \emph{parakompakt}
+
+** Proposition
+
+$M$ ist orientierbar genau dann, wenn es einen Atlas
+
+$$
+  \mathcal A = \{ (U, x) \}
+$$
+
+von $M$ gibt mit der Eigenschaft $\det D_{\xi} (y\circ x^{-1}) > 0, \xi \in x(U\cap V)$, für alle $(U,x)$, $(V,y) \in \mathcal A$
+
+Beweis:
+
+Orientierbarkeit $\Rightarrow \exists \mathcal A$:
+
+Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ eine Volumenform
+
+$$
+  \mathcal A := \left\{ \underbrace{ (U,x) }_{\text{Karte}} \ \middle |\ \omega\left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) > 0 \right\}
+$$
+
+Das ist ein Atlas (nimm beliebige $(U', x')$ und stelle zwei Koordinaten gegebenenfalls um) $\mathcal A$ erfüllt die Aussage des Satzes, weil wegen $(U,x)$, $(V,y)$ zwei Karten mit $U\cap V \neq \emptyset$
+
+$$
+  \Rightarrow \omega = f \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n = g  \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n
+$$
+
+auf $U\cap V$ mit $f$, $g\in C^\infty (U\cap V)$, $f(p) \neq 0$, $g(p)\neq 0$, $p \in U\cap V$, (weil $\omega \neq 0$)
+
+Es gilt:
+
+$$
+  \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n = \frac{f}{g}  \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n
+$$
+
+und
+$$
+  h = \frac{f}{g} > 0
+$$
+
+Andererseits gilt
+
+$$
+  h(p) = \det D_p(y\circ x^{-1})
+$$
+
+weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)$, $g=\omega \left( \frac{\partial}{\partial y^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y^n} \right)$
+
+$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen )
+
+$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert