Commit 0f81bf68 by Harry Fuchs

### 2019-05-15

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 ... ... @@ -139,9 +139,11 @@ $$v \mathrel{\hat=} Ableitungsoperation (v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R) mit v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f) \begin{center} \begin{tikzcd} M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \end{tikzcd} \end{center} %TODO vertical line ... ... @@ -316,11 +318,13 @@$$ Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs %TODO schöner \begin{center} \begin{tikzcd} \arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\ & & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\ \arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n \end{tikzcd} \end{center} Betrachte $n=1$: ... ... @@ -2191,3 +2195,204 @@ weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa$p\in U\cap V$(Umbenennung von Differentialformen )$\Rightarrow \mathcal A$orientiert %2019-05-14 * Übung 3 \begin{center} \begin{tikzcd} N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\ {x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m} \end{tikzcd} \end{center} $$\varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n))$$ $$(f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x))$$ (Index, keine Potenz) $$f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k$$$1$-Formen Zurückziehen $$f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M) \\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i \\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right) \\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)} \\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1) \\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i \\&=& \diffd f^1 \\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}}$$ ** Beispiel$m=2$,$n=3$,$f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$$$(\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3) \\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3)$$ $$f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part$$ %TODO finish Übung %2019-05-15 ** Vorlesung Sei$M$eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent 1.$M$ist orientierbar 2.$\exists \mathcal A$, einen Atlas für$M$, s.d.$\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$gilt: $$\det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V)$$ Beweis:%TODO reference$(1.) \Rightarrow (2.)$letzes Mal erbracht. Erinnerung$M$orientierbar$\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$mit$\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$($\omega$heißt dann Volumenform) Für$(2.) \Rightarrow (1.)$brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei$\mathcal A$ein Atlas wie in$(2)$: $$\mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M$$$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$eine Teilung der Eins aufgefasst an$U_\alpha$($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$s.d.$\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) %TODO Bilchen überschneidende Hügel Definiere die$n$-Form ($n=\dim M$) $$\omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M$$ $$\varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k})$$ %TODO Bilchen one bump Sei$\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem$p\in M$wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins.$\omega$verschwindet nirgends, weil:$\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$$$\omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right) = \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0}$$ $$\omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right) \\&>& 0$$ ** Satz: Existenz der Teilung der Eins Sei$M$eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung$\{ U_\alpha \}$von$M$existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins$\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h.$\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$mit$\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$) Erinnerung: Teilung der Eins „Teilung der Eins“ heißt$\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$mit $$\sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M$$ endlich$\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$heißt nur in endlich vielen von$\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$Beweis: %TODO Bilchen: Langos, mit wellen 1. Ziel: Schreibe$M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d.$A_k$kompakt,$\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$.$M$ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu$\mathbb R^n$), zweitabzählbar$\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit$\overline{Z_i}$kompakt. Sei$A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben$A_k$kompakt. Sei$i_k\in \mathbb N$minimal mit $$A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k}$$ ($i_k$existiert, da$\bigcup Z_i = M\cup A_k$kompakt) Setze $$A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}}$$$A_k$aufsteigend,$\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da$\bigcup_k Z_k = M$Setze außerdem$A_{-1} := \emptyset$, dan gilt: $$M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1})$$$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$Karte mit: 1.$x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$2.$V_p \subset U_\alpha$3.$x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$4.$V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$für gewisses$k\in \mathbb N$Dann gilt:$\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ist eine Überdeckung von$A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt.$\Rightarrow$diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung$\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$$$\{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k}$$ ist eine Überdeckung von$M$, die abzählbar ist, untergeordnet der$\{U_\alpha\}$ist (jedes$P_{i,k}$liegt in einem$U_\alpha$). Wir können sie also als$\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$umnummerieren. Nach Konstruktion gilt: jedes$Q_j$ist enthalten in einem$V_{p_j}$zu einer Karte$(V_{pj}, x_{pj})$mit: $$x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1)$$ Sei$\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$glatt mit der Eigenschaft 1.$\theta(u) = 1$,$\lVert u \rVert < 1$2.$\theta(u) = 0$,$\lVert u \rVert > 2$(Siehe Übung 24) %TODO rundes Trapez Sei $$\psi_j(p) := \begin{cases} \theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$$ Nach Konstruktion gilt: $$\psi_j\in C^\infty(M, [0,1])$$ Behauptung:$\forall p\in M$sind nur endlich viele$\psi_j(p) \neq 0$. Wenn$p\in A_k$mit$\psi_j(p) \neq 0\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$nach Konstruktion von$V\Rightarrow$es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für$p_j$Nun ist$\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}\$ die gewünschte Teilung der Eins.
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