diff --git a/diffgeoIII/custom.tex b/diffgeoIII/custom.tex index 361370c26b5920447abb032688d02b1b79805d87..82b8c01e814ae41acc981b681a7904932263394f 100644 --- a/diffgeoIII/custom.tex +++ b/diffgeoIII/custom.tex @@ -25,13 +25,9 @@ \newtheorem{Erinnerung}[Def]{Erinnerung}% \newtheorem{Folgerung}[Def]{Folgerung}% \newtheorem{Behauptung}[Def]{Behauptung}% +\newtheorem{Beobachtung}[Def]{Beobachtung}% \newtheorem{Fazit}[Def]{Fazit}% - -% \usepackage[german]{certus} - - - \newcommand{ \coloneqq }{ := } \newcommand{ \mb }{ \mathbb } @@ -49,6 +45,7 @@ \usepackage{bbm} \usepackage{nicefrac} \usepackage{tikz, tikz-cd} + \newcommand{ \Diff }{ \mathrm{D} } \newcommand{ \diffd }{ \mathrm d } \newcommand{ \intd }{ \,\diffd } @@ -73,11 +70,7 @@ \newcommand{ \wlw }{\wedge\ldots\wedge} -%https://tex.stackexchange.com/questions/102460/underbraces-in-matrix-divided-in-blocks -\newcommand\undermat[2]{% - \makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{% - \begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{ #1 }}$}#2} - +%example 1\reboxSmashedUnderbraces{ \smashedUnderbrace{2}{33333333333333333}4 } \newcommand\realSmashL[1]{\smash{\mathllap{#1}}} \newcommand\realSmashC[1]{\smash{\mathclap{#1}}} \newcommand\realSmashR[1]{\smash{\mathrlap{#1}}} diff --git a/diffgeoIII/edit-this-file.tex b/diffgeoIII/edit-this-file.tex index 766228f7f5b74eec8a05175a7ca5d090feb71dd4..7c4630d52e4b777e82b0ab092fa4f9b7d6370ed0 100644 --- a/diffgeoIII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoIII/edit-this-file.tex @@ -4,9 +4,7 @@ % redefine \subset to \subseteq % ref %TODO Nummerierung - -TODO 2020-02-06 -TODO 2020-02-07 +% \atop %%%%%%%%%%% @@ -4098,3 +4096,153 @@ $$ Aus dem Skalarprodukt auf $W$ ist ein Tripel $(I,g,\omega)$ auf $W_\R$ entsanden, welches Kompatibilitätsbedingungen $(*)$, $(**)$ erfüllt, \emph{Köhler-Tripel}. \end{Fazit} +%2020-02-06 + +letztes Mal: $V$ $\mathbb \R$-Vektorraum, $\dim V = 2k$ $\rightsquigarrow \omega\in \bw^2V^*$ symplektisch, wenn es nicht ausgeartet ist + +\begin{Bsp} + $\omega = \sum_{i=1}^k e_i^* \wedge f_i^*$, $B= (e_1, f_1, \ldots, e_k, f_k)$ Basis in $V$ + $$ + M_B(\omega) = \left[\begin{matrix} J & & \\ &\ddots& \\ &&J \end{matrix}\right], \quad J = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right) + $$ +\end{Bsp} + +\begin{Motivation} + Beispiel für symplektische Geometrie: Sei $Q$ eine Mannigfaltigkeit (Karte $(U,q)$) $\dim Q = n$. + \begin{center} + \begin{tikzcd} + T^*Q \arrow[d] \\ + Q + \end{tikzcd} + \end{center} + $\dim T^*Q = 2n$ emph{Tautologische $1$-From $\alpha$ auf $T^*Q$}: Für $\xi\in T_pT^*Q$ ist $\alpha(\xi):= p({D_p\pi(\xi)}_{\in T_{\pi(p)}Q })\in \R$ + Wie sight $\alpha$ in Koordinaten aus? Die Karte $(u,q)$ induziert Karte $(\tilde U, q, p)$ auf $T^*Q$ mit lokalen Koordinaten $\underbracket{q^1, \ldots, q^n}_{}, \underbracket{p_1,\ldots, p_n}_{}$ + + $p_1,\ldots, p_n$ Koordinaten $p$ in der Basis $\diffd q^1, \ldots, \diffd q^n$ + Es gilt $\alpha = \sum_{i=1}^np_i\diffd q^i$: + $$ + \xi &=& \sum_{i=1}^n \left( \xi_i \frac{\partial}{\partial q^i} + \eta_i \frac{\partial}{\partial p_i} \right) \in TT^*Q + \\ \Rightarrow D_p\pi(\xi) &=& \sum_{i=1}^n \xi \frac{\partial}{\partial q^i} \in TQ + $$ + Der Koordinatenausdruck für $p(D_\pi (\xi))$ ist + $$ + \left(\sum_{i=1}^n p_i\diffd q^i\right)\left( \sum_{j=1}^n \xi_i \frac{\partial}{\partial q^j} \right) = \sum_{i=1}^n p_i\xi = \left( \sum_{i=1}^n p_i\diffd q^i \right)(\xi) + $$ + Alternativbezeichnung: $\alpha$ ist die \emph{Kontaktform} auf $T^*Q$. +\end{Motivation} + +\begin{Def} + $$ + \omega := \diffd \alpha \left( \overset{\text{in Koordinaten}}= \sum_{i=1}^n \diffd p_i \wedge\diffd q^i \right) \in \Omega^2(T^*Q) + $$ + heißt \emph{kanonische symplektische Form} auf $T^*Q$ +\end{Def} + +\begin{Bem} + Für jedes $p\in T^*Q$ ist $\omega(p) \in \bw^2 \left( T_p T^* Q \right)^*$, $\dim T_pT^*Q = 2n$ eine symplektische Form. +\end{Bem} + +\begin{Def} + Eine Mannigfaltigkeit $M$ von Dimension $2n$ zusammen mit einer $2$-Form $\omega\in \Omega^2(M)$, die: +\end{Def} +1. in jedem Punkt nicht ausgeartet ist (also symplektische Form auf $T_mM$ definiert) und +2. \emph{geschlossen} ist: $\diffd \omega = 0$ erfüllt, heißt $\emph{symplektische Mannigfaltigkeit}$. + +\begin{Bsp} + $M=T^*Q$ ist symplektisch für jede Mannigfaltigkeit $Q$ ($\omega = \diffd \alpha$ kanonische symplektische Form) +\end{Bsp} + +\begin{Bem} + In der Physik heißt $T^*Q$ \emph{Phasenraum}, $p_1, \ldots, p_n$ heißen die zu $q_1, \ldots, q_n$ gehörenden Impulse +\end{Bem} + +\begin{Bsp} + $$ + Q = \R \Rightarrow M = T^*Q \cong \R^2 + $$ +\end{Bsp} + +\begin{center} +\begin{tikzpicture} + \draw (0,-2)--(0,2)node[anchor=east] {$p$}; + \draw (-2,0)--(2,0)node[anchor=north] {$q$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Wenn $(M,\omega)$ symplektisch, ist $\omega$ nicht ausgeartet. $\rightsquigarrow$ erhalten musikalische Isomophismen +$$ + \sharp &\colon& T^*M \to TM + \\ \flat&\colon& TM \to T^*M + \\ && v\mapsto \omega(\cdot, v) + \\ && \sharp = \flat^{-1} +$$ +Sei $H\in C^\infty(M) \rightsquigarrow \diffd H\in \Gamma(T^*M)\xrightarrow{\sharp}\Gamma(TM)$, $\diffd H \mapsto X_H$. $X_H$ heißt \emph{Hamiltion-Vektorfeld} zur (Hamilton-)Funktion $H$. Alternativbezeichnung: $X_H = \operatorname{sgrad} H$ („Schiefgradient“) + +\begin{Bsp} + $$ + Q = \R, M =T^*Q = \R^2, \omega= \diffd p \wedge\diffd q + $$ + $$ + H = H(q,p) \Rightarrow \diffd H = \frac{\partial H}{\partial q} \diffd q + \frac{\partial}{\partial p} \diffd p + $$ + $$ + \sharp \colon T^*M \to TM : \diffd \mapsto v : \diffd p \mapsto w + $$ + $$ + (\diffd p\wedge\diffd q)(\cdot, v) = \omega(\cdot, v) = \diffd q(\cdot), (\diffd p\wedge \diffd q)(\cdot, w) = \omega(\diffd, w) = \diffd p(\cdot) + $$ + $V$ Basis $e=\frac{\partial}{\partial p}$, $f= \frac{\partial}{\partial q}$, $\omega = e^*\wedge f^* = \diffd p\wedge\diffd q$ + $$ + (e^*\wedge f^*)(\cdot, v) = f^*(\cdot), v = \pm e, w= \pm f + $$ + $$ + \reboxSmashedUnderbraces{ + (\diffd p \wedge \diffd q)\left(z, \frac{\partial}{\partial p}\right) = \det \left( \begin{matrix} \diffd p(z) & \diffd q(z) \\ \smashedUnderbrace{\scriptstyle{\diffd p \left( \frac{\partial}{\partial p} \right)}}{=1} & \smashedUnderbrace{\scriptstyle{\diffd q \left( \frac{\partial}{\partial p} \right)}}{=0} \end{matrix} \right) = -\diffd q(z) + } + $$ + $$ + \reboxSmashedUnderbraces{ + (\diffd p \wedge \diffd q)\left(z, \frac{\partial}{\partial q}\right) = \det \left( \begin{matrix} \diffd p(z) & \diffd q(z) \\ \scriptstyle{\diffd p \left( \frac{\partial}{\partial q} \right)} & \scriptstyle{\diffd q \left( \frac{\partial}{\partial q} \right)} \end{matrix} \right) = -\diffd q(z) + } + $$ + $\Rightarrow v = \frac{\partial}{\partial p}$, $w = \frac{\partial}{\partial q}$ + $$ + \rightarrow X_H = -\frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial}{\partial p} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial}{\partial q} + $$ + Die Differentialgleichung zu $X_H$: + $$ + \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot p = \frac{\partial H}{\partial q} + $$ + $\rightarrow$ Hamilton-Gleichung der klassischen Mechanik +\end{Bsp} + +\begin{Bem} + physikalischer Input: $H=$ Gesammtenergie des mechanischen Systems, ausgedrückt durch Impulse und Koordinaten. Typisch ist dabei die Form $H = \frac{p^2}{2m}+V(q)$, Kinetische Energie: $\frac{p^2}{2m}$, potential Energie: $V(q)$ +\end{Bem} + +\begin{Bsp} + $$ + H = \frac{p^2 + q^2}{2} \rightsquigarrow \dot q = p,\quad \dot p = -q + $$ +\end{Bsp} + +TODO Bildchen 47 + +Beobachtung: Integralkurven verlaufen in Nivauflächen von $H$ $\Rightarrow$ bleibt erhalten (ist Erhaltungsgröße) + +Suche nach Erhaltungsgrößen motiviert: + +\begin{Def} + Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $X\in \Gamma(TM)$ ein Vektorfeld. Eine Funktion $\varphi$ heißt \emph{Erhaltungsgröße} von $X$ ($=$ vom Fluss von $X$), wenn $\mathcal L_X = 0 \left.\frac{\diffd}{\diffd t}\right|_{t=0}(\phi_t^*\varphi)$ + + Wenn $(M,\omega)$ symplektisch, $X=X_H$ Hamiltion-Vektorfeld: +\end{Def} + +\begin{Def} + Die \emph{Poisson-Klammer von $\varphi$ und $H$} ist die Lie-Abbildung von $\varphi$ und $X_H$: $\{ \varphi, H \} := \mathcal L_{X_H}\varphi$. $\varphi$ ist also eine Erhaltungsgröße $\Leftrightarrow \{ \varphi, H \} = 0$ Nun erinnern wir uns daran, dass $\mathcal L_X \varphi = X(\varphi)$. $\Rightarrow \{ \varphi, H \} = X_H(\varphi) = \diffd \varphi(X_H)$ + $$ + X_H = \diffd H^\sharp \quad Y(\diffd h^\sharp) = \omega(Y, \diffd H) + $$ +\end{Def} + +TODO 2020-02-07