2019-11-29

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@@ -2071,7 +2071,166 @@ $$
   \Rightarrow \widehat{[X,Y]}(1) = AB -BA = [A,B]_{[\mathbb M_n(K)]}
 $$
 
-TODO 2019-11-29
+%2019-11-29
+
+** Beispiel
+
+ 1. $\operatorname{Lie}(\operatorname{GL}(n, \mathbb K))=:\mathfrak g Y(n, \mathbb K)\cong (\mathbb M_n(\mathbb K), [\cdot, \cdot])$ (folgt aus Proposition)
+ 2. $\mathfrak s Y(n, \mathbb K) := \operatorname{Lie}(\operatorname{SL}(n, \mathbb K))$
+
+    Brauchen $T_1\operatorname{SL}(n, \mathbb K)\subseteq \mathbb M_n(\mathbb K)$ auszwechneu%TODO content nicht leserlich
+    $$
+      \operatorname{SL}(n, \mathbb K) = \{ A\in \operatorname{GL}(n, \mathbb K)\ |\ \det A = 1 \} = {\det}^{-1}(1)
+    $$
+    $1$ ist regulärer Wert von $\det$.
+
+    Übung 8:
+
+    $$
+      T_1\operatorname{SL}(n, \mathbb K) \cong \operatorname{Ker}D_1\det = \operatorname{ker}(T_r : \mathbb M_n(\mathbb K)\to \mathbb K)
+    $$
+
+    $$
+      \Rightarrow \mathfrak sY (n, \mathbb K) = \{ A = \mathbb M_n (\mathbb K)\ |\ T_r(A) = 0 \}
+      \\ ([\mathfrak sY, \mathfrak sY]\subseteq \mathfrak sY, \text{ da } T_r([A,B])=0 )
+    $$
+ 3. $$
+      \mathfrak o(n, \mathbb K) \cong T_1O(n \mathbb K) = \{ \dot \gamma(0)\ |\ \gamma\colon I \to O(n, \mathbb K), \gamma(0)\underset{(*)}=\eins \}
+    $$
+    Sei $\gamma\colon I\to O(n,\mathbb K) \Rightarrow \gamma(t)^T\gamma(t) = 1$.
+    $$
+      \Rightarrow 0 = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}(\gamma(t)^T\gamma(t)) =\dot\gamma(0)^T\cdot\gamma(0)+\gamma(0)^T\cdot \dot\gamma(0)\overset{(*)}=\dot\gamma(0)^T + \gamma(0)
+    $$
+    das heißt:
+    $$
+      T_1O(n, \mathbb K)
+    $$
+    mit $A+A^T = 0$ folgt:
+    $$
+      \gamma_A(t) := \exp(tA)\in O(n, \mathbb K)
+    $$
+    da
+    $$
+      \exp(tA)^T\cdot \exp(tA) = \exp(tA^T)\cdot \exp(tA)
+      \\&\overset?=&\exp(-tA)\cdot \exp(tA)
+      \\&=& \exp(0)
+      \\&=& 1
+    $$
+    %TODO content What is questionmark for?
+    $$
+      \dot \gamma_A(0) = A, \quad \gamma_A(0) =\eins
+    $$
+    (oder nutze Satz vom regulären Wert)
+
+ 4. $$
+      \mathfrak{so}(3) := \mathfrak{so}(3, \R) \cong T_1\operatorname{SO}(3) \cong T_1O(3)
+    $$
+    da
+    $$
+      O(3) = \operatorname{SO}(3)\dot\cup(-\operatorname{SO}(3))
+    $$
+    zwei Zusammenhangskomponenten.
+    $$
+      T_1O(3) &=& \{ A \in \mathbb M_3(\R) : A^T =-A \}
+      \\&=&\left\langle
+        \underbrace{
+          \left(\begin{matrix} 0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right)
+        }_{
+          =: L_x
+        },
+        \underbrace{
+          \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ -1&0&0 \end{matrix}\right)
+        }_{
+          =:L_y
+        },
+        \underbrace{
+          \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&-1&0 \end{matrix}\right)
+        }_{
+          =:L_z
+        }
+        \right\rangle
+      \\&=& \left\langle L_x, L_y, L_z \right\rangle
+    $$
+    $$
+      \exp(t\cdot L_z) = \left(\begin{matrix} \cos t & \sin t & 0\\-\sin t&\cos t&0\\0&0&1 \end{matrix}\right)
+    $$
+    Nebenrechnung du vorherigem:
+    $$
+      \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)^2 &=& \left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)
+      \\ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)^k
+        &=& \sum_{l=0}^\infty (-1)^l \frac{t^{2l}}{(2l)!} \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
+          + \sum_{l=0}^\infty (-1)^l\frac{t^{2l+1}}{(2l+1)!}\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)
+      \\&=& \left(\begin{matrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{matrix}\right)
+    $$
+
+    $$
+      \left[L_x, L_y\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&-1&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) = L_z
+      \\ \left[L_y, L_z\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&-1&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) = L_x
+      \\ \left[L_z, L_x\right] &=& \left(\begin{matrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 1&0&0 \end{matrix}\right) = L_y
+    $$
+    „infinitisimale Rotation“
+ 5. $\mathfrak{su}(2) = T_1\operatorname{SU}(2)$
+    $$
+      \operatorname{SU}(2) &=& \{ A\in \mathbb M_2(\mathbb C)\ |\ A^*A = \eins, \det A = 1 \}
+      \\&=&\{ X\in \mathbb M_2(\mathbb C)\ |\ X^2 = -X, T_r(X) = 0 \}
+      \\&\cong& \left\langle \underbrace{\left(\begin{matrix} i&0\\0&-i \end{matrix}\right)}_{=:x_3}, \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1\\+1&0 \end{matrix}\right)}_{=:x_2}, \underbrace{\left(\begin{matrix} -i&0\\0&+i  \end{matrix}\right)}_{=:x_1} \right\rangle
+      \\&=& \left\langle x_3, x_2, x_1 \right\rangle
+    $$
+    $$
+      \left[x_1, x_2\right] &=& \left(\begin{matrix} +i&0\\0&-i \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} -i&0\\0&+i \end{matrix}\right) = 2x_3
+      \\\left[x_2, x_3\right] &\overset{\text{analog}}=& 2x_1
+      \\\left[x_2, x_3\right] &\overset{\text{analog zur analogen Herangehensweise } \atop \text{ vom vorherigen $=$}}=& 2x_2
+    $$
+    $$
+      \exp (t x_3) &=& \left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right) =: g_k \in \operatorname{SU}(2)
+      \\&=& g_t x_3 g_t^{-1} = x_3
+      \\&=& g_t x_1 g_t^{-1} = \left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0&i\\i&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} e^{it}&0\\0&e^{-it} \end{matrix}\right)
+      \\&=& \left(\begin{matrix} 0&ie^{it}\\ie^{-it}&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} e^{-it}&0\\0&e^{it} \end{matrix}\right)
+      \\&=& \left(\begin{matrix} 0&ie^{2it}\\ie^{-2it}&0 \end{matrix}\right)
+      \\&=& \cos(2t) \cdot x_1 + \sin(2t)\cdot x_2
+    $$
+    Analog:
+    $$
+      g_tx_2g_t^{-1} = \cos (2t) x_2 - \sin (2t) x_1
+    $$
+    $$
+      \Rightarrow \underbrace{M_{x_1, x_2, x_3}}_{\text{darstellende Matrix}} (g_t(\cdot)g_{t^{-1}})
+      &=& \left(\begin{matrix} \cos(2t) & -\sin{2t} & 0 \\ \sin(2t) & \cos(2t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)
+    $$
+    $X$, $Y\in \mathfrak{SU}(2)$
+    $$
+      \langle X, Y\rangle := \frac12 \operatorname{Tr}(X\cdot Y^*) = -\frac12 \operatorname{Tr}(X\cdot Y)
+    $$
+    ist Skalarprodukt, da $\operatorname{Tr}(\underbrace{XX^*}_{\text{positiv semidefinit}})\geqslant 0$.
+    $x_1$, $x_2$, $x_3$ ist Orthogonolabasis (ONB) $\Rightarrow (\mathfrak su(2), \langle \cdot, \cdot \rangle)\cong (\R^3, \langle \cdot, \cdot \rangle)$
+    Sei $g\in \operatorname{SU}(2)$
+    $$
+      \rightarrow \operatorname{Ad}(g)\colon \begin{cases} \mathfrak{su}(2) &\to \mathfrak{su}(2) \\ X&\mapsto gXg^{-1} \end{cases}
+    $$
+    $$
+      \left\langle \operatorname{Ad}(g)X, \operatorname{Ad}(g)Y \right\rangle
+        &=& \frac12 \operatorname{Tr}(gXg^{-1}\cdot (gYg^{-1})^*)
+      \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(gX\underbrace{g^{-1}(g^{-1})^*}_{= \eins\text{, da }g\in \operatorname{SU}(2)} Y^* g^*)
+      \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(gXY^*g^*)
+      \\&=& \frac12 \operatorname{Tr}(XY^*)
+    $$
+
+    Übung:
+    $$
+      \det \operatorname{Ad}(g) = 1
+    $$
+
+    $\operatorname{Ad}\colon \operatorname{SU}(2) \to \operatorname{SO}(3)$ ist Gruppenhomomorphismus
+    $$
+      \operatorname{Ker}\operatorname{Ad} &=& \{ g\in \operatorname{SU}(2)\ |\ gXg^{-1} = X \}, \quad \forall X\in \mathfrak{su}(2)
+      \\&=& \left\{ \left(\begin{matrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha\end{matrix}\right) \in \operatorname{SU}(2) \right\}
+      \\&=& \{\pm 1\}
+    $$
+    $\operatorname{Ad}$ ist surjektiv: Alle Rotationen um $x$-, $y$-, $z$-Achse sind im Bild:
+    $$
+      \rightarrow \text{ erzeugen } \operatorname{SO}(3)
+    $$
+
 TODO 2019-12-05
 TODO 2019-12-12