Aus dem Skalarprodukt auf $W$ ist ein Tripel $(I,g,\omega)$ auf $W_\R$ entsanden, welches Kompatibilitätsbedingungen $(*)$, $(**)$ erfüllt, \emph{Köhler-Tripel}.
\end{Fazit}
%2020-02-06
letztes Mal: $V$ $\mathbb \R$-Vektorraum, $\dim V = 2k$ $\rightsquigarrow \omega\in \bw^2V^*$ symplektisch, wenn es nicht ausgeartet ist
Beispiel für symplektische Geometrie: Sei $Q$ eine Mannigfaltigkeit (Karte $(U,q)$) $\dim Q = n$.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T^*Q \arrow[d] \\
Q
\end{tikzcd}
\end{center}
$\dim T^*Q = 2n$ emph{Tautologische $1$-From $\alpha$ auf $T^*Q$}: Für $\xi\in T_pT^*Q$ ist $\alpha(\xi):= p({D_p\pi(\xi)}_{\in T_{\pi(p)}Q })\in \R$
Wie sight $\alpha$ in Koordinaten aus? Die Karte $(u,q)$ induziert Karte $(\tilde U, q, p)$ auf $T^*Q$ mit lokalen Koordinaten $\underbracket{q^1, \ldots, q^n}_{}, \underbracket{p_1,\ldots, p_n}_{}$
$p_1,\ldots, p_n$ Koordinaten $p$ in der Basis $\diffd q^1, \ldots, \diffd q^n$
$\rightarrow$ Hamilton-Gleichung der klassischen Mechanik
\end{Bsp}
\begin{Bem}
physikalischer Input: $H=$ Gesammtenergie des mechanischen Systems, ausgedrückt durch Impulse und Koordinaten. Typisch ist dabei die Form $H = \frac{p^2}{2m}+V(q)$, Kinetische Energie: $\frac{p^2}{2m}$, potential Energie: $V(q)$
\end{Bem}
\begin{Bsp}
$$
H = \frac{p^2 + q^2}{2} \rightsquigarrow \dot q = p,\quad \dot p = -q
$$
\end{Bsp}
TODO Bildchen 47
Beobachtung: Integralkurven verlaufen in Nivauflächen von $H$ $\Rightarrow$ bleibt erhalten (ist Erhaltungsgröße)
Suche nach Erhaltungsgrößen motiviert:
\begin{Def}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $X\in \Gamma(TM)$ ein Vektorfeld. Eine Funktion $\varphi$ heißt \emph{Erhaltungsgröße} von $X$ ($=$ vom Fluss von $X$), wenn $\mathcal L_X = 0 \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0}(\phi_t^*\varphi)$
Wenn $(M,\omega)$ symplektisch, $X=X_H$ Hamiltion-Vektorfeld:
\end{Def}
\begin{Def}
Die \emph{Poisson-Klammer von $\varphi$ und $H$} ist die Lie-Abbildung von $\varphi$ und $X_H$: $\{ \varphi, H \} := \mathcal L_{X_H}\varphi$. $\varphi$ ist also eine Erhaltungsgröße $\Leftrightarrow \{ \varphi, H \} = 0$ Nun erinnern wir uns daran, dass $\mathcal L_X \varphi = X(\varphi)$. $\Rightarrow \{ \varphi, H \} = X_H(\varphi) = \diffd \varphi(X_H)$