diff --git a/diffgeoIII/edit-this-file.tex b/diffgeoIII/edit-this-file.tex index 375614ccf30393bb5939414bcbf8f5bf8f37e681..74aeb50f82467cf27b27ed54341f8af6a7a036ea 100644 --- a/diffgeoIII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoIII/edit-this-file.tex @@ -2071,7 +2071,166 @@ $$\Rightarrow \widehat{[X,Y]}(1) = AB -BA = [A,B]_{[\mathbb M_n(K)]}$$ -TODO 2019-11-29 +%2019-11-29 + +** Beispiel + + 1. $\operatorname{Lie}(\operatorname{GL}(n, \mathbb K))=:\mathfrak g Y(n, \mathbb K)\cong (\mathbb M_n(\mathbb K), [\cdot, \cdot])$ (folgt aus Proposition) + 2. $\mathfrak s Y(n, \mathbb K) := \operatorname{Lie}(\operatorname{SL}(n, \mathbb K))$ + + Brauchen $T_1\operatorname{SL}(n, \mathbb K)\subseteq \mathbb M_n(\mathbb K)$ auszwechneu%TODO content nicht leserlich + $$+ \operatorname{SL}(n, \mathbb K) = \{ A\in \operatorname{GL}(n, \mathbb K)\ |\ \det A = 1 \} = {\det}^{-1}(1) +$$ + $1$ ist regulärer Wert von $\det$. + + Übung 8: + + $$+ T_1\operatorname{SL}(n, \mathbb K) \cong \operatorname{Ker}D_1\det = \operatorname{ker}(T_r : \mathbb M_n(\mathbb K)\to \mathbb K) +$$ + + $$+ \Rightarrow \mathfrak sY (n, \mathbb K) = \{ A = \mathbb M_n (\mathbb K)\ |\ T_r(A) = 0 \} + \\ ([\mathfrak sY, \mathfrak sY]\subseteq \mathfrak sY, \text{ da } T_r([A,B])=0 ) +$$ + 3. $$+ \mathfrak o(n, \mathbb K) \cong T_1O(n \mathbb K) = \{ \dot \gamma(0)\ |\ \gamma\colon I \to O(n, \mathbb K), \gamma(0)\underset{(*)}=\eins \} +$$ + Sei $\gamma\colon I\to O(n,\mathbb K) \Rightarrow \gamma(t)^T\gamma(t) = 1$. + $$+ \Rightarrow 0 = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}(\gamma(t)^T\gamma(t)) =\dot\gamma(0)^T\cdot\gamma(0)+\gamma(0)^T\cdot \dot\gamma(0)\overset{(*)}=\dot\gamma(0)^T + \gamma(0) +$$ + das heißt: + $$+ T_1O(n, \mathbb K) +$$ + mit $A+A^T = 0$ folgt: + $$+ \gamma_A(t) := \exp(tA)\in O(n, \mathbb K) +$$ + da + $$+ \exp(tA)^T\cdot \exp(tA) = \exp(tA^T)\cdot \exp(tA) + \\&\overset?=&\exp(-tA)\cdot \exp(tA) + \\&=& \exp(0) + \\&=& 1 +$$ + %TODO content What is questionmark for? + $$+ \dot \gamma_A(0) = A, \quad \gamma_A(0) =\eins +$$ + (oder nutze Satz vom regulären Wert) + + 4. $$+ \mathfrak{so}(3) := \mathfrak{so}(3, \R) \cong T_1\operatorname{SO}(3) \cong T_1O(3) +$$ + da + $$+ O(3) = \operatorname{SO}(3)\dot\cup(-\operatorname{SO}(3)) +$$ + zwei Zusammenhangskomponenten. + $$+ T_1O(3) &=& \{ A \in \mathbb M_3(\R) : A^T =-A \} + \\&=&\left\langle + \underbrace{ + \left(\begin{matrix} 0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) + }_{ + =: L_x + }, + \underbrace{ + \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ -1&0&0 \end{matrix}\right) + }_{ + =:L_y + }, + \underbrace{ + \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&-1&0 \end{matrix}\right) + }_{ + =:L_z + } + \right\rangle + \\&=& \left\langle L_x, L_y, L_z \right\rangle +$$ + $$+ \exp(t\cdot L_z) = \left(\begin{matrix} \cos t & \sin t & 0\\-\sin t&\cos t&0\\0&0&1 \end{matrix}\right) +$$ + Nebenrechnung du vorherigem: + $$+ \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)^2 &=& \left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right) + \\ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)^k + &=& \sum_{l=0}^\infty (-1)^l \frac{t^{2l}}{(2l)!} \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) + + \sum_{l=0}^\infty (-1)^l\frac{t^{2l+1}}{(2l+1)!}\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right) + \\&=& \left(\begin{matrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{matrix}\right) +$$ + + $$+ \left[L_x, L_y\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&-1&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) = L_z + \\ \left[L_y, L_z\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&-1&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) = L_x + \\ \left[L_z, L_x\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 1&0&0 \end{matrix}\right) = L_y +$$ + „infinitisimale Rotation“ + 5. $\mathfrak{su}(2) = T_1\operatorname{SU}(2)$ + $$+ \operatorname{SU}(2) &=& \{ A\in \mathbb M_2(\mathbb C)\ |\ A^*A = \eins, \det A = 1 \} + \\&=&\{ X\in \mathbb M_2(\mathbb C)\ |\ X^2 = -X, T_r(X) = 0 \} + \\&\cong& \left\langle \underbrace{\left(\begin{matrix} i&0\\0&-i \end{matrix}\right)}_{=:x_3}, \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1\\+1&0 \end{matrix}\right)}_{=:x_2}, \underbrace{\left(\begin{matrix} -i&0\\0&+i \end{matrix}\right)}_{=:x_1} \right\rangle + \\&=& \left\langle x_3, x_2, x_1 \right\rangle +$$ + $$+ \left[x_1, x_2\right] &=& \left(\begin{matrix} +i&0\\0&-i \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} -i&0\\0&+i \end{matrix}\right) = 2x_3 + \\\left[x_2, x_3\right] &\overset{\text{analog}}=& 2x_1 + \\\left[x_2, x_3\right] &\overset{\text{analog zur analogen Herangehensweise } \atop \text{ vom vorherigen =}}=& 2x_2 +$$ + $$+ \exp (t x_3) &=& \left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right) =: g_k \in \operatorname{SU}(2) + \\&=& g_t x_3 g_t^{-1} = x_3 + \\&=& g_t x_1 g_t^{-1} = \left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0&i\\i&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right) + \\&=& \left(\begin{matrix} 0&ie^{it}\\ie^{-it}&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} e^{-it}&0\\0&e^{it} \end{matrix}\right) + \\&=& \left(\begin{matrix} 0&ie^{2it}\\ie^{-2it}&0 \end{matrix}\right) + \\&=& \cos(2t) \cdot x_1 + \sin(2t)\cdot x_2 +$$ + Analog: + $$+ g_tx_2g_t^{-1} = \cos (2t) x_2 - \sin (2t) x_1 +$$ + $$+ \Rightarrow \underbrace{M_{x_1, x_2, x_3}}_{\text{darstellende Matrix}} (g_t(\cdot)g_{t^{-1}}) + &=& \left(\begin{matrix} \cos(2t) & -\sin{2t} & 0 \\ \sin(2t) & \cos(2t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) +$$ + $X$, $Y\in \mathfrak{SU}(2)$ + $$+ \langle X, Y\rangle := \frac12 \operatorname{Tr}(X\cdot Y^*) = -\frac12 \operatorname{Tr}(X\cdot Y) +$$ + ist Skalarprodukt, da $\operatorname{Tr}(\underbrace{XX^*}_{\text{positiv semidefinit}})\geqslant 0$. + $x_1$, $x_2$, $x_3$ ist Orthogonolabasis (ONB) $\Rightarrow (\mathfrak su(2), \langle \cdot, \cdot \rangle)\cong (\R^3, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ + Sei $g\in \operatorname{SU}(2)$ + $$+ \rightarrow \operatorname{Ad}(g)\colon \begin{cases} \mathfrak{su}(2) &\to \mathfrak{su}(2) \\ X&\mapsto gXg^{-1} \end{cases} +$$ + $$+ \left\langle \operatorname{Ad}(g)X, \operatorname{Ad}(g)Y \right\rangle + &=& \frac12 \operatorname{Tr}(gXg^{-1}\cdot (gYg^{-1})^*) + \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(gX\underbrace{g^{-1}(g^{-1})^*}_{= \eins\text{, da }g\in \operatorname{SU}(2)} Y^* g^*) + \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(gXY^*g^*) + \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(XY^*) +$$ + + Übung: + $$+ \det \operatorname{Ad}(g) = 1 +$$ + + $\operatorname{Ad}\colon \operatorname{SU}(2) \to \operatorname{SO}(3)$ ist Gruppenhomomorphismus + $$+ \operatorname{Ker}\operatorname{Ad} &=& \{ g\in \operatorname{SU}(2)\ |\ gXg^{-1} = X \}, \quad \forall X\in \mathfrak{su}(2) + \\&=& \left\{ \left(\begin{matrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha\end{matrix}\right) \in \operatorname{SU}(2) \right\} + \\&=& \{\pm 1\} +$$ + $\operatorname{Ad}$ ist surjektiv: Alle Rotationen um $x$-, $y$-, $z$-Achse sind im Bild: + $$+ \rightarrow \text{ erzeugen } \operatorname{SO}(3) +$$ + TODO 2019-12-05 TODO 2019-12-12