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2020-02-07

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......@@ -4245,4 +4245,127 @@ Suche nach Erhaltungsgrößen motiviert:
$$
\end{Def}
TODO 2020-02-07
% 2020-02-07
$$
\{ \varphi, H \} = X_H(\varphi) = \diffd \varphi(X_H) = (X_\varphi)^\flat(X_H) = \omega(X_H, X_\varphi) = \omega(\diffd H^\sharp, \diffd \varphi^\sharp)
$$
Es folgt: $\{ \varphi, H\} = -\{ H, \varphi \}$ (Poisson-Klammer antisymetrisch) ($\varphi$ Erhaltungsgröße für $X_H\Leftrightarrow H$ Erhaltungsgröße für $X_\varphi$)
$$
\{ \varphi_1\varphi_2, H \} &=& \omega (\diffd H^\sharp, (\diffd(\varphi_1, \varphi_2))^\sharp)
\\&=& \omega(\diffd H^\sharp, (\varphi_1\diffd \varphi_2 + \varphi_2 \diffd \varphi_1)^\sharp)
\\&=& \varphi_1 \omega(\diffd h^\sharp, \diffd \varphi_2^\sharp) + \varphi_2\omega(\diffd H^\sharp, \diffd \varphi_1^\sharp) = \varphi_1\{ \varphi_2, H \} + \{\varphi, H\} \varphi_2
$$
$\Rightarrow \{ \cdot, H \} =: \partial_H(\cdot)$ ist eine Derivation von $C^\infty(M)$ (auch klar nach Definition)
\emph{Jacobi-Identität} für die Poisson-Klammer:
$$
\{ \{ \varphi_1, \varphi_2 \}, \varphi_3 \} + \{ \{ \varphi_2, \varphi_3 \}, \varphi_1 \} + \{ \{ \varphi_3, \varphi_1 \}, \varphi_2 \} = 0
$$
Beweis:
Übung (schwierig, aber gut Übung)
Ausdruck der Poisson-Klammer in Koordinaten auf $M=T^*Q$:
$$
\{ \varphi, \psi \} = \omega(\diffd \psi^\sharp, \diffd \varphi^\sharp)
$$
$$
X_\varphi = \diffd \varphi^\sharp = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q^i} - \frac{\partial \varphi}{\partial q^i}\frac{\partial}{\partial p_i}
$$
$\Rightarrow \{ \varphi, \psi\} = -\{ \psi, \varphi \} = -X_{\varphi}(\psi) = -\sum_{i=1}^n\left( \frac{ \partial \varphi}{\partial p_i} \frac{ \partial \psi}{\partial q^i} - \frac{ \partial \varphi}{\partial q^i} \frac{ \partial \psi}{\partial p_i} \right)$
Wir sehen: $(C^\infty(M), \{ \ldots, \ldots \})$ ist eine Lie-Algebra.
\begin{Prop}
Die Abbildung $X_\cdot = (\diffd(\cdot))^\sharp\colon \begin{cases} C^\infty(M) \to \Gamma(TM) \\ \varphi \mapsto X_\varphi \end{cases}$ ist ein Anti-Homomorpismus von Lie-Algebren $(C^\infty(M), \{ \cdot, \cdot \}) \to (\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$.
\end{Prop}
Beweis:
haben zu zeigen: $[X_\varphi, X_\psi] = -X_{\{ \varphi, \psi \}}$. Dazu setze $\theta := \{ \varphi, \psi \}$.
$$
X_\theta(\Xi) &=& \{ \Xi, \theta \}
\\& =& \{ \Xi, \{ \varphi, \psi \} \} \overset{\text{Jacobi-Identität}}= \{ \{ \Xi, \varphi \}, \psi \} - \{ \{ \Xi, \psi\}, \varphi \}
\\&=& X_{\psi}(X_\varphi(\Xi)) - X_{\varphi}(X_\psi(\Xi)) = [X_{\psi}, X_\varphi](\Xi)
\\&=& -[X_\varphi, X_\psi](\Xi)
$$
Wenn man jetzt ein mechanisches System mit Hamiltion-Funktion $H$ studiert, braucht man möglichst viele Erhaltungsgrößen ($=$ Bewegungsintegrale)
\begin{Beobachtung}
Wenn $\varphi_1$, $\varphi_2$ Erhaltungsgrößen sind: $\{\varphi_1, H \} = \{ \varphi_2, H \}= 0$
$\Rightarrow \{ \varphi_1, \varphi_2 \}$ ist Erhaltungsgröße, denn
$$
\{\{ \varphi_1, \varphi_2 \}, H\} + \underbrace{\{ \{ \varphi_2, H \}, \varphi_1 \}}_{=0} + \underbrace{\{ \{H, \varphi, 1\}, \varphi_2 \}}_{=0} = 0
$$
\end{Beobachtung}
\begin{Frage}
Wenn wir über alle Erhaltungsgrößen gefunden haben, was können wir daraus über unser System lernen? (Beobachtung: Erhaltungsgrößen $=\{ \varphi\in C^\infty(M)\mathrel| \{ \varphi, H \} = X_{\sharp}(\varphi) =0 \}$)
\end{Frage}
$X(\varphi) = \diffd \varphi(X) = 0\Rightarrow X$ tangential zur Niveaufläche $M=\{m\in M\mathrel|\varphi(m)=c\}$ $\dim M_{\varphi, c} = \dim M -1$ (meistens) $\rightarrow$ gewinnen eine Dimension.
** Satz von Liouville
$\curvearrowleft$ magisches Orakel
TODO Bildchen
\begin{Satz}
Sei $(M, \omega)$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, $\varphi_1, \ldots, \varphi_n\in C^\infty(M)$, so dass:
\end{Satz}
1) $\{ \varphi_i, \varphi_j \} = 0$, $i,j = 1, \ldots, n$
2) die $\diffd \varphi_i$ sind linear unabhängig in jedem Punkt. Seien $c_1, \ldots, c_n\in \R$, $N:= M_{\varphi_1, \ldots, \varphi_n \atop c_1, \ldots, c_n} = \{ m\in M\mathrel |\varphi_i(m) = c_i, i=1,\ldots, n \}$
Dann gilt:
1. $N$ ist Untermannigfaltigkeit von $M$, alle $X_{\varphi_i}$ sind tangential zu $N$. Wenn $\dim M = 2n$ dann gilt:
2. Wen $N$ kompakt, zusammenhängend $\Rightarrow N\cong \Pi^n = \{ (\theta_1, \ldots, \theta_n) \pmod{2\pi} \}$ der $n$-dimensionale Torus und die Vektorfelder $X_{\varphi_{i}}|_N$ haben die Form $\frac{\diffd \theta}{\diffd t} = \omega_i$, $\theta=(\theta_1, \ldots, \theta_n)$, $\omega_i=(\omega_{i}^(1), \ldots, \omega_{i}^{(n)})$ ($\Rightarrow \theta = t\cdot \omega \pmod{2\pi}$, $t\in \R$)
\begin{Bem}
In physikalisch relevanten Fällen wo $\varphi_1 = H$ die Energie des Systems ist, ist öfter (nicht, wenn z.B. kein potential) $N$ automatisch kompakt.
\end{Bem}
** Beispiel: lustiger Kreisel
\begin{Bsp}
$3$ Freiheitsgrade, $Q$ der Konfigurationsraum $\Rightarrow \dim Q = 3$, $\dim M = \dim T^* Q=6 $, vergleiche Lagrange-Kreisel.
$Q= \operatorname{SO}(3)$ (bzw. Torso von $\operatorname{SO}(3)$) kann durch die Tischplatte durch
Erhaltungsgrößen: $\varphi_1 = H$ (Energie), $\varphi_2 = \mu_z$ (Drehimpuls bzgl, der $z$-Achse), $\varphi_3 = \mu_3$ (Eigendrehimpuls)
$\theta_1 = $ Eigendrehung, $\theta_2 =$ Präzission, $\theta_3 =$ Notation
\end{Bsp}
Beweis zu Liouville:
$N$ ist Untermannigfaltigkeit nach dem Satz vom regulären Wert. Die Vektorfelder $X_{\varphi_i}$ sind tangential zu $N$, weil
$$
X_{\varphi_i}(\varphi_j) = \{ \varphi_i, \varphi_j \} = 0
$$
$\Rightarrow X_{\varphi_i}$ tangential zu $N$. Wenn $\dim M= 2n \Rightarrow \dim N = 2n-n = n$. Auf $N$ haben wir jetzt $n$ Vektorfelder $X_{\varphi_1, \ldots, X_{\varphi_n}}$, die kommutieren:
$$
[X_{\varphi_i}, X_{\varphi_j}] = 0
$$
da
$$
[X_{\varphi_i}, X_{\varphi_j}] = X_{\{ \varphi_j, \varphi_i \}}, \quad \{ \varphi_j, \varphi_i \} = 0
$$
Sei $N$ kompakt, zusammenhängend $\rightsquigarrow$ Betrachte die Wirkung von $G = \R^n \curvearrowright N$ (durch Flüsse von $X_{\varphi_i}$'s).
Behauptung: $\R^n \curvearrowright N$ transitiv:
TODO Bildchen 49
weil lokal ein Diffeomorphismus
$$
\R^n \supseteq U\ni 0 \to p\in V\subseteq N
$$
$\Rightarrow$ $N = {\R^n} / {H}$, $H\leqslant \R^n$ abgeschlossene Untergruppe, $\R^n/H$ kompakt.
$\xRightarrow{\text{Übung}} H\cong \mathbb Z^n \Rightarrow N = \R^n / \mathbb Z^n \cong \Pi^n$
$\theta_1, \ldots, \theta_n$ können durch Wirkung definiert werden.
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