### 2019-04-03

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 # cp edit-this-file.tex tmp.tex inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . | inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . | while read -r directory events filename; do while read -r directory events filename; do if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then cp edit-this-file.tex tmp.tex cp edit-this-file.tex tmp.tex python3 preprocessor.py python3 preprocessor.py pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o gdim.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template" clear && clear echo "start pdflatex" pdflatex -interaction=nonstopmode gdim.tex pdflatex -interaction=nonstopmode gdim.tex #pdflatex gdim.tex #pdflatex gdim.tex ... ...
 ... @@ -105,3 +105,205 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana ... @@ -105,3 +105,205 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana $$1$$1 %DATE 2019-04-02 %DATE 2019-04-02 * 1. Übung Differential einer Abbildung $$1 f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n$$1 $$p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear}) \\ v &\mapsto& \underbrace{\partial_vf(p)}_{=D_pf(v)}$$ $$\partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i \\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{ \begin{matrix} i = \overline{1, m} \\ j = \overline{1, n} \end{matrix}}$$ $$f\colon M\to N$$ $$p\in M \rightsquigarrow D_p f \colon &T_p M& \to T_{f(p)}N\ \text{linear} \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{\in}}& \\ &v& \mapsto (\underbrace{\varphi}_{C^\infty} \mapsto v(f^*\varphi)) = v(\underbrace{\phi \circ f}_{\in C^\infty(M)})$$ $v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$ \begin{tikzcd} M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \end{tikzcd} %TODO vertical line TODO Bildchen %TODO $$M &\overset f\to& N \\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{\leadsto}}& \\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden \\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f$$ Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear %TODO vertical line ** Beispiel $$1 G = U(n) = \{ A \in \mathbb M_n (\mathbb C) \ |\ A^*A = 1 \} \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb C)$$1 $$&\operatorname{Lie}(G)& = \operatorname{og} = \underline{u}(n) = {?} = \{ X\in \mathbb M_n \mathbb(C) \ |\ X^* = -X \},\ [\cdot, \cdot] \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{\cong}}&\\ &T_1G& \subset T_1\operatorname{GL}(n, \mathbb C) \cong \operatorname{gl}(n, \mathbb C) \cong \mathbb M_n(\mathbb C) \\&\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{=}}&\\ \{&\dot\gamma(0)& \ |\ \gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G \wedge \gamma(0) = 1\}$$ Sei $\gamma\colon(-\epsilon, \epsilon) \to G$ eine Kurve, $\gamma(0)=1$ $G=U(n)\Rightarrow \gamma(t)^*\cdot \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$ $$\dot\gamma(0)^*\gamma(0) &+& \gamma(0)^*\dot\gamma(0) = 0\\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{=}}&\\ \dot\gamma(0)^* &+& \dot\gamma(0) = 0$$ Also: $$T_1(G) \subseteq \{ X\in \mathbb M_n(\mathbb C)\ |\ X^* = -X \}$$ Dazu: Zeige $\supseteq$ betrachte: $$\gamma(t) := e^{tX} \left(:= \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k X^k}{k!}\right) \\ \gamma(t)^* = e^{tX^*} = e^{-tX} \\ \gamma(t)*\gamma(t) = e^{-tX}\cdot e^{tX} = 1 \Rightarrow \gamma(t)\in \operatorname{U}(n) \\ \dot\gamma(t) = Xe^{tX} \Rightarrow \dot\gamma(0) = X$$ wie gewünscht. $\Rightarrow$ Gleichheit %Hinweis nur mündlich: $$D_1 \det = (A\mapsto \operatorname{Trace}(A))$$ $$G = U(n) < \operatorname{GL}(n,\mathbb R) \operatorname{og} = \underline{u}(n) \subset \operatorname{gl}(n,\mathbb R) = \mathbb M_n(\mathbb R)$$ Wir haben gesehen: $$\exp \colon &\operatorname{og}& \to G\\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{\in}}&\\ &X& \mapsto \exp(X)$$ $$\gamma(t) = e^{tX} = \exp(tX)$$ $$\dot\gamma(t) = Xe^{tX} = e^{tX} \cdot X = \gamma(t) \cdot X = \left( L_{\gamma{(t)}} \right)_* \underbrace{X}_{\in T_1G} = \tilde X(\gamma(t))$$ wobei $\tilde X$ das linksinvariante Vektorfeld zu $X$ ist $\Rightarrow \gamma(t)$ ist eine Integralkurve von $\tilde X$ Ausführlicher: $G\in \operatorname{GL}(m, \mathbb R) \subset \mathbb M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$ $$X\in T_1G \rightsquigarrow \underbrace{\tilde X(A)}_{ \text{linksinvariantes VF} } = \underbrace A_{\in G}\cdot X \in T_AG\subseteq \mathbb M_n(\mathbb R)$$ Eine Integralkurve $A(t) \in G$ von $\tilde X$ erfüllt dann: $$\dot A(t) = A(t)\cdot X$$ $\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$ %TODO vertical line $$x &\mapsto& A\cdot x \\ f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^n \ \text{linear} \\ \Rightarrow D_pf = f\colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m \\ \\ f\colon V &\to& W \text{ linear}$$ mit Übung 28 %TODO ref $p\in V$: \begin{center} \begin{tikzcd} T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\ V \arrow[r, "f"] & W \end{tikzcd} \end{center} %TODO vertical line %TODO das war das mündliche Zeug $$\det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}$$ $$\det \colon \operatorname{GL}(n, \mathbb R) \to \mathbb R$$ $$D_1 \det \colon \mathbb M_n(R) &\to &\mathbb R \\ A &\mapsto& {?} = \operatorname{Tr}(A)$$ $$\det (1+tA) = 1 + ({?}) + O(t^2)$$ Determinante ist Konjugationsinvariant $$1 \det(1+tA) = \det (1+tBAB^{-1})$$1 Wenn $A$ diagonalisierbar ist folgt somit: $$\det (1+tA) &=& \left|\begin{matrix} 1+t\lambda_1& & \\ & \ddots & \\ && 1+t\lambda_n \end{matrix}\right| \\&=& (1+t\lambda_1)\cdots(1+t\lambda_n) \\&=& 1+t(\lambda_1 + \lambda_n) + O(t^2) \\&=& 1 + t\cdot \operatorname{Trace}(A) + O(t^2)$$
 ... @@ -70,3 +70,12 @@ Beweis: ... @@ -70,3 +70,12 @@ Beweis: * Siehe vorheriger Beweis * Siehe vorheriger Beweis * dann erhalte nichts * dann erhalte nichts \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\leadsto$}} \begin{center} \begin{tikzcd} T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\ V \arrow[r, "f"] & W \end{tikzcd} \end{center}
 ... @@ -379,6 +379,12 @@ $if(logo)$ ... @@ -379,6 +379,12 @@ $if(logo)$ $endif$ $endif$ $endif$ $endif$ %custom $if(tikz)$ \usepackage{tikz, tikz-cd} $endif$ \begin{document} \begin{document} $if(title)$ $if(title)$ $if(beamer)$ $if(beamer)$ ... ...
 --- --- title: 'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne jegliche Gewähr' title: 'DGEO Sommersemester 2019 alpha version, ohne Gewähr' author: author: - 'Dozent: ' - 'Dozent: ' - 'Satz: ' - 'Satz: ' ... @@ -7,4 +7,6 @@ author: ... @@ -7,4 +7,6 @@ author: lang: de lang: de papersize: a4 papersize: a4 toc: yes toc: yes graphics: yes tikz: yes ... ...
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