2019-06-26

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@@ -3972,3 +3972,209 @@ Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. d
     \\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
     \\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp
   $$
+
+%2019-06-26
+
+Riemansche Mannigfaltigkeit $(M, g)$,
+$$
+  g\in \Gamma(T^*M\otimes T^*M)
+$$
+ein Skalarpodukt auf $T^*M$
+
+ 1. $g$ induziert „musikalische Isomorphismen“
+  $$
+    \flat \colon TM \to T^*M
+    \\ \sharp \colon T^*M \to TM
+  $$
+
+ 2. Hodge-Stern-Operator
+  Sei $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ ein orientierter euklidischer Vektoraum
+   - $\flat\colon V\to V^*$ ist ein Isomorphismus, $V^*$ auch orientiert (durch Dualbasen bzw. durch $\flat$)
+
+Wenn nun $n=\dim V\Rightarrow \bigwedge^n V^* \cong \mathbb R$; sei nun $e_1^*, \ldots, e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis in $V^*$.
+$$
+  \operatorname{vol} = \omega := e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* \in \bigwedge^n V^*, \quad \omega \neq 0, \text{weil } e_1^*, \ldots, e_n^*
+$$
+eine Basis (Volumenform auf $V$)
+
+Beweis:
+
+$\omega$ hängt nicht von der Wahl einer positiv orientierten Orthonormalbasis (ONB) in $V^*$ ab.
+
+Dazu sei $f_1^*, \ldots, f_n^*\in V^*$ eine andere positiv orientierte Orthonormalbasis.
+
+$$
+  f_1^*\wedge\ldots\wedge f_n^* &=& \underbrace{ \det M_F^\xi}_{\in SO(u), \text{ weil } \xi, F' \text{ONB, gleich orientiert} } \cdot e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^*
+  \\ \Rightarrow \det M_F^\xi &=& 1
+$$
+
+Geometrische Interpretation:
+$$
+  \omega(v_1, \ldots, v_n) = \underbrace{\pm}_{\text{je nach Orientierung}} \operatorname{vol} ( Spat )
+$$
+%TODO Spat Bildchen
+
+Wir definieren jetzt einen Operator
+
+$$
+  \ast \colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge^{n-k}V^*
+$$
+
+Dazu: $\flat$, $\sharp$ induzieren auch Isomorphismen
+
+$$
+  \flat \colon \bigwedge^k V \to \bigwedge^k V^*
+  \sharp \colon \bigwedge V^* \to \bigwedge^k V
+$$
+
+Dies definiert ein Skalarpodukt auf $\bigwedge^k V^*$:
+$$
+  \langle \alpha, \beta \rangle := \alpha(\beta^\sharp)
+$$
+
+Explizit:
+wenn $\alpha = \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_k$, $\beta = \beta_1\wedge\ldots\wedge\beta_k$
+$$
+  \langle \alpha, \beta \rangle &=& \alpha(\beta^\sharp)
+  \\&=& \det(\alpha_i (\beta_j^\sharp))_{i,j = 1}^k
+  \\&=& \det (\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{V^*})_{i,j = 1}^k
+  \\&=& \det (\langle \alpha_i^\sharp, \beta_j^\sharp \rangle_V)_{i,j = 1}^k
+$$
+
+$\ast\colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge{n-k}V^*$ ist jetzt eindeutig durch folgende Eigenschaft bestimmt:
+
+$\forall \alpha, \beta \in \bigwedge^kV^*$ gilt
+
+$$
+  \alpha \wedge \ast \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \omega = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \operatorname{vol}
+$$
+
+Explizite Formel für $\ast$: sei $e_1^*,\ldots,e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Es gilt:
+
+$$
+  \langle e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^*, e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^* \rangle = \det E = 1
+$$
+Es muss dann gelten:
+
+$$
+  \left(e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^*\right) \wedge \ast \left( e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^* \right) = e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^*
+$$
+
+** Beispiel
+
+$$
+  \dim V = 4, \quad e_1^*, \ldots, e_4^* \quad ONB \text{ in } V^*
+$$
+
+$$
+  \ast \underbrace{ 1 }_{\in \bigwedge^0V^*} = e_1^*\wedge \ldots \wedge e_4^*
+  \\ \ast e_1^* = e_2^* \wedge e_3^* \wedge
+  \\ TODO
+$$
+
+Wenn $(M, g)$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit ist, ist $()$
+
+%TODO missing
+TODO missing
+
+D.h. auf einer Riemanschen Mannigfaltigkeit kann man einfach Funktionen integrieren
+
+$$
+  \int_M f \text{ könnte man durch } \int_M f\cdot \operatorname{vol} \text{definieren}
+$$
+
+Dieses Integral kann man zur Aufstellung der Maßtheorie auf $M$ benutzen $\rightsquigarrow$ jede Riemansche Mannigfaltigkeit trägt ein kanonisches positives Maß.
+
+Expliziter Ausdruck für $\operatorname{vol}$: wenn $(U, x)$ eine Karte auf $M$ ist, bekommen wir durch eine Riemansche Metrik auf $x(U)$ ($=$ Ausdruck von $g$ in Koordinaten):
+
+$$
+  g_{ij} := g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right)
+$$
+
+sind Einträge der Gram-Matrix von $g$ in der Basis $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$
+
+Wenn $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ positiv orientiert ist,
+
+$$
+  \operatorname{vol} \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) \overset{\text{LAAG}}= \sqrt{\det (g_{ij})^n_{i,j = i}} =: \sqrt{g}
+$$
+
+Der Hodge-Operator definiert ein Skalarpodukt auf $\Omega^k(M)$:
+
+$$
+  \langle \alpha, \beta \rangle := \int_M \alpha \wedge \ast \beta = \int_M \langle\alpha(p), \beta(p)\rangle_{\bigwedge^k T^*_p M} \operatorname{vol}
+$$
+
+Durch Vervollständigung von $\Omega_c^k(M)$ bzgl $\langle \cdot, \cdot \rangle$ bekommen wir einen Hilbertraum
+
+$$
+  L^2\left(\bigwedge^kT^*M\right) \text{ oder } \Omega_{(2)}^k (M)
+$$
+
+Somit wird $\diffd \colon \Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ zu einem Operator zwischen Räumen mit Skalarpodukt.
+
+Idee: studiere den adjungierten Operator $\diffd^*\colon \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M)$. $\diffd^*$ (wenn es existiert) muss durch die Bedingung
+
+$$
+  \langle \diffd \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \diffd^*\beta\rangle
+$$
+
+eindeutig festgelegt sein.
+
+** Beispiel
+
+$M=S^1$, $C^\infty(S^1) = \Omega^0(S^1) \overset\diffd\longrightarrow \Omega^1(S^1)$
+
+$$
+  \diffd f = f'(\theta)\diffd \theta
+$$
+
+$$
+  \langle \diffd f, \underbrace{ \alpha }_{\alpha(\theta)\diffd\theta} \rangle &=& \int_{S^1}f'(\theta)\alpha(\theta)\diffd\theta
+  \\ &\overset{\text{positiv orientiert}}=& -\int_{S^1} f(\theta) \alpha'(\theta)\diffd \theta
+  \\ := \ldots \langle f, \diffd^*\alpha \rangle \Rightarrow (\diffd^*\alpha)(\theta) = -\alpha'(\theta)
+$$
+
+** Lemma
+
+Sei $\diffd\colon\Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ das Differential. Der adjungierte Operator $\diffd^* = \delta$ ist gegeben durch
+
+$$
+  \diffd^* = (-1)^{k+1} \ast^{-1}\circ\operatorname{\diffd}\circ\operatorname\ast
+$$
+
+[Beachte $\ast^2 = \pm \operatorname{id}$, $\pm$ hängt von $n$, $k$ ab]
+
+** Beweis
+
+Seien $\alpha\in\Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega_c^{k+1}(M)$.
+
+$$
+  \langle \diffd \alpha, \beta\rangle &=& \int_M \diffd \alpha \wedge\ast\beta
+  \\&=& \int_M \diffd(\alpha\wedge\ast \beta) -(-1)^k\alpha\wedge\diffd(\ast \beta) 
+  \\&\overset{\text{Stokes}}=& 0 +(-1)^{k+1}\int_M\alpha \wedge \ast(\ast^{-1}\diffd\ast\beta)
+  \\&=& \left\langle \alpha, (-1)^{k+1}\ast^{-1}\diffd\ast\beta\right\rangle 
+$$
+
+** Definition
+
+Der Laplace-Operator auf $\Omega^k(M)$ ist definiert durch
+
+$$
+  \Delta = \diffd^*\diffd + \diffd \diffd^*
+$$
+
+\begin{tikzcd}
+\Omega^o \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] & \Omega^1 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \Omega^2 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \ldots \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex]
+\end{tikzcd}
+
+** Lemma: $\Delta$ erfüllt
+
+ 1. $\Delta$ ist symetrische, positiv semidefinit:
+ 2. $\Delta$ kommutiert mit $\diffd$ und $\diffd^*$
+ 3. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap \ker \diffd^*$
+ 4. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap (\operatorname{im} d)^1$
+
+Beweis:
+ 1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$
+ 2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$