Wir sehen: $(C^\infty(M), \{\ldots, \ldots\})$ ist eine Lie-Algebra.
\begin{Prop}
Die Abbildung $X_\cdot=(\diffd(\cdot))^\sharp\colon\begin{cases} C^\infty(M)\to\Gamma(TM)\\\varphi\mapsto X_\varphi\end{cases}$ ist ein Anti-Homomorpismus von Lie-Algebren $(C^\infty(M), \{\cdot, \cdot\})\to(\Gamma(TM), [\cdot, \cdot])$.
\end{Prop}
Beweis:
haben zu zeigen: $[X_\varphi, X_\psi]=-X_{\{\varphi, \psi\}}$. Dazu setze $\theta :=\{\varphi, \psi\}$.
Wenn man jetzt ein mechanisches System mit Hamiltion-Funktion $H$ studiert, braucht man möglichst viele Erhaltungsgrößen ($=$ Bewegungsintegrale)
\begin{Beobachtung}
Wenn $\varphi_1$, $\varphi_2$ Erhaltungsgrößen sind: $\{\varphi_1, H \}=\{\varphi_2, H \}=0$
$\Rightarrow\{\varphi_1, \varphi_2\}$ ist Erhaltungsgröße, denn
$$
\{\{\varphi_1, \varphi_2\}, H\}+\underbrace{\{\{\varphi_2, H \}, \varphi_1\}}_{=0}+\underbrace{\{\{H, \varphi, 1\}, \varphi_2\}}_{=0}=0
$$
\end{Beobachtung}
\begin{Frage}
Wenn wir über alle Erhaltungsgrößen gefunden haben, was können wir daraus über unser System lernen? (Beobachtung: Erhaltungsgrößen $=\{\varphi\in C^\infty(M)\mathrel| \{\varphi, H \}= X_{\sharp}(\varphi)=0\}$)
\end{Frage}
$X(\varphi)=\diffd\varphi(X)=0\Rightarrow X$ tangential zur Niveaufläche $M=\{m\in M\mathrel|\varphi(m)=c\}$$\dim M_{\varphi, c}=\dim M -1$ (meistens) $\rightarrow$ gewinnen eine Dimension.
** Satz von Liouville
$\curvearrowleft$ magisches Orakel
TODO Bildchen
\begin{Satz}
Sei $(M, \omega)$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, $\varphi_1, \ldots, \varphi_n\in C^\infty(M)$, so dass:
$\Rightarrow X_{\varphi_i}$ tangential zu $N$. Wenn $\dim M=2n \Rightarrow\dim N =2n-n = n$. Auf $N$ haben wir jetzt $n$ Vektorfelder $X_{\varphi_1, \ldots, X_{\varphi_n}}$, die kommutieren:
