Wenn $(M, g)$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit ist, ist $()$
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D.h. auf einer Riemanschen Mannigfaltigkeit kann man einfach Funktionen integrieren
$$
\int_M f \text{ könnte man durch }\int_M f\cdot\operatorname{vol}\text{definieren}
$$
Dieses Integral kann man zur Aufstellung der Maßtheorie auf $M$ benutzen $\rightsquigarrow$ jede Riemansche Mannigfaltigkeit trägt ein kanonisches positives Maß.
Expliziter Ausdruck für $\operatorname{vol}$: wenn $(U, x)$ eine Karte auf $M$ ist, bekommen wir durch eine Riemansche Metrik auf $x(U)$ ($=$ Ausdruck von $g$ in Koordinaten):