Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $M$ eine Mannigfaltigkeit, $G\overset{\alpha}{\curvearrowright} M$ durch Diffeomorphismen $\Leftrightarrow\alpha\colon G\to\operatorname{Diff}(M)$
#+END_QUOTE
Warum ist $M/G$ eine Mannigfaltigkeit?
$$
M/G =\{\mathcal O_m\ |\ m\in M \},\quad\mathcal O_m := G \cot m =\{(\alpha(g))(m)\ |\ g\in G \}
$$
** Beispiel
$$
M =\R^2, \quad G =\mathrel Z /3\mathrel Z \curvearrowright R^2
$$
durch Rotation
TODO Bildchen 34
Stabilisatoren sind böse!
$$
M/G \text{TODO Bildchen 35}
$$
Sei $G\curvearrowright M$ eine Wirkung [ab jetzt: Wirkung stets glatt!]
$$
\hat\alpha\colon\begin{cases} G\times M &\to M\\(g,m)&\mapsto(\alpha(g))(m)\end{cases}
$$
Sei $m\in M$. Betrachte die Abbildung
$$
\psi_m \colon G&\to& M
\\ g&\mapsto&(\alpha(g))(m)
\\\rightsquigarrow D_1\psi_m \colon\mathfrak g &\to& T_m M
$$
** Definition
Das \emph{Killing-Vektorfeld} zur Wirkung $\alpha$ und einem Element $\xi\in\mathfrak g$ ist $m\mapsto D_1\psi_m (\xi)$
** Beispiel
TODO Bildchen 36
$X\in\Gamma(T\Pi^2)$ definiert eine Wirkung (vgl. Hausaufgabe)
$$
\R&\curvearrowright&\Pi^2
\\t&\mapsto&\phi_t
$$
$(\alpha, \beta)$$\mathbb Q$-linear unabhängig $\Rightarrow$ die Obrits sind nicht geschlossen und sogar dicht in $\Pi^2$ !
Betrachte $\Pi^2/\R$ mit Quotiententopologie: $U\subseteq\Pi^2/\R$ offen, nicht leer, dann:
$$
\exists[m]\in U \Rightarrow\mathcal O \subseteq q^{-1}(U)\text{ offen}
$$
Wenn $[m']\neq[m]\in\Pi^2/\R$
- $\Rightarrow\mathcal O_m, \mathcal O_m$ sind beide dich
- $\Rightarrow$ wenn $U'\ni[m']$ eine Umgebung von $[m']$ ist,
$$
\left.
\begin{matrix}
\mathcal O_m \subseteq q^{-1}(U')
\\
\mathcal O_m \subseteq q^{-1}(U)
\end{matrix}
\right\}
\text{ offen in }\Pi^2
$$
- $\Rightarrow$$\mathcal O_m\cap g^{-1}(U')\neq\emptyset$, weil $\mathcal O_m$ dicht
K\subseteq Y &\Rightarrow& f^{-1}(K)\subseteq X \text{ kompakt}
$$
** Definition
Eine Lie-Gruppenwirkung $G\overset\alpha\curvearrowright M$ heißt \emph{eigentlich}, wenn die Abbildung
$$
\left\{
\begin{matrix}
G\times M \to M\times M
\\
(g,m)\mapsto((\alpha(g))(m),m)
\end{matrix}
\right.
$$
eigentlich ist.
** Erinnerung
$G\curvearrowright$ heißt frei, wenn $\operatorname{Stab}(m)=\{1\}$, $m\in M$
$$
(\Leftrightarrow\forall g \neq1\forall m\in M (\alpha(g))(m)\neq m)
$$
** Beispiel
$G$ ist kompakt $\Rightarrow$ jede Wirkung $G\curvearrowright M$ ist eigentlich, wenn $K\subseteq M\times M$ kompakt, ist $\pi_2(K)\subseteq M$ kompakt
Sei $G\curvearrowright M$ eine freie und eigentlich Wirkung. Der Quotient $M/G$ hat eine eindeutig bestimmte glatte Struktur, so dass $q\colon M\to M/G$ eine Submersion ist.
Daher ist das Bild von der glatten Abbildung $\psi_m \colon G\to M$ lokal (z.B. an $1\in G$) eine Untermannigfaltigkeit [z.B. weil es in lokalen Koordinaten wie ein Graph einer glatten Funktion aussieht]
Wenn $U\in G$ eine Umgebung von $1$ ist, dann ist $\psi_m(U) U\cdot m \subseteq\mathcal O_m$ eine Umgebung um $m$ in $\mathcal O_m$
Daher ist
$$
T_m \mathcal O_m = D_1\psi_m(\underbrace{T_1G}_{=g})=\{ K_\xi(m)\ |\ \xi\in G \}
$$
Wir behaupten nun, dass $\mathcal O_m\hookrightarrow M$ eine Einbettung ist. Dafür suchen wir eine hinreichend kleine Umgebung $W$, $m\in W\subseteq M$ so dass $W\cap\psi_m(G)= W\cap\psi_m(U)$
