2019-04-30

diffgeoII/edit-this-file.tex

@@ -476,16 +476,26 @@ Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)
 
 Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
 
-Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$
+Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte:
 
 \begin{center}
 \begin{tikzcd}
-V\otimes W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \                   \\
-\                                             & (V\otimes W)_2                           & \  \arrow[u, "id"']
+V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "\bar f"] \\
+                                               & (V\otimes W)_2                    
 \end{tikzcd}
 \end{center}
 
-Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
+$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$.
+
+$$
+  (f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1
+  \\ {\operatorname{id}} \circ i_1 &=& i_1
+$$
+Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
+$$
+  f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id}
+$$
+Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also $f_1$ Isomorphismus
 
 ** Existenz von $V \otimes W$
 
@@ -500,29 +510,36 @@ $$
 $$
 
 $$
-  V\otimes W :=
+  V\otimes W &:=&
   {
-    \mathcal F(V\times W)
-  }/{
-    \left\langle
-    \begin{subarray}{l}
-      (v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
-      (v, w_1+w_2) -(v,w_1) -(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
-      \left.
+    \mathcal F_{\mathbb R}(V\times W)
+  }/\underbrace{
+    \left\langle\left\{
       \begin{subarray}{l}
-        (\lambda v, w) - \lambda(v,w) \\
-        (v, \lambda w) - \lambda(v,w) \\
+        \eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)}
+        \\ \eins_{(v, w_1+w_2)} -\eins_{(v,w_1)} -\eins_{(v,w_2)}
+        \\ \eins_{(\lambda v, w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
+        \\ \eins_{(v, \lambda w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
       \end{subarray}
-      \right\}
-      v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
-    \end{subarray} \right\rangle
-  }
+    \mathrel{\middle|}
+      \begin{subarray}{l}
+        v_1, v_2, v\in V,
+        \\w_1, w_2, w\in W,
+        \\ \lambda \in \mathbb R
+      \end{subarray}
+    \right\}\right\rangle
+  }_{:=\langle\ldots\rangle}
+  \\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{\middle|} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\}
+$$
+
+$$
+  \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot), \quad \eins = \text{Indikatorfunktion}
 $$
 
 Sei
 $$
   i \colon &V\times W& \to V\otimes W
-  \\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\otimes w
+  \\ &(v,w)& \mapsto \left[\eins_{(v,w)}\right] =: v\otimes w
 $$
 
 Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
@@ -533,12 +550,19 @@ $$
   \\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
 $$
 
-%%%%2019-04-10
+§Begründung:
+§$$
+§  v_1\otimes w + v_2 \otimes w
+§  &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)]
+§  \\&=& {\eins}_{(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
+§  \\&=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
+§  \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \left(\left( \eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle \right)
+§  \\&=& \eins_{(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
+§  \\&=& \left[\eins_{(v_1+v_2, w)}\right]
+§  \\&=& (v_1+v_2)\otimes w
+§$$
 
-
-$$
-  \langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot)
-$$
+%2019-04-10
 
 wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)
 
@@ -548,7 +572,13 @@ Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $
 Entsprechend ist
 
 $$
-  V\otimes W = \operatorname{span}\{ \underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
+  V\otimes W
+§  &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \}
+§  \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n  \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{\middle |} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\}
+§  \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \}
+%   \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \}
+§  \\
+  &=& \operatorname{span}\{ v\otimes w \mathrel| v\in V, w\in W \}
 $$
 
 mit den Relationen:
@@ -577,13 +607,18 @@ Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$
 $$
   \bar f\colon V\otimes W &\to& Z
   \\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w))
+§  \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right)
 $$
 
 Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref 
 im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.
 
 $$
-  && \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
+§  && \bar f(\eins_{(v_1 + v_2, w)} -\eins_{(v_1, w)} -\eins_{(v_2, w)})
+§  \\
+  &
+§  =
+  & \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
   \\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w)
   \\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0
 $$
@@ -1469,3 +1504,236 @@ $$
   \\ (\mathcal X_1,\ldots, \mathcal X_r, \alpha_1, \ldots, \alpha_s) &\mapsto& (p \mapsto (t(p)) (\mathcal X_1(p),\ldots, \mathcal X_r(p), \alpha_1(p), \ldots, \alpha_s(p) )
 $$
 
+%2019-04-30
+
+* Differentialformen
+
+$$
+  \Omega (M) := \Gamma(\bigwedge_k \Gamma^* M) \text{$k$-Differentialformen auf $M$}
+$$
+
+Lokal sieht jede $\omega \in \Omega^k (M)$ so aus:
+
+$$
+  \omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \underbrace{ \omega_{i_i,\ldots,i_k} }_{\in C^\infty(U)} \intd x^{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x^{i_k} =: \sum_{I\subseteq \{ 1,\ldots,n \} \atop |I| = k} \omega_I \intd x^I
+$$
+
+Ableitungsoperation ($=$ das äußere Differential) auf Formen.
+
+Letztes Mal:
+$$
+\Omega^0(M) &=& C^\infty
+\\\Omega^1 (M) = \Gamma (T^* M)
+$$
+
+haben schon die Ableitungsoperation ($=$ Differential)
+
+$$
+  \intd \colon \Omega^0 (M) &\to& \Omega^1 (M)
+  \\f &\mapsto& \intd f
+  \\ \intd f(X) &:=& X(f)
+$$
+
+definiert.
+
+** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des äußeren Differentials
+
+Sei $\Omega^* (M) = \bigoplus_{k=0}^\infty \Omega^k(M) = \bigoplus_{k=0}^{\operatorname{dim} M} \Omega^k(M)$
+
+Es gibt eine eindeutige lineare Abbildung $\intd \colon \Omega^*(M) \to \Omega^*(M)$ mit folgenden Eigenschaften:
+ - $\intd \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$
+ - Leibnitz-Regel: $\intd (\alpha \wedge \beta) = \intd \alpha\wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \intd \beta$, $\alpha \in \Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega^l(M)$
+ - $d^2 = 0$ ($d_0 d = 0$)
+ - für $k=0$ stimmt $\intd \colon \Omega^0(M) \to \Omega^1(M)$ mit den Differential einer Funktion überein (wie oben)
+
+Beweis:
+
+Wir definieren $d$ folgendermaßen:
+
+Sei $\omega \in Omega^k(M)$ mit der lokalen Darstellung
+
+$$
+  \omega = \sum_{I\subseteq \{1,\ldots,n\}\atop |I| = k } \omega_I \intd x^I
+$$
+
+wie oben $(U,x)$ eine Karte.
+
+Definiere 
+$$
+  \intd \omega|_U := \sum_{I\subseteq\{1,\ldots,n\}\atop |I| =k } \intd \omega_I \wedge \intd x^I
+$$
+
+Mit dieser Definition gilt:
+
+ - (1') $\intd \omega|_U \in \Omega^{k+1}(U)$, $\intd \omega|_U$ hängt linear von $\omega$ ab
+ - (2') $\intd (\alpha \wedge \beta) = \intd \alpha\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge\intd\beta$, $\alpha\in \Omega^k(U)$, $\beta \in \Omega^l(U)$
+   (Beweis: es reicht, das für $\alpha = \alpha_I \intd x^I$, $\beta = \beta_J\intd x^J$ zu zeigen ($I\cap J = \emptyset$, $I<J$ in $\{ 1,\ldots, n \}$, $\forall i\in I, j\in J: i<j$))
+   $$
+     \alpha \wedge \beta = \alpha_I \beta_J  \intd x^{I\cup J} \Rightarrow \intd (\alpha\wedge\beta) = \beta_J \intd \alpha_I \wedge \intd x^{I\cup J}
+     +\alpha_I \intd\beta_J \wedge \intd x^{I\cup J}
+     = \intd \alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \intd \beta
+   $$
+ - $\intd(\intd f) = 0$, $f+\Omega^0(M)$, weil
+   $$
+     \intd(\intd f) = \intd\left( \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} \right) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^i\partial x^j} \intd x^j \wedge dx^i \right) = 0
+   $$
+ - (4') für $k= 0$ ist $\intd f|_U = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} \intd x^i = \intd \underbrace{f}_{\text{Differential von } f}$
+ - (5') wenn $\omega_1 = \omega_2$ auf $\underbrace{ V }_{\text{offen}}\subseteq U$, dann gilt
+   $$
+     \intd \omega_1|_V = \intd\omega_2|_V
+   $$
+   (weil dres für Funktionen gilt)
+Nun zeigen wir, dass somit $\intd$ wohldefiniert ist d.h. $\intd \omega|_U$ hängt nicht von der Wahl der Karte $(U,x)$ ab. Dazu sei $(U',y)$ eine andere Karte und $\intd'$ das entsprechen definierte Differential:
+
+$$
+  \intd' \omega|_U = \sum_{I\subseteq \{ 1,\ldots, n \} \atop |I| = k} \intd \omega_I \wedge \intd y^I, \quad \omega = \sum \omega_I \intd x^I
+$$
+
+Zu zeigen: $\intd' \omega = \intd \omega$
+
+Nach (4') %TODO ref
+gilt:
+
+$$
+  \intd'(\wedge_I\intd x^I)
+  &\overset{\text{Leibnitz (2'%TODO ref
+  )}}{=}
+  &
+  \intd'\omega_I \wedge \intd x^I + \omega_1 \wedge \intd'(\intd x^I)
+  \\&\overset{\text{(4')}}=& \intd \omega_I \wedge \intd x^I + 0 = \intd(\omega_I \intd x^I) 
+$$
+weil:
+
+$$
+  \intd'(\intd x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x_{i_k} ) \overset{\text{(4')}}= \intd'(\intd' x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd'x_{i_k}) 
+  \overset{\text{(2')} \text{(3')}}= 0, d'^2 = 0
+$$
+
+Das $\intd$ erfüllt (1) - (4) wegen (1') - (4') $\Rightarrow$ Existenz.
+
+Zur Eindeutigkeit seien $\intd^{(1)}$ und $\intd^{(2)}$ zwei lineare Abbildungen, die (1) - (2) erfüllen.
+
+Die Eigenschaften (1) - (4) implizieren, dass in jeder Karte $(U,x)$ (1') - (4') erfüllt sind und wir haben gerade festgestellt, dass diese die Abbildung $\intd$ eindeutig bestimmen.
+
+Beispiel:
+
+Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + \Q \intd y$
+
+$$
+  \intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x
+  \\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
+  \\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy)
+  \\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y
+$$
+
+Erinnerung:
+
+geens Formel: $\gamma\colon [a,b] \to \mathbb R^2$ einfach geschlossen, $\Omega$ beschränktes Gebiet, von $\gamma$ berandet.
+
+$$
+  \int_{\gamma} \intd x + Q \intd y = \int_{\Omega} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x\intd y
+$$
+
+$$
+  \int_{\Omega} \intd w = \int_{\partial\Omega} w 
+$$
+
+* Integration von Differentialformen
+
+** Pullback: (Zurückziehen)
+
+Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt.
+
+Erinnerung:
+
+Wir können durch $f$ Funktionen Zurückziehen für
+
+$$
+  \varphi \in \Omega^0(N) = C^\infty(N) \text{ ist } \underbrace{ f^*(\varphi) }_{\in C^\infty(M)} := \varphi \circ f
+$$
+
+$\Rightarrow f^* \colon \Omega^0 (N) \to \Omega^0(M)$ linear (sogar Algebrahomomorphismus)
+
+Errinnerung:
+
+eine Differentialform $\omega \in \Omega^k (M)$ definiert eine $C^\infty$-lineare alternierend Abbildung
+
+$$
+  \omega\colon\Gamma(TM)\times\ldots\times\Gamma(TM) &\to& C^\infty(M)
+  \\ X_1,\ldots,X_k &\mapsto& (p\mapsto \omega(p) (X_1(p), \ldots, X_k(p)))
+$$
+
+Übung:
+
+Jede $C^\infty$-lineare alternierende Abbildung
+
+$$
+  \Gamma(TM) \times \ldots \times \Gamma(TM) \to C^\infty(M)
+$$
+
+bestimmt eindeutig eine $k$-Form $\omega$, die diese Abbildung induziert. (Beweis sie Buch Walschap)
+Sei $\omega \in \Omega^k(N)$ Definiere
+$$
+  (f^*(\omega) (X_1,\ldots, X_k)) (p) := \omega (f(p))(f_*(X_1(p)), \ldots, f_*(X_k(p)))
+$$
+
+$f^*(\omega)$ heißt Pullback von $\omega$ von $\omega$. Durch Nachrechnen ergibt sich:
+
+ - (1) $f^*(\omega_1\wedge \omega_2) = f^*(w_1)\wedge f^*(w_2)$
+ - (2) $\intd (f^*\omega) = f^*(\intd \omega)$
+
+Zu (2):
+
+Sei $U, x$ eine Karte von $N$
+
+$$
+  \omega|_U = \omega_I\intd x^I = \omega_I \intd x^{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x^{i_k}
+$$
+
+$k=0$:
+
+wenn $\omega = \varphi \Rightarrow$
+
+$$
+  f^*(\intd \varphi)(X) &=& \intd \varphi(f_*X)
+  \\&=& (f_*X)(\varphi)
+  \\&=& X(\varphi \circ f)
+  \\&=& X(f^*(\varphi))
+  \\&=& \intd (f^*\varphi) (X)
+$$
+
+$k>0$:
+
+$$
+  f^* \omega &=& (\omega_I \circ f) f^*(\intd x^{i_1}) \wedge \ldots \wedge f^*(\intd x^{i_k})
+  \\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k}))
+$$
+
+%TODO missing
+
+* Integration von Differentialform
+
+Idee: wir können in $\mathbb R^n$ integrieren also führen wir die Situation auf Mannigfaltigkeit darauf zurück.
+
+Der $k$-Würfel in $\mathbb R^n$ ist $[0,1]^k \subset \mathbb R^k$
+
+Definition:
+
+Sei $\omega = f \intd u^1 \wedge \ldots \wedge \intd u^k$ eine Differentialform auf $[0,1]^k$ (Errinnerung: d.h dass (e) eigentlich auf einer offenen Umgebung $V\supseteq [0,1]^k$ definiert ist)
+
+Definiere
+$$
+  \intd_{[0,1]^k}  \omega := \intd_{[0,1]^k} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k
+$$
+
+Definition:
+
+Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine glatte Abbildung $e\colon [0,1]^k \to M$
+
+Definition:
+
+Sei $\omega\in \Omega^k (M)$ , $c\colon [0,1]^k \to M$ eine singulärer $k$-Würfel:
+
+$$
+  \int_c \omega := \int_{[0,1^k]} c^*(\omega)
+$$

diffgeoII/latex.template

@@ -94,7 +94,7 @@ $if(linestretch)$
 \usepackage{setspace}
 \setstretch{$linestretch$}
 $endif$
-\usepackage{amssymb,amsmath}
+\usepackage{amssymb,amsmath,unicode-math}
 \usepackage{ifxetex,ifluatex}
 \ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
   \usepackage[$if(fontenc)$$fontenc$$else$T1$endif$]{fontenc}
@@ -381,11 +381,13 @@ $endif$
 
 %custom
 \usepackage{cancel}
+\usepackage{bbm}
 \usepackage{nicefrac}
 $if(tikz)$
 \usepackage{tikz, tikz-cd}
 $endif$
 \newcommand{ \intd }{ \,\mathrm d }
+\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
 
 
 \begin{document}

diffgeoII/preprocessor.py

@@ -12,6 +12,10 @@ with open(filename, 'r') as file:
 
     copy = re.sub("(?<!\\\\)\%.*\n", '', copy)
 
+    #turn on/off personal comments
+    #copy = re.sub("(?<!\\\\)\§.*\n", '', copy)
+    copy = re.sub("§", '', copy)
+
     copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\begin{eqnarray*}\n', copy, 1)
     copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\end{eqnarray*}\n', copy, 1)
     copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\begin{equation*}\n', copy, 1)