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2019-06-04

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...@@ -3095,7 +3095,7 @@ $$ ...@@ -3095,7 +3095,7 @@ $$
$$ $$
$$ $$
\frac{2}{\pi} \operatorname{arctan}(\lVert y \rVert)y \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{0}{$\mapsto$}} y \frac{2}{\pi} \operatorname{arctan}(\lVert y \rVert)y \mathrel{ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{0}{$ \mapsto $}} } y
$$ $$
** Satz ** Satz
...@@ -3130,7 +3130,195 @@ Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$ ...@@ -3130,7 +3130,195 @@ Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$
$$ $$
0&=& \int_{N\times [0,1]} H^*(\diffd \omega) 0&=& \int_{N\times [0,1]} H^*(\diffd \omega)
\\&=& \int_{N\times [0,1]} \intd (H^*\omega) \\&=& \int_{N\times [0,1]} \intd (H^*\omega)
\\&\overset{Stokes}=& \int_{\partial (N\times [0,1])} H^* \omega \\&\overset{\text{Stokes}}=& \int_{\partial (N\times [0,1])} H^* \omega
\\&=& \int_N H^*_1 \omega - \int_N H^*_0 \omega \\&=& \int_N H^*_1 \omega - \int_N H^*_0 \omega
\\&=& \int_{i_1(N)}\omega - \int_{i_0(N)} \omega \\&=& \int_{i_1(N)}\omega - \int_{i_0(N)} \omega
$$ $$
%2019-06-04
* Gaußscher Integralsatz
$M\subset \mathbb R^3$ beschränktes Gebiet, $\partial M\subset \mathbb R^3$ glatt orientiert durch $\nu\colon \partial M \to \mathbb R^3$ Normalenfeld
$$
L &\colon& M\to \mathbb R^3 \text{ glattes Vektorfeld }
\\ L&=&CL_x, Ly, Lz
$$
$$
\int_{\partial M}\langle L, \nu\rangle \intd \underbrace{S}_{\text{ Flächenelement } } = \int_M \operatorname{div} L \intd x\intd y\intd z
$$
$$
\operatorname{div} L = \frac{\partial L_x}{\partial x} + \frac{\partial L_y}{\partial y} + \frac{\partial L_z}{\partial z}
$$
Wenn $\partial M$ parametrisiert ist:
$$
x &=& x(u,v)
\\ y &=& y(u,v)
\\ z &=& z(u,v)
$$
$$
\int_{\partial M} f(x,y,z) \intd S := \int_v f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot \sqrt{\det G(u,v)} \intd u \intd v
$$
$$
G(u,v) = (D_{(u,v)}\psi )^T D_{(u,v)} \psi
$$
die Gram-Matrix der Koordinatenbasis ($\psi\colon U \to \partial M$, $(u,v)\mapsto (x(u,v)\ldots )$)
$$
= \int f(x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \intd v
$$
Stokes:
$$
\int_{\partial M} \omega = \int_M \intd \omega
$$
wollen:
$$
\diffd \omega = \operatorname{div} L \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z
$$
$$
\omega = L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd z + L_z \diffd x \wedge \diffd y
$$
$$
\diffd \omega &=& \frac{\partial L_x}{\partial x} \intd x\wedge \diffd y \wedge \diffd z + \frac{\partial L_y}{\partial y} \intd y\wedge \diffd z \wedge \diffd x + \frac{\partial L_z}{\partial z} \intd z\wedge \diffd x \wedge \diffd y + 0 + \ldots + 0
\\&=& (\operatorname{div}L) \intd x \wedge \diffd y \wedge \diffd z
$$
$$
\int_{partial M} \omega = \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z + L_y \intd z\wedge \diffd x + L_z \intd x\wedge \diffd y
\\ &\overset{?}=& \int_{\partial M}\langle L, \nu \rangle\intd S
$$
$$
\\&& \int_{\partial M} L_x \intd y\wedge \diffd z
\\&=& \int_U L_x (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) \left[\frac{\partial y}{\partial u} \intd u + \frac{\partial y}{\partial v} \intd v \right]\wedge
\wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u} \intd u + \frac{\partial z}{\partial v}\intd v\right)
\\&=& \int_U L_x(u,v) \underbrace{ \left[ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial u} \right] }_{(e_u\times e_v)_x} \intd u\wedge \intd v
\\&=& \int_U L_x (u,v) \frac{(e_u\times e_v)_x}{\underbrace{ \lVert e_u \times e_v \rVert}_{\nu_x} } \lVert e_u \times e_v \rVert \intd u \wedge \diffd v
\\&=& \int_{\partial M} L_x \nu_x \intd S
$$
$M= \mathbb R^2 \setminus \{ 0 \}$
$$
A = A_x \intd x + A_y \intd y \in \Omega^1 (M)
$$
$$
F &:=& \diffd A
\\&=& \frac{\partial Ay}{\partial x} \intd x \wedge \intd y - \frac{\partial Ax}{\partial y} \intd x \wedge \intd y
\\&=& \left[ \frac{\partial Ay}{\partial x} -\frac{\partial A x}{\partial y} \right] \intd x \wedge \diffd y
$$
Wenn $F=0$ ($\Rightarrow A$ geschlossen)
Frage:
- Ist $A$ exakt?
- Äquivalente Fragestellung:
$$
H^1(M) &=& \{\text{geschlossene $1$-Form }\} / \{\text{ exakt $1$-Form } \}
\\&=& Z' / B'
\\&=& 0?
$$
$$
H^1(M) = 0 \Leftrightarrow \text{jede geschlossene $1$-Form ist exakt}
$$
%TOOD Bildchen (2)
$\Rightarrow H^1(\mathbb R^2 \setminus \{0\}) = H^1(S^1) = \mathbb R$
** Behauptung
$\forall r> 0$ gilt:
$$
\int_{\underbrace{\partial B(0,r)}_{r \cdot S^1} } A = \int_{\partial B(0,1)} A
$$
%TODO Bilchen (3)
$$
N := \{ x\in \mathbb R^2 \mathrel| 1\leqslant \lVert x \rVert \leqslant r\}\quad (\text{bzw. } r\leqslant \lVert x \rVert \leqslant 1)
$$
$$
\Rightarrow \partial N = (r \cdot S^1) \cup (-S^1)
$$
Stokes:
$$
0 \overset{\diffd A = 0}= \int_{N} \intd A = \int_{r\cdot S'} A - \int_{S'} A
$$
Wenn $A= \diffd f$ : $\int_{S'} A = \int_{S'} \intd f \overset{\text{Stokes} }= \int_{\partial S'} f = \int_{\emptyset} f = 0$
$\Rightarrow \int_{S^1} A \neq 0$ $\Rightarrow A$ nicht exakt. (z.B. $A = \frac{x\intd y - y\intd x}{x^2 + y^2}$) ist geschlossen, aber nicht exakt
$$
T^* \mathbb R^n \cong \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (\underbrace{q^1, \ldots, q^n}_{\text{in } \mathbb R^n}, \underbrace{p^1, \ldots, p^n}_{\text{in } T_q^* \mathbb R^n})
$$
$$
\omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i \in \Omega^2 (T^* \mathbb R^n)
$$
1) $\diffd \omega = 0$
2) $\omega (\underbrace{ v}_{\equiv (a,p)\in T^* R^n}) \in \bigwedge ^2 T^*_v \mathbb R^n = \{ \alpha \mathrel| \alpha \colon T_v \mathbb R^n \times T_v \mathbb R^n \to \mathbb R \text{ bilinear, schiefsymetrisch }\}$
$$
\frac{\partial}{\partial q^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q^n}, \frac{\partial}{\partial p^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial p^n}
$$
ist eine Basis von $T_v \mathbb R^n$. Wie sieht die Matrix von $\omega$ in dieser Basis aus?
$$
\omega &=& \sum_{i=1}^n(e^q_i)\wedge(e^p_i)^*
\\ \omega(e_i^q, e_j^q) &=& 0 = \omega(e_i^p, e_j^p)
\\ \omega(e_i^q, e_j^p) &=& \partial_{ij}
$$
$\Rightarrow \omega$ ist nicht ausgeartet (an jedem Punkt!)
$\omega$ nicht ausgeartet $\Rightarrow$ definiert an jedem Punkt einen Isomorphismus
$$
\hat \omega(v) \colon T_v^* \mathbb R^n \to T_v\mathbb R^n
$$
$$
\hat \omega^{-1}(v) \colon T_v\mathbb R^n &\to& T^*_v \mathbb R^n
\\ \chi &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v)(\chi , \eta) )
\\ \frac{}{q^i} e^q_i &\mapsto& (\eta \mapsto \omega(v) (e_q^i, \eta)) = \left(e_{i}^p\right)^* = \diffd p^i
\\ e_i^p &\mapsto& - \diffd q^1
$$
$$
\hat \omega\colon \Omega^1(T^* \mathbb R^n) &\to& \Gamma(T^* \mathbb R^n)
\\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} &&
\\ \alpha &\mapsto& (v\mapsto \hat \omega (\alpha(v)) )
$$
Für jede Funktion $H \rightsquigarrow X_H := \hat \omega (\diffd H) -$ Vektorfeld auf $T^* \mathbb R^n$
** Behauptung
Die Differentialgleichungen für den Fluss von $X_H$
$$
\dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p^i}
\\ \dot p_i &=& - \frac{\partial H}{\partial q^i}
$$
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