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2019-05-15

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Pipeline #2273 passed with stage
in 28 minutes and 43 seconds
......@@ -139,9 +139,11 @@ $$
$v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO vertical line
......@@ -316,11 +318,13 @@ $$
Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs
%TODO schöner
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\
& & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
\arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n
\end{tikzcd}
\end{center}
Betrachte $n=1$:
......@@ -2191,3 +2195,204 @@ weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa
$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen )
$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert
%2019-05-14
* Übung 3
\begin{center}
\begin{tikzcd}
N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\
{x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m}
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n))
$$
$$
(f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x))
$$
(Index, keine Potenz)
$$
f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k
$$
$1$-Formen Zurückziehen
$$
f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M)
\\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i
\\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)
\\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right)
\\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)}
\\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i}
\\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1)
\\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i
\\&=& \diffd f^1
\\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}}
$$
** Beispiel
$m=2$, $n=3$, $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$
$$
(\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3)
\\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3)
$$
$$
f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part
$$
%TODO finish Übung
%2019-05-15
** Vorlesung
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent
1. $M$ ist orientierbar
2. $\exists \mathcal A$, einen Atlas für $M$, s.d.
$\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$ gilt:
$$
\det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V)
$$
Beweis:%TODO reference
$(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht.
Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform)
Für $(2.) \Rightarrow (1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$:
$$
\mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M
$$
$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$)
%TODO Bilchen überschneidende Hügel
Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$)
$$
\omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M
$$
$$
\varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k})
$$
%TODO Bilchen one bump
Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins.
$\omega$ verschwindet nirgends, weil: $\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$
$$
\omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right)
= \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0}
$$
$$
\omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right)
\\&>& 0
$$
** Satz: Existenz der Teilung der Eins
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$)
Erinnerung: Teilung der Eins
„Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$ mit
$$
\sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M
$$
endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$
Beweis:
%TODO Bilchen: Langos, mit wellen
1. Ziel:
Schreibe $M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt.
Sei $A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in \mathbb N$ minimal mit
$$
A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k}
$$
($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt)
Setze
$$
A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}}
$$
$A_k$ aufsteigend, $\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da $\bigcup_k Z_k = M$ Setze außerdem $A_{-1} := \emptyset$, dan gilt:
$$
M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1})
$$
$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$ Karte mit:
1. $x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$
2. $V_p \subset U_\alpha$
3. $x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$
4. $V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in \mathbb N$
Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$
$$
\{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k}
$$
ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$ umnummerieren.
Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit:
$$
x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1)
$$
Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft
1. $\theta(u) = 1$, $\lVert u \rVert < 1$
2. $\theta(u) = 0$, $\lVert u \rVert > 2$
(Siehe Übung 24)
%TODO rundes Trapez
Sei
$$
\psi_j(p) :=
\begin{cases}
\theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
$$
Nach Konstruktion gilt:
$$
\psi_j\in C^\infty(M, [0,1])
$$
Behauptung:
$\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$
$\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$
$\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$
Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
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