Commit e78df8d8 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2020-02-06

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\newtheorem{Erinnerung}[Def]{Erinnerung}%
\newtheorem{Folgerung}[Def]{Folgerung}%
\newtheorem{Behauptung}[Def]{Behauptung}%
\newtheorem{Beobachtung}[Def]{Beobachtung}%
\newtheorem{Fazit}[Def]{Fazit}%
% \usepackage[german]{certus}
\newcommand{ \coloneqq }{ := }
\newcommand{ \mb }{ \mathbb }
......@@ -49,6 +45,7 @@
\usepackage{bbm}
\usepackage{nicefrac}
\usepackage{tikz, tikz-cd}
\newcommand{ \Diff }{ \mathrm{D} }
\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
......@@ -73,11 +70,7 @@
\newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge}
%https://tex.stackexchange.com/questions/102460/underbraces-in-matrix-divided-in-blocks
\newcommand\undermat[2]{%
\makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{%
\begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{ #1 }}$}#2}
%example 1\reboxSmashedUnderbraces{ \smashedUnderbrace{2}{33333333333333333}4 }
\newcommand\realSmashL[1]{\smash{\mathllap{#1}}}
\newcommand\realSmashC[1]{\smash{\mathclap{#1}}}
\newcommand\realSmashR[1]{\smash{\mathrlap{#1}}}
......
......@@ -4,9 +4,7 @@
% redefine \subset to \subseteq
% ref
%TODO Nummerierung
TODO 2020-02-06
TODO 2020-02-07
% \atop
%%%%%%%%%%%
......@@ -4098,3 +4096,153 @@ $$
Aus dem Skalarprodukt auf $W$ ist ein Tripel $(I,g,\omega)$ auf $W_\R$ entsanden, welches Kompatibilitätsbedingungen $(*)$, $(**)$ erfüllt, \emph{Köhler-Tripel}.
\end{Fazit}
%2020-02-06
letztes Mal: $V$ $\mathbb \R$-Vektorraum, $\dim V = 2k$ $\rightsquigarrow \omega\in \bw^2V^*$ symplektisch, wenn es nicht ausgeartet ist
\begin{Bsp}
$\omega = \sum_{i=1}^k e_i^* \wedge f_i^*$, $B= (e_1, f_1, \ldots, e_k, f_k)$ Basis in $V$
$$
M_B(\omega) = \left[\begin{matrix} J & & \\ &\ddots& \\ &&J \end{matrix}\right], \quad J = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right)
$$
\end{Bsp}
\begin{Motivation}
Beispiel für symplektische Geometrie: Sei $Q$ eine Mannigfaltigkeit (Karte $(U,q)$) $\dim Q = n$.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T^*Q \arrow[d] \\
Q
\end{tikzcd}
\end{center}
$\dim T^*Q = 2n$ emph{Tautologische $1$-From $\alpha$ auf $T^*Q$}: Für $\xi\in T_pT^*Q$ ist $\alpha(\xi):= p({D_p\pi(\xi)}_{\in T_{\pi(p)}Q })\in \R$
Wie sight $\alpha$ in Koordinaten aus? Die Karte $(u,q)$ induziert Karte $(\tilde U, q, p)$ auf $T^*Q$ mit lokalen Koordinaten $\underbracket{q^1, \ldots, q^n}_{}, \underbracket{p_1,\ldots, p_n}_{}$
$p_1,\ldots, p_n$ Koordinaten $p$ in der Basis $\diffd q^1, \ldots, \diffd q^n$
Es gilt $\alpha = \sum_{i=1}^np_i\diffd q^i$:
$$
\xi &=& \sum_{i=1}^n \left( \xi_i \frac{\partial}{\partial q^i} + \eta_i \frac{\partial}{\partial p_i} \right) \in TT^*Q
\\ \Rightarrow D_p\pi(\xi) &=& \sum_{i=1}^n \xi \frac{\partial}{\partial q^i} \in TQ
$$
Der Koordinatenausdruck für $p(D_\pi (\xi))$ ist
$$
\left(\sum_{i=1}^n p_i\diffd q^i\right)\left( \sum_{j=1}^n \xi_i \frac{\partial}{\partial q^j} \right) = \sum_{i=1}^n p_i\xi = \left( \sum_{i=1}^n p_i\diffd q^i \right)(\xi)
$$
Alternativbezeichnung: $\alpha$ ist die \emph{Kontaktform} auf $T^*Q$.
\end{Motivation}
\begin{Def}
$$
\omega := \diffd \alpha \left( \overset{\text{in Koordinaten}}= \sum_{i=1}^n \diffd p_i \wedge\diffd q^i \right) \in \Omega^2(T^*Q)
$$
heißt \emph{kanonische symplektische Form} auf $T^*Q$
\end{Def}
\begin{Bem}
Für jedes $p\in T^*Q$ ist $\omega(p) \in \bw^2 \left( T_p T^* Q \right)^*$, $\dim T_pT^*Q = 2n$ eine symplektische Form.
\end{Bem}
\begin{Def}
Eine Mannigfaltigkeit $M$ von Dimension $2n$ zusammen mit einer $2$-Form $\omega\in \Omega^2(M)$, die:
\end{Def}
1. in jedem Punkt nicht ausgeartet ist (also symplektische Form auf $T_mM$ definiert) und
2. \emph{geschlossen} ist: $\diffd \omega = 0$ erfüllt, heißt $\emph{symplektische Mannigfaltigkeit}$.
\begin{Bsp}
$M=T^*Q$ ist symplektisch für jede Mannigfaltigkeit $Q$ ($\omega = \diffd \alpha$ kanonische symplektische Form)
\end{Bsp}
\begin{Bem}
In der Physik heißt $T^*Q$ \emph{Phasenraum}, $p_1, \ldots, p_n$ heißen die zu $q_1, \ldots, q_n$ gehörenden Impulse
\end{Bem}
\begin{Bsp}
$$
Q = \R \Rightarrow M = T^*Q \cong \R^2
$$
\end{Bsp}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,-2)--(0,2)node[anchor=east] {$p$};
\draw (-2,0)--(2,0)node[anchor=north] {$q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Wenn $(M,\omega)$ symplektisch, ist $\omega$ nicht ausgeartet. $\rightsquigarrow$ erhalten musikalische Isomophismen
$$
\sharp &\colon& T^*M \to TM
\\ \flat&\colon& TM \to T^*M
\\ && v\mapsto \omega(\cdot, v)
\\ && \sharp = \flat^{-1}
$$
Sei $H\in C^\infty(M) \rightsquigarrow \diffd H\in \Gamma(T^*M)\xrightarrow{\sharp}\Gamma(TM)$, $\diffd H \mapsto X_H$. $X_H$ heißt \emph{Hamiltion-Vektorfeld} zur (Hamilton-)Funktion $H$. Alternativbezeichnung: $X_H = \operatorname{sgrad} H$ („Schiefgradient“)
\begin{Bsp}
$$
Q = \R, M =T^*Q = \R^2, \omega= \diffd p \wedge\diffd q
$$
$$
H = H(q,p) \Rightarrow \diffd H = \frac{\partial H}{\partial q} \diffd q + \frac{\partial}{\partial p} \diffd p
$$
$$
\sharp \colon T^*M \to TM : \diffd \mapsto v : \diffd p \mapsto w
$$
$$
(\diffd p\wedge\diffd q)(\cdot, v) = \omega(\cdot, v) = \diffd q(\cdot), (\diffd p\wedge \diffd q)(\cdot, w) = \omega(\diffd, w) = \diffd p(\cdot)
$$
$V$ Basis $e=\frac{\partial}{\partial p}$, $f= \frac{\partial}{\partial q}$, $\omega = e^*\wedge f^* = \diffd p\wedge\diffd q$
$$
(e^*\wedge f^*)(\cdot, v) = f^*(\cdot), v = \pm e, w= \pm f
$$
$$
\reboxSmashedUnderbraces{
(\diffd p \wedge \diffd q)\left(z, \frac{\partial}{\partial p}\right) = \det \left( \begin{matrix} \diffd p(z) & \diffd q(z) \\ \smashedUnderbrace{\scriptstyle{\diffd p \left( \frac{\partial}{\partial p} \right)}}{=1} & \smashedUnderbrace{\scriptstyle{\diffd q \left( \frac{\partial}{\partial p} \right)}}{=0} \end{matrix} \right) = -\diffd q(z)
}
$$
$$
\reboxSmashedUnderbraces{
(\diffd p \wedge \diffd q)\left(z, \frac{\partial}{\partial q}\right) = \det \left( \begin{matrix} \diffd p(z) & \diffd q(z) \\ \scriptstyle{\diffd p \left( \frac{\partial}{\partial q} \right)} & \scriptstyle{\diffd q \left( \frac{\partial}{\partial q} \right)} \end{matrix} \right) = -\diffd q(z)
}
$$
$\Rightarrow v = \frac{\partial}{\partial p}$, $w = \frac{\partial}{\partial q}$
$$
\rightarrow X_H = -\frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial}{\partial p} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial}{\partial q}
$$
Die Differentialgleichung zu $X_H$:
$$
\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot p = \frac{\partial H}{\partial q}
$$
$\rightarrow$ Hamilton-Gleichung der klassischen Mechanik
\end{Bsp}
\begin{Bem}
physikalischer Input: $H=$ Gesammtenergie des mechanischen Systems, ausgedrückt durch Impulse und Koordinaten. Typisch ist dabei die Form $H = \frac{p^2}{2m}+V(q)$, Kinetische Energie: $\frac{p^2}{2m}$, potential Energie: $V(q)$
\end{Bem}
\begin{Bsp}
$$
H = \frac{p^2 + q^2}{2} \rightsquigarrow \dot q = p,\quad \dot p = -q
$$
\end{Bsp}
TODO Bildchen 47
Beobachtung: Integralkurven verlaufen in Nivauflächen von $H$ $\Rightarrow$ bleibt erhalten (ist Erhaltungsgröße)
Suche nach Erhaltungsgrößen motiviert:
\begin{Def}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $X\in \Gamma(TM)$ ein Vektorfeld. Eine Funktion $\varphi$ heißt \emph{Erhaltungsgröße} von $X$ ($=$ vom Fluss von $X$), wenn $\mathcal L_X = 0 \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0}(\phi_t^*\varphi)$
Wenn $(M,\omega)$ symplektisch, $X=X_H$ Hamiltion-Vektorfeld:
\end{Def}
\begin{Def}
Die \emph{Poisson-Klammer von $\varphi$ und $H$} ist die Lie-Abbildung von $\varphi$ und $X_H$: $\{ \varphi, H \} := \mathcal L_{X_H}\varphi$. $\varphi$ ist also eine Erhaltungsgröße $\Leftrightarrow \{ \varphi, H \} = 0$ Nun erinnern wir uns daran, dass $\mathcal L_X \varphi = X(\varphi)$. $\Rightarrow \{ \varphi, H \} = X_H(\varphi) = \diffd \varphi(X_H)$
$$
X_H = \diffd H^\sharp \quad Y(\diffd h^\sharp) = \omega(Y, \diffd H)
$$
\end{Def}
TODO 2020-02-07
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