V\otimes W \arrow[r, "i_1"]\arrow[rd, "i_1"']& (V\otimes W)_2 \arrow[d, "\bar f"]\\
& (V\otimes W)_2
\end{tikzcd}
\end{center}
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$.
$$
(f_2\circ f_1)\circ i_1&=& i_1
\\{\operatorname{id}}\circ i_1&=& i_1
$$
Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
$$
f_2\circ f_1=\bar f =\operatorname{id}
$$
Also $f_1\circ f_2=\operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also $f_1$ Isomorphismus
** Existenz von $V \otimes W$
...
...
@@ -500,29 +510,36 @@ $$
$$
$$
V\otimes W :=
V\otimes W &:=&
{
\mathcal F(V\times W)
}/{
\left\langle
\begin{subarray}{l}
(v_1+v_2, w)-(v_1,w)-(v_2,w), v_1, v_2\in V, w\in W \\
(v, w_1+w_2)-(v,w_1)-(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle\text{ ist UV}}=&\eins_{(v_1,w)}+\eins_{(v_2, w)}+\left(\left(\eins_{(v_1+v_2, w)}-\eins_{(v_1,w)}-\eins_{(v_2,w)}\right)+\langle\ldots\rangle\right)
§ \\&=&\eins_{(v_1+v_2, w)}+\langle\ldots\rangle
§ \\&=&\left[\eins_{(v_1+v_2, w)}\right]
§ \\&=&(v_1+v_2)\otimes w
§$$
$$
\langle\cdot\rangle=\operatorname{span}(\cdot)
$$
%2019-04-10
wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'}=\{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E =\mathcal F(V\times W)$, $E' =\langle\ldots\rangle$)
...
...
@@ -548,7 +572,13 @@ Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $
Entsprechend ist
$$
V\otimes W =\operatorname{span}\{\underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
V\otimes W
§ &=&\{f+\langle\ldots\rangle\mathrel | f \in\mathcal F(V\times W)\}
(Beweis: es reicht, das für $\alpha=\alpha_I \intd x^I$, $\beta=\beta_J\intd x^J$ zu zeigen ($I\cap J =\emptyset$, $I<J$ in $\{1,\ldots, n \}$, $\forall i\in I, j\in J: i<j$))
- (4') für $k=0$ ist $\intd f|_U =\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^i}\intd x^i =\intd\underbrace{f}_{\text{Differential von } f}$
- (5') wenn $\omega_1=\omega_2$ auf $\underbrace{ V }_{\text{offen}}\subseteq U$, dann gilt
$$
\intd\omega_1|_V =\intd\omega_2|_V
$$
(weil dres für Funktionen gilt)
Nun zeigen wir, dass somit $\intd$ wohldefiniert ist d.h. $\intd\omega|_U$ hängt nicht von der Wahl der Karte $(U,x)$ ab. Dazu sei $(U',y)$ eine andere Karte und $\intd'$ das entsprechen definierte Differential:
Das $\intd$ erfüllt (1) - (4) wegen (1') - (4') $\Rightarrow$ Existenz.
Zur Eindeutigkeit seien $\intd^{(1)}$ und $\intd^{(2)}$ zwei lineare Abbildungen, die (1) - (2) erfüllen.
Die Eigenschaften (1) - (4) implizieren, dass in jeder Karte $(U,x)$ (1') - (4') erfüllt sind und wir haben gerade festgestellt, dass diese die Abbildung $\intd$ eindeutig bestimmen.
Beispiel:
Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega= P\intd x +\Q\intd y$
$$
\intd\omega&=&\left(\frac{\partial P}{\partial x}\intd x +\frac{\partial P}{\partial y}\intd y \right)\wedge\intd x
\\&+&\left(\frac{\partial Q}{\partial x}\intd x +\frac{\partial P}{\partial y}\intd y \right)\wedge\intd y
\\(&=&\intd P\wedge\intd x +\intd Q \wedge dy)
\\&=&\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\intd x \wedge\intd y
Idee: wir können in $\mathbb R^n$ integrieren also führen wir die Situation auf Mannigfaltigkeit darauf zurück.
Der $k$-Würfel in $\mathbb R^n$ ist $[0,1]^k \subset\mathbb R^k$
Definition:
Sei $\omega= f \intd u^1\wedge\ldots\wedge\intd u^k$ eine Differentialform auf $[0,1]^k$ (Errinnerung: d.h dass (e) eigentlich auf einer offenen Umgebung $V\supseteq[0,1]^k$ definiert ist)
