From 0f81bf68d91e31aa47c904737460e0a95ac038b6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Harry Fuchs Date: Wed, 15 May 2019 14:30:46 +0200 Subject: [PATCH] 2019-05-15 --- diffgeoII/edit-this-file.tex | 205 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 205 insertions(+) diff --git a/diffgeoII/edit-this-file.tex b/diffgeoII/edit-this-file.tex index 7482777..27dbbfd 100644 --- a/diffgeoII/edit-this-file.tex +++ b/diffgeoII/edit-this-file.tex @@ -139,9 +139,11 @@ $$v \mathrel{\hat=} Ableitungsoperation (v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R) mit v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f) +\begin{center} \begin{tikzcd} M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \end{tikzcd} +\end{center} %TODO vertical line @@ -316,11 +318,13 @@$$ Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs %TODO schöner +\begin{center} \begin{tikzcd} \arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\ & & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\ \arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n \end{tikzcd} +\end{center} Betrachte $n=1$: @@ -2191,3 +2195,204 @@ weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa$p\in U\cap V$(Umbenennung von Differentialformen )$\Rightarrow \mathcal A$orientiert + +%2019-05-14 + +* Übung 3 + +\begin{center} +\begin{tikzcd} +N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\ +{x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m} +\end{tikzcd} +\end{center} + +$$+ \varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n)) +$$ + +$$+ (f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x)) +$$ + +(Index, keine Potenz) + +$$+ f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k +$$ + +$1$-Formen Zurückziehen + +$$+ f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M) + \\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i + \\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) + \\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right) + \\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)} + \\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i} + \\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1) + \\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i + \\&=& \diffd f^1 + \\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}} +$$ + +** Beispiel + +$m=2$,$n=3$,$f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$+ +$$+ (\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3) + \\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3) +$$ + +$$+ f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part +$$ + +%TODO finish Übung + +%2019-05-15 + +** Vorlesung + +Sei$M$eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent + + 1.$M$ist orientierbar + 2.$\exists \mathcal A$, einen Atlas für$M$, s.d. +$\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$gilt: + $$+ \det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V) +$$ + +Beweis:%TODO reference +$(1.) \Rightarrow (2.)$letzes Mal erbracht. + +Erinnerung$M$orientierbar$\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$mit$\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$($\omega$heißt dann Volumenform) + +Für$(2.) \Rightarrow (1.)$brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei$\mathcal A$ein Atlas wie in$(2)$: +$$+ \mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M +$$ + +$\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$eine Teilung der Eins aufgefasst an$U_\alpha$($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$s.d.$\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) + +%TODO Bilchen überschneidende Hügel + +Definiere die$n$-Form ($n=\dim M$) +$$+ \omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M +$$ +$$+ \varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k}) +$$ + +%TODO Bilchen one bump + +Sei$\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem$p\in M$wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins. + +$\omega$verschwindet nirgends, weil:$\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$+ +$$+ \omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right) + = \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0} +$$ + +$$+ \omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right) + \\&>& 0 +$$ + +** Satz: Existenz der Teilung der Eins + +Sei$M$eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung$\{ U_\alpha \}$von$M$existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins$\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h.$\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$mit$\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$) + +Erinnerung: Teilung der Eins +„Teilung der Eins“ heißt$\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$mit + +$$+ \sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M +$$ + +endlich$\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$heißt nur in endlich vielen von$\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$+ +Beweis: + +%TODO Bilchen: Langos, mit wellen + +1. Ziel: + +Schreibe$M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d.$A_k$kompakt,$\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$.$M$ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu$\mathbb R^n$), zweitabzählbar$\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit$\overline{Z_i}$kompakt. + +Sei$A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben$A_k$kompakt. Sei$i_k\in \mathbb N$minimal mit + +$$+ A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k} +$$ + +($i_k$existiert, da$\bigcup Z_i = M\cup A_k$kompakt) + +Setze + +$$+ A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}} +$$ + +$A_k$aufsteigend,$\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da$\bigcup_k Z_k = M$Setze außerdem$A_{-1} := \emptyset$, dan gilt: + +$$+ M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1}) +$$ + +$\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$Karte mit: + + 1.$x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$+ 2.$V_p \subset U_\alpha$+ 3.$x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$+ 4.$V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$für gewisses$k\in \mathbb N$+ +Dann gilt:$\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ist eine Überdeckung von$A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt.$\Rightarrow$diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung$\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$+ +$$+ \{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k} +$$ + +ist eine Überdeckung von$M$, die abzählbar ist, untergeordnet der$\{U_\alpha\}$ist (jedes$P_{i,k}$liegt in einem$U_\alpha$). Wir können sie also als$\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$umnummerieren. + +Nach Konstruktion gilt: jedes$Q_j$ist enthalten in einem$V_{p_j}$zu einer Karte$(V_{pj}, x_{pj})$mit: + +$$+ x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1) +$$ + +Sei$\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$glatt mit der Eigenschaft + + 1.$\theta(u) = 1$,$\lVert u \rVert < 1$+ 2.$\theta(u) = 0$,$\lVert u \rVert > 2$+ +(Siehe Übung 24) + +%TODO rundes Trapez + +Sei +$$+ \psi_j(p) := + \begin{cases} + \theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\ + 0, & \text{sonst} + \end{cases} +$$ + +Nach Konstruktion gilt: + +$$+ \psi_j\in C^\infty(M, [0,1]) +$$ + +Behauptung: + +$\forall p\in M$sind nur endlich viele$\psi_j(p) \neq 0$. Wenn$p\in A_k$mit$\psi_j(p) \neq 0$+ +$\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$nach Konstruktion von$V$+$\Rightarrow$es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für$p_j$+ +Nun ist$\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}\$ die gewünschte Teilung der Eins. -- 2.24.1