$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$.
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$:
$$
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(f_2\circ f_1)\circ i_1&=& i_1
(f_2\circ f_1)\circ i_1&=& i_1
...
@@ -497,20 +497,27 @@ Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
...
@@ -497,20 +497,27 @@ Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
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f_2\circ f_1=\bar f =\operatorname{id}
f_2\circ f_1=\bar f =\operatorname{id}
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Also $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also $f_1$ Isomorphismus
Also $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also ist $f_1$ein Isomorphismus.
** Existenz von $V \otimes W$
** Existenz von $V \otimes W$
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der? Eindeutigkeit?
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der (bis auf Isomorphie eindeutige)
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$ (ohne Beweis). Er ist isomorph zum Raum der formalen Linearkombination von $X$:
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\mathcal F_{\mathbb R}(X)\cong\{ f\colon X\to\mathbb R\ |\ f(x)\neq0\text{ für endlich viele } x\in X \}
\mathcal F_{\mathbb R}(X)&\cong&\{ f\colon X\to\mathbb R\ |\ f(x)\neq0\text{ für endlich viele } x\in X \}
$\rightsquigarrow$ kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen
%TODO Bilchen
$\Rightarrow$ l.e.S.
%TODO Bildchen
** Proposition $H^k(C^*)=0$ für alle $k\in\mathbb N$
($\Rightarrow H^k_c(M\setminus N)\cong H^k(M,N)$)
** Beweis
Wir werden die folgende Zusatzaussage benutzen (Existenz einer tubularen Umgebung), wenn $N$ kompakt ist, dann $\exists T\subseteq M$ offen, $N\subseteq T$ und so dass
\begin{tikzcd}
N \arrow[r, "\sim", hook]& T
\end{tikzcd}
eine Homotopieäquivalenz
Sei $[\omega]\in C^k$ mit $[\diffd\omega]=\diffd[\omega]=0\in C^{k+1}$