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2019-04-30

parent b2fb89ef
......@@ -476,16 +476,26 @@ Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_1$ liefert $f_1\colon (V\otimes W)
Die universelle Eigenschaft von $(V\otimes W)_2$ liefert $f_2\colon (V\otimes W)_2 \to (V\otimes W)_1$ mit $f_2\circ i_2 = i_1$.
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte z.B.: $f_1\circ f_2$
Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\otimes W \arrow[r, "i_2"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "f_1\circ f_2"] & \ \\
\ & (V\otimes W)_2 & \ \arrow[u, "id"']
V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "\bar f"] \\
& (V\otimes W)_2
\end{tikzcd}
\end{center}
Wegen der Eigenschaften in der Definition von $(V\otimes W)_2$ ist $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$. Analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$.
$$
(f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1
\\ {\operatorname{id}} \circ i_1 &=& i_1
$$
Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
$$
f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id}
$$
Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also $f_1$ Isomorphismus
** Existenz von $V \otimes W$
......@@ -500,29 +510,36 @@ $$
$$
$$
V\otimes W :=
V\otimes W &:=&
{
\mathcal F(V\times W)
}/{
\left\langle
\begin{subarray}{l}
(v_1+v_2, w) -(v_1,w) -(v_2,w), v_1, v_2 \in V, w\in W \\
(v, w_1+w_2) -(v,w_1) -(v,w_2), v \in V, w_1, w_2\in W \\
\left.
\mathcal F_{\mathbb R}(V\times W)
}/\underbrace{
\left\langle\left\{
\begin{subarray}{l}
(\lambda v, w) - \lambda(v,w) \\
(v, \lambda w) - \lambda(v,w) \\
\eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)}
\\ \eins_{(v, w_1+w_2)} -\eins_{(v,w_1)} -\eins_{(v,w_2)}
\\ \eins_{(\lambda v, w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
\\ \eins_{(v, \lambda w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
\end{subarray}
\right\}
v \in V, w\in W, \lambda \in \mathbb R
\end{subarray} \right\rangle
}
\mathrel{\middle|}
\begin{subarray}{l}
v_1, v_2, v\in V,
\\w_1, w_2, w\in W,
\\ \lambda \in \mathbb R
\end{subarray}
\right\}\right\rangle
}_{:=\langle\ldots\rangle}
\\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{\middle|} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\}
$$
$$
\langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot), \quad \eins = \text{Indikatorfunktion}
$$
Sei
$$
i \colon &V\times W& \to V\otimes W
\\ &(v,w)& \mapsto [(v,w)] =: v\otimes w
\\ &(v,w)& \mapsto \left[\eins_{(v,w)}\right] =: v\otimes w
$$
Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
......@@ -533,12 +550,19 @@ $$
\\ \lambda(v\otimes w) &=& v\otimes \lambda w = \lambda v\otimes w,\ \ v_1, v_2 \in V, w_1, w_2 \in W, \lambda \in \mathbb R
$$
%%%%2019-04-10
§Begründung:
§$$
§ v_1\otimes w + v_2 \otimes w
§ &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)]
§ \\&=& {\eins}_{(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \left(\left( \eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle \right)
§ \\&=& \eins_{(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& \left[\eins_{(v_1+v_2, w)}\right]
§ \\&=& (v_1+v_2)\otimes w
§$$
$$
\langle \cdot \rangle = \operatorname{span}(\cdot)
$$
%2019-04-10
wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)
......@@ -548,7 +572,13 @@ Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $
Entsprechend ist
$$
V\otimes W = \operatorname{span}\{ \underbrace{v\otimes w}_{=[(v,w)]}\ |\ v\in V, w\in W \}
V\otimes W
§ &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \}
§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{\middle |} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\}
§ \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \}
% \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \}
§ \\
&=& \operatorname{span}\{ v\otimes w \mathrel| v\in V, w\in W \}
$$
mit den Relationen:
......@@ -577,13 +607,18 @@ Behauptung: $\hat f$ induziert eine lineare Abbildung $\bar f$
$$
\bar f\colon V\otimes W &\to& Z
\\ (v\otimes w) &\mapsto& \hat f((v,w))
§ \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right)
$$
Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref
im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.
$$
&& \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
§ && \bar f(\eins_{(v_1 + v_2, w)} -\eins_{(v_1, w)} -\eins_{(v_2, w)})
§ \\
&
§ =
& \hat f( (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) )
\\ &\overset{\text{Def. } \hat f}{=}& f(v_1 + v_2, w) - f(v_1, w) - f(v_2, w)
\\ &\overset{\text{Bilinearität von } f}=& 0
$$
......@@ -1469,3 +1504,236 @@ $$
\\ (\mathcal X_1,\ldots, \mathcal X_r, \alpha_1, \ldots, \alpha_s) &\mapsto& (p \mapsto (t(p)) (\mathcal X_1(p),\ldots, \mathcal X_r(p), \alpha_1(p), \ldots, \alpha_s(p) )
$$
%2019-04-30
* Differentialformen
$$
\Omega (M) := \Gamma(\bigwedge_k \Gamma^* M) \text{$k$-Differentialformen auf $M$}
$$
Lokal sieht jede $\omega \in \Omega^k (M)$ so aus:
$$
\omega|_U = \sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \underbrace{ \omega_{i_i,\ldots,i_k} }_{\in C^\infty(U)} \intd x^{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x^{i_k} =: \sum_{I\subseteq \{ 1,\ldots,n \} \atop |I| = k} \omega_I \intd x^I
$$
Ableitungsoperation ($=$ das äußere Differential) auf Formen.
Letztes Mal:
$$
\Omega^0(M) &=& C^\infty
\\\Omega^1 (M) = \Gamma (T^* M)
$$
haben schon die Ableitungsoperation ($=$ Differential)
$$
\intd \colon \Omega^0 (M) &\to& \Omega^1 (M)
\\f &\mapsto& \intd f
\\ \intd f(X) &:=& X(f)
$$
definiert.
** Satz: Existenz und Eindeutigkeit des äußeren Differentials
Sei $\Omega^* (M) = \bigoplus_{k=0}^\infty \Omega^k(M) = \bigoplus_{k=0}^{\operatorname{dim} M} \Omega^k(M)$
Es gibt eine eindeutige lineare Abbildung $\intd \colon \Omega^*(M) \to \Omega^*(M)$ mit folgenden Eigenschaften:
- $\intd \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$
- Leibnitz-Regel: $\intd (\alpha \wedge \beta) = \intd \alpha\wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \intd \beta$, $\alpha \in \Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega^l(M)$
- $d^2 = 0$ ($d_0 d = 0$)
- für $k=0$ stimmt $\intd \colon \Omega^0(M) \to \Omega^1(M)$ mit den Differential einer Funktion überein (wie oben)
Beweis:
Wir definieren $d$ folgendermaßen:
Sei $\omega \in Omega^k(M)$ mit der lokalen Darstellung
$$
\omega = \sum_{I\subseteq \{1,\ldots,n\}\atop |I| = k } \omega_I \intd x^I
$$
wie oben $(U,x)$ eine Karte.
Definiere
$$
\intd \omega|_U := \sum_{I\subseteq\{1,\ldots,n\}\atop |I| =k } \intd \omega_I \wedge \intd x^I
$$
Mit dieser Definition gilt:
- (1') $\intd \omega|_U \in \Omega^{k+1}(U)$, $\intd \omega|_U$ hängt linear von $\omega$ ab
- (2') $\intd (\alpha \wedge \beta) = \intd \alpha\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge\intd\beta$, $\alpha\in \Omega^k(U)$, $\beta \in \Omega^l(U)$
(Beweis: es reicht, das für $\alpha = \alpha_I \intd x^I$, $\beta = \beta_J\intd x^J$ zu zeigen ($I\cap J = \emptyset$, $I<J$ in $\{ 1,\ldots, n \}$, $\forall i\in I, j\in J: i<j$))
$$
\alpha \wedge \beta = \alpha_I \beta_J \intd x^{I\cup J} \Rightarrow \intd (\alpha\wedge\beta) = \beta_J \intd \alpha_I \wedge \intd x^{I\cup J}
+\alpha_I \intd\beta_J \wedge \intd x^{I\cup J}
= \intd \alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \intd \beta
$$
- $\intd(\intd f) = 0$, $f+\Omega^0(M)$, weil
$$
\intd(\intd f) = \intd\left( \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} \right) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^i\partial x^j} \intd x^j \wedge dx^i \right) = 0
$$
- (4') für $k= 0$ ist $\intd f|_U = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} \intd x^i = \intd \underbrace{f}_{\text{Differential von } f}$
- (5') wenn $\omega_1 = \omega_2$ auf $\underbrace{ V }_{\text{offen}}\subseteq U$, dann gilt
$$
\intd \omega_1|_V = \intd\omega_2|_V
$$
(weil dres für Funktionen gilt)
Nun zeigen wir, dass somit $\intd$ wohldefiniert ist d.h. $\intd \omega|_U$ hängt nicht von der Wahl der Karte $(U,x)$ ab. Dazu sei $(U',y)$ eine andere Karte und $\intd'$ das entsprechen definierte Differential:
$$
\intd' \omega|_U = \sum_{I\subseteq \{ 1,\ldots, n \} \atop |I| = k} \intd \omega_I \wedge \intd y^I, \quad \omega = \sum \omega_I \intd x^I
$$
Zu zeigen: $\intd' \omega = \intd \omega$
Nach (4') %TODO ref
gilt:
$$
\intd'(\wedge_I\intd x^I)
&\overset{\text{Leibnitz (2'%TODO ref
)}}{=}
&
\intd'\omega_I \wedge \intd x^I + \omega_1 \wedge \intd'(\intd x^I)
\\&\overset{\text{(4')}}=& \intd \omega_I \wedge \intd x^I + 0 = \intd(\omega_I \intd x^I)
$$
weil:
$$
\intd'(\intd x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x_{i_k} ) \overset{\text{(4')}}= \intd'(\intd' x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd'x_{i_k})
\overset{\text{(2')} \text{(3')}}= 0, d'^2 = 0
$$
Das $\intd$ erfüllt (1) - (4) wegen (1') - (4') $\Rightarrow$ Existenz.
Zur Eindeutigkeit seien $\intd^{(1)}$ und $\intd^{(2)}$ zwei lineare Abbildungen, die (1) - (2) erfüllen.
Die Eigenschaften (1) - (4) implizieren, dass in jeder Karte $(U,x)$ (1') - (4') erfüllt sind und wir haben gerade festgestellt, dass diese die Abbildung $\intd$ eindeutig bestimmen.
Beispiel:
Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + \Q \intd y$
$$
\intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x
\\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
\\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy)
\\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y
$$
Erinnerung:
geens Formel: $\gamma\colon [a,b] \to \mathbb R^2$ einfach geschlossen, $\Omega$ beschränktes Gebiet, von $\gamma$ berandet.
$$
\int_{\gamma} \intd x + Q \intd y = \int_{\Omega} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x\intd y
$$
$$
\int_{\Omega} \intd w = \int_{\partial\Omega} w
$$
* Integration von Differentialformen
** Pullback: (Zurückziehen)
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt.
Erinnerung:
Wir können durch $f$ Funktionen Zurückziehen für
$$
\varphi \in \Omega^0(N) = C^\infty(N) \text{ ist } \underbrace{ f^*(\varphi) }_{\in C^\infty(M)} := \varphi \circ f
$$
$\Rightarrow f^* \colon \Omega^0 (N) \to \Omega^0(M)$ linear (sogar Algebrahomomorphismus)
Errinnerung:
eine Differentialform $\omega \in \Omega^k (M)$ definiert eine $C^\infty$-lineare alternierend Abbildung
$$
\omega\colon\Gamma(TM)\times\ldots\times\Gamma(TM) &\to& C^\infty(M)
\\ X_1,\ldots,X_k &\mapsto& (p\mapsto \omega(p) (X_1(p), \ldots, X_k(p)))
$$
Übung:
Jede $C^\infty$-lineare alternierende Abbildung
$$
\Gamma(TM) \times \ldots \times \Gamma(TM) \to C^\infty(M)
$$
bestimmt eindeutig eine $k$-Form $\omega$, die diese Abbildung induziert. (Beweis sie Buch Walschap)
Sei $\omega \in \Omega^k(N)$ Definiere
$$
(f^*(\omega) (X_1,\ldots, X_k)) (p) := \omega (f(p))(f_*(X_1(p)), \ldots, f_*(X_k(p)))
$$
$f^*(\omega)$ heißt Pullback von $\omega$ von $\omega$. Durch Nachrechnen ergibt sich:
- (1) $f^*(\omega_1\wedge \omega_2) = f^*(w_1)\wedge f^*(w_2)$
- (2) $\intd (f^*\omega) = f^*(\intd \omega)$
Zu (2):
Sei $U, x$ eine Karte von $N$
$$
\omega|_U = \omega_I\intd x^I = \omega_I \intd x^{i_1} \wedge \ldots \wedge \intd x^{i_k}
$$
$k=0$:
wenn $\omega = \varphi \Rightarrow$
$$
f^*(\intd \varphi)(X) &=& \intd \varphi(f_*X)
\\&=& (f_*X)(\varphi)
\\&=& X(\varphi \circ f)
\\&=& X(f^*(\varphi))
\\&=& \intd (f^*\varphi) (X)
$$
$k>0$:
$$
f^* \omega &=& (\omega_I \circ f) f^*(\intd x^{i_1}) \wedge \ldots \wedge f^*(\intd x^{i_k})
\\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k}))
$$
%TODO missing
* Integration von Differentialform
Idee: wir können in $\mathbb R^n$ integrieren also führen wir die Situation auf Mannigfaltigkeit darauf zurück.
Der $k$-Würfel in $\mathbb R^n$ ist $[0,1]^k \subset \mathbb R^k$
Definition:
Sei $\omega = f \intd u^1 \wedge \ldots \wedge \intd u^k$ eine Differentialform auf $[0,1]^k$ (Errinnerung: d.h dass (e) eigentlich auf einer offenen Umgebung $V\supseteq [0,1]^k$ definiert ist)
Definiere
$$
\intd_{[0,1]^k} \omega := \intd_{[0,1]^k} f(u) \intd u^1 \cdots \intd u^k
$$
Definition:
Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine glatte Abbildung $e\colon [0,1]^k \to M$
Definition:
Sei $\omega\in \Omega^k (M)$ , $c\colon [0,1]^k \to M$ eine singulärer $k$-Würfel:
$$
\int_c \omega := \int_{[0,1^k]} c^*(\omega)
$$
......@@ -94,7 +94,7 @@ $if(linestretch)$
\usepackage{setspace}
\setstretch{$linestretch$}
$endif$
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amssymb,amsmath,unicode-math}
\usepackage{ifxetex,ifluatex}
\ifnum 0\ifxetex 1\fi\ifluatex 1\fi=0 % if pdftex
\usepackage[$if(fontenc)$$fontenc$$else$T1$endif$]{fontenc}
......@@ -381,11 +381,13 @@ $endif$
%custom
\usepackage{cancel}
\usepackage{bbm}
\usepackage{nicefrac}
$if(tikz)$
\usepackage{tikz, tikz-cd}
$endif$
\newcommand{ \intd }{ \,\mathrm d }
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
\begin{document}
......
......@@ -12,6 +12,10 @@ with open(filename, 'r') as file:
copy = re.sub("(?<!\\\\)\%.*\n", '', copy)
#turn on/off personal comments
#copy = re.sub("(?<!\\\\)\§.*\n", '', copy)
copy = re.sub("§", '', copy)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\begin{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\end{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\begin{equation*}\n', copy, 1)
......
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