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2019-06-25

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......@@ -3753,3 +3753,222 @@ $\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminu
Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$
$\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig.
%2019-06-25
$N\subseteq M$ Untermannigfaltigkeit, $N$ kompakt
$\Rightarrow$ l.e.S.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow[r] &[-10pt] \ldots \arrow[r] &[-10pt] {H^k(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] H^k(M) \arrow[r] &[-10pt] H^k(N) \arrow[r] &[-10pt] {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] &[-10pt] \ldots \\
& {} & {} & {} & {} & H^{k+1}_c(M\setminus N) {}& {}
\end{tikzcd}
\end{center}
** Proposition
$$
H_c^k(\mathbb R^n) \cong
\begin{cases}
0, & k\neq n\\
\mathbb R, & k=n
\end{cases}
$$
Beweis:
* $k=0$
$$
H_c^0(\mathbb R^n) \cong 0
$$
weil es keine kompakt getragenen konstanten Funktionen gibt. (für alle $n\in\mathbb N$)
* $n=1$, $k=1$
$$
H_c^1(\mathbb R) \cong \ker \diffd / \operatorname{im} \diffd = \Omega^1_c (\mathbb R) / \operatorname{im} \diffd
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\Omega_c^0(\mathbb R) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \arrow[r, "\diffd"] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\diffd"] & 0 \\
C_c^\infty(\mathbb R) & &
\end{tikzcd}
\end{center}
Sei $\omega = \varphi(x)\intd x \in \Omega_c^1(\mathbb R)$. $\omega\in\operatorname{im}\diffd\Leftrightarrow\omega=\diffd f=f'(x)\intd x$ für ein $f\in C_c^\infty(\mathbb R)$
TODO Bildchen%TODO Bildchen
$$
f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t
\\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0
$$
$\lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \operatorname{supp}\varphi, \operatorname{supp}f$%TODO table
Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen
$$
\Leftrightarrow \int_{\mathbb R} = \varphi(x) \intd x = \int_{\mathbb R} \omega = 0
$$
Also:
$$
\omega \in \operatorname{im} \diffd \Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \omega = 0
$$
Wir haben also eine kurze exakte Sequenz
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \Omega_c^\infty(\mathbb R) \arrow[r] & \Omega_c^1(\mathbb R) \arrow[r, "\int_{\mathbb R}"] & \mathbb R \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
$\Rightarrow H_c^1(\mathbb R) \cong \mathbb R$
* Für $n\geqslant 2$ benutzen wir Induktion und die l.e.S für $M=S^n$, $N=S^{n-1}$, $M\setminus N \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$.
$M\setminus N$ sind zwei Kreisscheiben $\Rightarrow S^1\cup S^1 \cong \mathbb R^n \cup \mathbb R^n$
TODO%TODO missing part
Am Ende steht:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & H_c^n(\mathbb R^n)^{\oplus 2} \arrow[r] & \mathbb R \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
exakt.
$\overset{?}\Rightarrow H_c^n(\mathbb R) \cong \mathbb R$
weil
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & V \arrow[r] & W \arrow[r] & \underbrace{V'}_{\cong W/V} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
kurze exakt Sequenz
$\Rightarrow \dim W = \dim V + \dim V'$
** Bemerkung
$$
H_c^n(\mathbb R^n) = \mathbb R\cdot \lbrack\omega\rbrack
$$
wobei $\omega = \varphi(\lVert x \rVert)\intd x^1\wedge \ldots \wedge \diffd x^n$ mit $\varphi$:
TODO Bilchen %TODO
** Satz
Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Dann gilt:
$$
H^n(M) \cong \mathbb R, \quad n=\dim M
$$
Beweis:
Erinnerung: wenn $\omega$ eine Volumenform $\Rightarrow\int_M \omega \neq 0$, andereseits: wenn $\omega = \intd \alpha \in \Omega^n(M)$
$$
\Rightarrow \int_M \omega = \int_M \intd \alpha = \int_\emptyset \alpha = 0
$$
Da $M$ kompakt, $\exists\,\{ U_i \}_{i=1}^N$ eine offene Überdeckung mit untergeordneter Teilung der Eins $\{ \varphi_i \}_{i=1}^N$ sodass $U_i \cong \mathbb R^n$.
Definiere die Abbildung
$$
\Psi \colon \Omega^n(M) &\to& \mathbb R^N
\\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} & &
\\ \omega &\mapsto& \left( \int_M \varphi_1 \cdot \omega, \ldots, \int_M \varphi_N \cdot \omega \right)
$$
$\Psi$ linear:
$$
V := \{ \psi (\diffd \alpha) \mathrel | \alpha \in \Omega^{n-1}(M) \} \subseteq \mathbb R^N
$$
Untervektorraum
Behauptung:
$$
\Psi(\omega) \in V \Leftrightarrow \omega \mathrel\text{exakt}
$$
$\Leftarrow$ Definition von $V$
$\Rightarrow$ $\Psi(\omega) \in V \Rightarrow \exists \alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ mit $\Psi(\omega - \diffd \alpha) = 0$
$\int_{U_i}\varphi_i \cdot (\omega-\diffd \alpha)=\Rightarrow \int_M \varphi_i \cdot (\omega -\diffd \alpha) = 0$, $i=1,\ldots, N$
$U_i \cong \mathbb R^n \Rightarrow \varphi_i\cdot(\omega -\diffd \alpha)$ exakt (nach vorheriger Proposition)
$\Rightarrow \exists \alpha_i \in \Omega_c^{n-1}(U_i)$ mit $\rho_i\cdot(\omega -\diffd \alpha) = \diffd \alpha_i$
TODO missing
%TODO missing
Nun ist $V\subset \mathbb R^N$ durch ein LGS gegeben:
$$
V = \{ x\in \mathbb R^N \mathrel| C_x = 0 \},\quad C\in \mathbb R^{m\times N}
$$
Das heißt:
$$
\omega \mathrel{\text{text}} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^N \int_M c_{jk} \rho_k \cdot \omega = 0, \quad j=1,\ldots, m
$$
Behauptung:
$$
\sum_{k=1}^N c_{jk} \rho_k
$$
ist eine konstante Funktion $\forall j = 1, \ldots, m$:
Wenn nicht:
$$
\exists i \in \{ 1,\ldots, N \} \exists \omega \in \Omega_c^n(U_i)
$$
so dass
$$
\int_M \omega = 0
$$
aber
$$
\int \sum_{k=1}^{N} c_{jk} \rho_k \omega = \int_{U_i} c_{ji} \rho \varphi_i \omega \neq 0
$$
$\Rightarrow \omega$ nicht exakt $\lightning$
TODO missing%TODO missing
* Metrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
** Definition
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine Riemansche Metrik auf $M$ ist eine symetrische positiv definite Bilinearform $g\in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$
Das heißt $\forall p\in M$ ist $g_p\in T_p^*M \otimes T^*_p M\cong \operatorname{Bil}(T_pM)$ mit $g_p$ ist ein Skalarpodukt
Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. definit“/„Skalarpodukt“
** Tensoralgebra im Präsenz von $g$
1. Da $g$ nicht ausgeartet ist, definiert es musikalische Isomorphismen
$$
\flat \colon TM &\to& T^*M
\\ \sharp \colon T^*M &\to& TM
\\ v^\flat (\omega) &:=& g(v,w), \quad v,w \in T_pM
\\ \sharp &=& \flat^{-1}
$$
Beispiel: $f\in C^\infty(M)$, $\operatorname{grad}(f) := (\diffd f)^\sharp$
2. $\ast$-Operation auf Differentialformen
Erinnerung:
$$
B_x \intd y\wedge\diffd z + B_y \intd z \wedge \diffd x + \ldots
$$
$$
\lbrack\ast (e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k}) \rbrack \wedge \left(e_{i_1} \wedge\ldots\wedge e_{i_k} \right) = e_1\wedge\ldots\wedge e_n
$$
z.B.:
$$
\ast (B_x \intd y \wedge \diffd z) = B_x\intd x
$$
$$
X&\in& \Gamma(T\mathbb R^3)
\\ X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
\\ \diffd X^\flat &\in& \Omega^2(\mathbb R^3)
\\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
\\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp
$$
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