($M$ ist also orientierbar, wenn man alle $T_pM$ konstant orientieren kann)
** Bemerkung
Innerhalb einer Karte $(U,x)$ existiert immer eine Volumenform $\diffd x^1\wedge\ldots\wedge\diffd x^n$
D.h. Orientierbarkeit hängt davon ab, ob man diese lokalen Volumenformen zu $\omega\in\Omega^n (M)$ „verkleben“ kann. Solche
„lokal-zu-global“-Fragen werden mit der Teilung der Eins behandelt
** Definition
$$
\operatorname{supp}\varphi :=\overline{\{ x\in M \mathrel| \varphi(x)\neq0\}}
$$
** Definition
Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha\in A}\subset C^\infty(M, [0,1])$
1. $\{\operatorname{supp}\varphi_alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in\operatorname{supp}\varphi_\alpha$
2.
$$
\sum_{\alpha\in A}\varphi_{\alpha}(p)=1, \forall p\in M
$$
%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel
** Satz
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{\varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists\alpha\in A$
(die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet)
Die Menge $K$ kann sogar abzählbar gewählt werden.
Beweis: wird nachgeliefert
** Bemerkung
Kurzfassung des Satzes: Mannigfaltigkeiten sind \emph{parakompakt}
** Proposition
$M$ ist orientierbar genau dann, wenn es einen Atlas
$$
\mathcal A =\{(U, x)\}
$$
von $M$ gibt mit der Eigenschaft $\det D_{\xi}(y\circ x^{-1}) > 0, \xi\in x(U\cap V)$, für alle $(U,x)$, $(V,y)\in\mathcal A$
Das ist ein Atlas (nimm beliebige $(U', x')$ und stelle zwei Koordinaten gegebenenfalls um) $\mathcal A$ erfüllt die Aussage des Satzes, weil wegen $(U,x)$, $(V,y)$ zwei Karten mit $U\cap V \neq\emptyset$
$$
\Rightarrow\omega= f \intd x^1\wedge\ldots\wedge\diffd x^n = g \intd y^1\wedge\ldots\wedge\diffd y^n
$$
auf $U\cap V$ mit $f$, $g\in C^\infty(U\cap V)$, $f(p)\neq0$, $g(p)\neq0$, $p \in U\cap V$, (weil $\omega\neq0$)