Commit 0f81bf68 by Harry Fuchs

2019-05-15

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 ... @@ -139,9 +139,11 @@ $$... @@ -139,9 +139,11 @@$$ $v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$ $v \mathrel{\hat=}$ Ableitungsoperation ($v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$) mit $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$ \begin{center} \begin{tikzcd} \begin{tikzcd} M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"] & \mathbb R \end{tikzcd} \end{tikzcd} \end{center} %TODO vertical line %TODO vertical line ... @@ -316,11 +318,13 @@ $$... @@ -316,11 +318,13 @@$$ Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs %TODO schöner %TODO schöner \begin{center} \begin{tikzcd} \begin{tikzcd} \arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\ \arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\ & & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\ & & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\ \arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n \arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n \end{tikzcd} \end{tikzcd} \end{center} Betrachte $n=1$: Betrachte $n=1$: ... @@ -2191,3 +2195,204 @@ weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa ... @@ -2191,3 +2195,204 @@ weil$f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\pa $p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen ) $p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen ) $\Rightarrow \mathcal A$ orientiert $\Rightarrow \mathcal A$ orientiert %2019-05-14 * Übung 3 \begin{center} \begin{tikzcd} N=\mathbb R^n \arrow[rr, "f"] \arrow[rr, "\begin{subarray}{l}y^1=f_1(x)\\ y^2=f_2(x) \end{subarray}"'] & & N=\mathbb R^m \\ {x^1,\ldots, x^n} & & {y^1,\ldots, y^m} \end{tikzcd} \end{center} $$\varphi \colon N\to \mathbb R \quad (\varphi = \varphi(y^1,\ldots, y^n))$$ $$(f^*\varphi)(x) = \varphi(f(x)) = \varphi(f^1(x), \ldots, f^n(x))$$ (Index, keine Potenz) $$f^*y^1 = f^1, \quad f^*y^k = f^k$$ $1$-Formen Zurückziehen $$f^*(\diffd y^1) &\in& \Omega^1(M) \\f^*(\diffd y^1)&=&\sum_{i=1}^m \omega_i \diffd x^i \\\omega_i &=& (f^*(\diffd y^1))\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \\&=& \diffd y^1\left(f_* \frac{\partial}{\partial x_i}\right) \\&\overset{(*)}=& \diffd y^1\underbrace{ \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f^j}{\partial x^i} \cdot \frac{\partial}{\partial y^1} \right) }_{=Df(e_1)} \\&=& \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \\&\Rightarrow& f^* (\diffd y^1) \\&=& \sum_{j=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i \\&=& \diffd f^1 \\&=& \underbrace{\sum_{i=1}^m \frac{\partial f^1}{\partial x^i} \diffd x^i}_{\text{„Differentialform“}}$$ ** Beispiel $m=2$, $n=3$, $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3$ $$(\xi, \eta) &\mapsto& (\xi^2, -2\xi\eta, \eta^3) \\ w &=& x\diffd x - 3xyz\diffd y + zx\diffd z \in \Omega^1(\mathbb R^3)$$ $$f^* \omega = \xi ^2 \ldots %TODO missing part$$ %TODO finish Übung %2019-05-15 ** Vorlesung Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Folgende Bedingungen sind äquivalent 1. $M$ ist orientierbar 2. $\exists \mathcal A$, einen Atlas für $M$, s.d. $\forall (U,x), (V,y) \in \mathcal A$ gilt: $$\det D_\eta(x\circ y^{-1})>0 \forall \exists y\in y(U\cap V)$$ Beweis:%TODO reference $(1.) \Rightarrow (2.)$ letzes Mal erbracht. Erinnerung $M$ orientierbar $\overset{\text{Def.}}\Leftrightarrow \exists \omega \in \Omega^{\dim M}(M)$ mit $\omega(p)\neq 0 \forall p\in M$ ($\omega$ heißt dann Volumenform) Für $(2.) \Rightarrow (1.)$ brauchen wir die Existenz der Teilung der Eins. Sei $\mathcal A$ ein Atlas wie in $(2)$: $$\mathcal A = \{ (U_\alpha, x_\alpha) \mathrel| \alpha \in \mathcal A \}, \quad U_\alpha \text{ überdecken } M$$ $\Rightarrow \exists (\varphi_k)_{k\in \mathbb N}$ eine Teilung der Eins aufgefasst an $U_\alpha$ ($\forall k\in \mathbb N \exists \alpha_k \in \mathcal A$ s.d. $\operatorname{supp}\varphi_k \subset U_{\alpha_k}$) %TODO Bilchen überschneidende Hügel Definiere die $n$-Form ($n=\dim M$) $$\omega_k(p) := \varphi_k(p) \intd x^1_{\alpha_k} \wedge \ldots \wedge \diffd x^n_{\alpha_k}, \quad p\in M$$ $$\varphi_k \quad(\omega_k(p): = 0,\ p\notin U_{\alpha_k})$$ %TODO Bilchen one bump Sei $\Omega^n (M) \ni \omega:= \sum_{k\in \mathbb N} \omega_k$. Dies ist endliche Summe an jedem $p\in M$ wegen der Eigenschaft der Teilung der Teilung der Eins. $\omega$ verschwindet nirgends, weil: $\forall p\in \operatorname{supp} \varphi_k$ $$\omega(p) \left( \frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}} \right) = \underbrace{ \varphi_k(p) }_{>0} + \sum_{k'\in \mathbb N\atop k' \neq k} \underbrace{ \omega_{k'}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1_{\alpha_k}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n_{\alpha_k}}\right) }_{\geqslant 0,\ \neq 0}$$ $$\omega_k(p)(\ldots) &\overset{\operatorname{supp}\varphi_{k'}\in U_{\alpha_{k'}}}=& \varphi_{k'}(p) \cdot \det D_{x_{\alpha_k(p)}}\left( x'_{\alpha_k} \circ x^{-1}_{\alpha_k} \right) \\&>& 0$$ ** Satz: Existenz der Teilung der Eins Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Für jede Überdeckung $\{ U_\alpha \}$ von $M$ existiert eine (abzählbare) Teilung der Eins $\{ \varphi_j \}_{j\in \mathbb N}$ die dieser Überdeckung untergeordnet ist. (d.h. $\forall j\in \mathbb N \exists \alpha$ mit $\operatorname{supp}\varphi_j\subset U_\alpha$) Erinnerung: Teilung der Eins „Teilung der Eins“ heißt $\varphi_k \subset C^\infty (M, [0,1])$ mit $$\sum_{k\in \mathbb N} \varphi_k(p) = 1, \quad \forall p\in M$$ endlich $\forall p \Leftrightarrow \forall p\in M$ heißt nur in endlich vielen von $\{\operatorname{supp}\varphi_k\}$ Beweis: %TODO Bilchen: Langos, mit wellen 1. Ziel: Schreibe $M=\bigcup_{k\in \mathbb N} A_k$, s.d. $A_k$ kompakt, $\operatorname{int}(A_k)\subset A_{k+1}$. $M$ ist lokalkompakt (da lokal homöomorph zu $\mathbb R^n$), zweitabzählbar $\Rightarrow \exists (Z_i)_{i\in \mathbb N}$, eine abzählbare Basis der Topologie mit $\overline{Z_i}$ kompakt. Sei $A_{0} := \overline{Z_0} \Rightarrow A_0$ kompakt. Induktive Konstruktion: gegeben $A_k$ kompakt. Sei $i_k\in \mathbb N$ minimal mit $$A_k \subset Z_0 \cup Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i_k}$$ ($i_k$ existiert, da $\bigcup Z_i = M\cup A_k$ kompakt) Setze $$A_{k+1} := \overline {Z_0} \cup \overline {Z_1} \cup \overline {Z_{i_k}} \cup \overline {Z_{k+1}}$$ $A_k$ aufsteigend, $\bigcup_k \operatorname{int} A_k = M$, da $\bigcup_k Z_k = M$ Setze außerdem $A_{-1} := \emptyset$, dan gilt: $$M= \bigcup{k\in \mathbb N} A_k \setminus (\operatorname{int} A_{k-1})$$ $\forall p \in M: \exists (V_p, x_p)$ Karte mit: 1. $x_p(p) = 0\in \mathbb R^n$ 2. $V_p \subset U_\alpha$ 3. $x_p(v_p) = B(3,0) \subset \mathbb R^n$ 4. $V_p \subset \operatorname{int} A_{k+2} \setminus A_{k-1}$ für gewisses $k\in \mathbb N$ Dann gilt: $\{x^{-1}_p (\underbrace{B(0,1)}_{\subset \mathbb R^n})\}_{p\in A_{k+1} \setminus \operatorname{A_k}}$ ist eine Überdeckung von $A_{k+1} \setminus \operatorname{int} A_k$. Diese Menge ist kompakt. $\Rightarrow$ diese Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung $\{P_{i,k}\}_{i=1}^{N_k}$ $$\{P_{i,j}\}_{k\in \mathbb N,\atop i=1,\ldots, N_k}$$ ist eine Überdeckung von $M$, die abzählbar ist, untergeordnet der $\{U_\alpha\}$ ist (jedes $P_{i,k}$ liegt in einem $U_\alpha$). Wir können sie also als $\{V_j\}_{j\in \mathbb N}$ umnummerieren. Nach Konstruktion gilt: jedes $Q_j$ ist enthalten in einem $V_{p_j}$ zu einer Karte $(V_{pj}, x_{pj})$ mit: $$x_{pj}(v_{pj}) = B(0,3),\quad x_{pj}(Q_j) = B(0,1)$$ Sei $\theta\colon \mathbb R^n \to [0,1]$ glatt mit der Eigenschaft 1. $\theta(u) = 1$, $\lVert u \rVert < 1$ 2. $\theta(u) = 0$, $\lVert u \rVert > 2$ (Siehe Übung 24) %TODO rundes Trapez Sei $$\psi_j(p) := \begin{cases} \theta \circ x_{p_j}(p), & p\in V_{p_j}\\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$$ Nach Konstruktion gilt: $$\psi_j\in C^\infty(M, [0,1])$$ Behauptung: $\forall p\in M$ sind nur endlich viele $\psi_j(p) \neq 0$. Wenn $p\in A_k$ mit $\psi_j(p) \neq 0$ $\Rightarrow p_j \in A_{k-1} \cup A_k \cup A_{k+1}$ nach Konstruktion von $V$ $\Rightarrow$ es gibt nur endlich viele Möglichkeiten für $p_j$ Nun ist $\varphi_j := \frac{\psi_j}{\sum_{j\in \mathbb N}\psi_j}$ die gewünschte Teilung der Eins.
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