Commit 345b48e4 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-10-17--2019-10-18

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*.pdf
*.toc
*.aux
*.log
for-compile.tex
tmp.tex
cp edit-this-file.tex tmp.tex
python3 preprocessor.py
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o for-compile.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
python3 postprocessor.py
# clear && clear
echo "start pdflatex"
if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
latexoption=""
else
latexoption="-interaction=nonstopmode"
fi
pdflatex $latexoption for-compile.tex
ec=$?
if [[ $ec == 0 ]]
then
if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
pdflatex $latexoption for-compile.tex
pdflatex $latexoption for-compile.tex
pdflatex $latexoption for-compile.tex
fi
else
echo "Compilation failed"
exit $ec
fi
mkdir -p ../output
cp for-compile.tex ../output/dgeo-alekseev-III.tex
mv for-compile.pdf dgeo-alekseev-III.pdf
cp dgeo-alekseev-III.pdf ../output/
% \square?
%%%%%%%%%%%
* Meta-Infos
Übungen flexibel
** Skript
myfsr.de
- Skripte
- ganz unten
- Typos und Fehler gerne und bitte an Benedikt Bartsch. E-Mail-Adresse siehe:
- https://myfsr.de/dokuwiki/doku.php?id=fsr:mitglieder
** Forum
physik.protagon.space
** Literatur
Walschap: Metric Structures in Differential Geometry
Spivac: Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I
Ben Andrews: Lectures on Differential Geometry
math-people.anu.edu.au/~andrews/DG
* Begriff Differentialgeometrie
Sie studiert Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten ist die Abstraktion einer (Hyper-)Fläche in $\mathbb R^n$, $n\in \mathbb N$.
TODO Bildchen 1
TODO Bildchen 2
Auf $U\cap V$ haben wir zwei Abbildungen:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& U\cap V \arrow[ld, "X"'] \arrow[rd, "Y"] & \\
\underbrace{X(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2} \arrow[rr, "Y\circ X^{-1}"] & & \underbrace{Y(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2}
\end{tikzcd}
\end{center}
Problem: bekannte Dinge aus der Analysis hängen meist von Koordinatensystemen ab.
Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?
* Tangentialvektoren in $\mathbb R^n$
** Notation
- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
- $f\colon U\to V$
- $$
D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
$$
- $$
Df = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right]\in M_{m\times n}(C^\infty(U))
$$
TODO Bildchen 3
naive Vorstellung: ein Tangentialvektor an $p\in \mathbb R^n$ ist ein (gewähltes) Element $\xi \in\mathbb R^n$
Alle möglichen Tangentialvektoren an allen Punkten sind dann identifiziert mit
$$
T\mathbb R^n := \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (p, \xi)
$$
$\leftarrow$ Koordinatentransformation ändert Einträge
Basiswechselmatrix:
$$
\begin{blockarray}{ccc}
\begin{block}{[ccc]}
\frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac12 & \frac{\sqrt 3}{2} \\
\end{block}
\uparrow & \uparrow \\
f_1 & f_2 \\
\end{blockarray}
$$
(in $E$-Koordinatensystem)
$\Rightarrow$
$$
(B^{-1} \cdot p, B^{-1}\cdot \xi) = (p', \xi')
$$
$\leftarrow$ Koordinaten von $(p, \xi)$ in $\mathcal F$-Koordinatensystem.
TODO Bildchen 4
$$
(p, \xi) \in T\mathbb R^n, \quad \varphi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R
$$
Richtungsableitung
$$
\underbrace{\partial_{\xi}\varphi}_{\text{Richtungsableitung}} := \underbrace{D_p \varphi}_{\text{Zeile}} \cdot \underbrace{\xi}_{\text{Spalte}} = D_p\varphi(\xi)\in \mathbb R
$$
Idee: benutze das als Definition
- „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
- „Tangentialvektor = Richtungsableitung“
Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor
TODO Bildchen 5
$$
\partial_{(\varphi, \xi)} \varphi &:=& D_p\varphi(\xi)
\\&=& \sum_{i=1}^n \xi^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
\\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
$$
* Definition Derivation
Sei $p\in \mathbb R^n$. Eine Derivation an $p$ ist $\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\xrightarrow{\text{linear}} \mathbb R$ mit
$$
\partial (\varphi\cdot\psi) = \partial \varphi \cdot \psi(p) + \partial \psi \cdot \varphi(p)
$$
* Beispiel
$\forall (p, \xi)\in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$, $\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi)}(\cdot)$ ist Derivation an $p$.
* Proposition
$\forall \partial \colon C^\infty(\mathbb R^n) \to \mathbb R$ Derivation in $p$: $\exists! \xi\in \mathbb R^n : \partial = \partial_{(p, \xi)}$
Beweis:
Seien $x^i \colon \R^n \to \R : (x^1, \ldots, x^n) \mapsto x^i$ Koordinatenabbildungen / Projektionen. Setze:
$$
\xi_i := \partial (x^i)\in \R
$$
Zu zeigen:
$$
\partial = \partial_{\left(p, \left( \begin{matrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{matrix} \right) \right)}
$$
Trick:
ein $\varphi \in C^\infty (\mathbb R^n)$ kann mit $\varphi_i(x)\in C^\infty(\R^n)$ sowie:
$$
\varphi(x) = \varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x) (x^i - p^i) \quad \text{fast Taylor}
$$
Beweis des Tricks:
$$
\varphi (x) - \varphi(p) &=& \int_0^1 \frac{\partial \varphi(p+t(x-p))}{\partial t} \diffd t
\\ &\overset{\text{Kettenregel + Skalarprodukt ausmultiplizieren }}=&
\sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} (p+t(x-p))\cdot (x^i - p^i)\intd t
\\&=&\sum_{i=1}^n (x^i-p^i) \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(p+t(x-p))\intd t}_{=: \varphi_i(x)}
$$
$$
\partial (1) = \partial (1\cdot 1) \overset{\text{Leibnitz}}= \partial (1) + \partial (1) \Rightarrow \partial (1) = 0
$$
$$
\partial (\varphi) &=& \partial \left(\varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\cdot(x^i - p^i)\right)
\\&\overset{\text{Leibnitz, Linearität}}=& \sum_{i=1}^n \left( \partial (\varphi_i)(\underbrace{p^i -p^i}_{=0}) + \underbrace{\varphi_i(p) \partial (x^i}_{\xi_i} \underbrace{- p^i)}_{\text{konstant}} \right)
\\&=&\sum_{i=1}^n \varphi_i(p) \xi_i
\\&=& \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
$$
Eindeutigkeit folgt aus der Linearität der Derivation:
$$
&&\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi')}
\\&\Rightarrow& \partial_{(p, \xi -\xi')} = 0
\\&\Rightarrow&\forall i\in \mathbb N_{\leqslant n} : \xi^i - \xi^i = 0 (= \partial_{(p, \xi-\xi')}(x^i))
$$
$\square$
Fazit: Tangentialvektoren an $p\in \R^n\mathrel{\hat=}$ Derivation an $p$
* Definition: Tangentialraum
$$
T_p\mathbb R^n := \{ \partial \colon C^\infty (\R^n) \to \R\ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$
** Bemerkung
- Vektorraum, da Derivationen VR bilden
- Beweis der Proposition liefert:
$$
T_p\R^n \cong \R^n, \quad \partial_{(p, \xi)} \mapsfrom\xi
$$
- $\dim (T_p\R^n)=n$
* Frage
Sei $p\in U\in \mathcal O(\R^n) \leftarrow \text{offenen Mengen}$. Was ist folgende Menge?
$$
T_p U := \{ \partial \colon C^\infty (U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation} \}
$$
* Behauptung/Intuition
Es gilt:
$$
T_p U \cong T_p\mathbb R^n
$$
Beweis:
Definiere die duale Abbildung:
$$
\varepsilon^* \colon
\begin{cases}
T_pU &\to T_p\R^n
\\ \partial &\mapsto
\begin{cases}
C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
\\ \varphi &\mapsto \partial (\varphi|_U)
\end{cases}
\end{cases}
$$
Zeige, dass $\varepsilon^*$ ein Isomophismus ist.
Sei
$$
\varepsilon \colon
\begin{cases}
C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
\\ \varphi &\mapsto \varphi|_U
\end{cases}
$$
$\varepsilon^*$ ist surjektiv:
Sei $\xi\in \R^n$, $\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. $\varepsilon^* (\underbrace{\partial_{(p, \xi)} }_{\in T_pU}) = \partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. Surjektivität ist relativ klar. Gibt es einen Unterschied zwischen $\partial_{(p, \xi)} \in T_pU$ und $\partial_{(p, \xi)} \in T_p\R^n$?
$\varepsilon^*$ ist injektiv:
$$
&\Leftrightarrow& \ker(\varepsilon^*) = \{0\}
\\ &\Leftrightarrow& \forall \partial \in \ker(\varepsilon^*) : \partial = 0
$$
Sei $\partial \in \ker(\varepsilon^*)$. Dann gilt für $\partial$:
$$
&&\partial \in \ker(\varepsilon^*)
\\&\Leftrightarrow& \varepsilon^*(\partial) = 0
\\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varphi|_U)) = 0
\\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varepsilon (\varphi))) = 0
\\&\Leftrightarrow& \partial \circ \varepsilon = 0
\\&\Leftrightarrow& \forall \varphi \in C^\infty (\R^n): \partial (\varphi|_U) = 0
$$
Es bleibt noch zu zeigen, dass:
$$
\forall \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) : \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U)
$$
denn dann:
$$
\partial (\psi) = \partial (\varphi|_U) = 0
$$
Sei $\psi\in C^\infty(U)$. Sei
$$
\chi(x) :=
\begin{cases}
0, & |x| \geqslant 1
\\ \exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right), & |x| < 1
\end{cases}
\quad \in C^\infty(\R^n)
$$
TODO Bildchen 6
die Hügelfunktion und
$$
\varrho (x) :=\frac{\int_{-\infty}^x \chi(t) \intd t}{\int_{-\infty}^\infty \chi(t) \intd t}
$$
die Hangfunktion
TODO Bildchen 7
$U$ offen $\Rightarrow \exists r>0 : B(p, 5 \cdot r) \subseteq U$. Sei:
$$
\tilde\varrho \colon
\begin{cases}
\R^n &\to \R
\\ x &\mapsto
\begin{cases}
\varrho \left(3 - \frac{|x-p|}{r} \right), & x\in U
\\ 0, & \text{sonst}
\end{cases}
\quad \in C^\infty (\R^n, \R)
\end{cases}
$$
$\exists p\in V\subset U:$
$$
\tilde\varrho &=& 1 \quad \text{auf } V
\\ \tilde\varrho &=& 0 \quad \text{auf } \R^n\setminus U
$$
TOOD Bildchen 8
Konstruiere $\varphi$:
$$
\varphi(x) :=
\begin{cases}
\psi(x)\cdot \tilde\varrho(x) & x\in U
\\ 0 & \text{sonst}
\end{cases}
$$
Jetzt gilt:
$$
\partial (\varphi|_U) &=&\partial ((\tilde\varrho \cdot \psi)|_U)
\\&=&\partial (\tilde\varrho|_U \cdot \psi)
\\&=& \underbrace{\tilde\varrho|_U(p)}_{=1} \cdot \partial(\psi) + \underbrace{\partial (\tilde\varrho|_U)}_{\overset{(*)}=0} \cdot \psi(p)
$$
Beweis von $(*)$:
Konstruiere $\tilde{\tilde \varrho} \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\tilde{\tilde \varrho} = 0$ auf $U\setminus V$ und $\tilde{\tilde \varrho}(p) = 1$. Es gilt $\tilde{\tilde \varrho}(1-\tilde \varrho) = 0$.
TODO Bildchen 9
Daraus Folgt: $(\tilde{\tilde \varrho} := \tilde{\tilde \varrho}|_U)$
$$
0 &=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} (1-\tilde \varrho))
\\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} - \tilde{\tilde \varrho} \tilde \varrho)
\\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho}) - \partial (\tilde{\tilde \varrho}\tilde \varrho)
\\&=& \partial(\tilde{\tilde \varrho}) - \underbrace{\tilde{\tilde \varrho}(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\tilde{\tilde \varrho})
\\&=& -\partial (\tilde \varrho)
$$
* Ü1
bla
** Ü2
bla
*** Ü3
bla
**** Ü4
bla
***** Ü5
bla
****** Ü6
* Ü2
bla bla bla
- S1
- S2
- S3
- S4
bla bla bla
1. S1
2. S2
3. S3
4. S3
Zitat:
#+BEGIN_QUOTE
Zitatinhalt
#+END_QUOTE
German „quotes“ and ‚inner quoates‘.
„“‚‘
* Thema
** Definition
Sei $x\in \mathbb R$, dann:
$$1
$$
\sum_{\begin{subarray} a \\ b \end{subarray}}
$$
x=\sqrt{b}
$$1
für ein $b\in \mathbb C$.
Beweis:
- Als erstes $f\colon A \to B$
- Nun noch
$$
3 5&=& 2 + 1
\\&=& 1 + 1 +1
$$
** Satz von X
Wenn $A(x)$, dann $\neg \neg A(x)$.
Beweis:
* Siehe vorheriger Beweis
* dann erhalte nichts
\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\leadsto$}}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
V \arrow[r, "f"] & W
\end{tikzcd}
\end{center}
inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . |
while read -r directory events filename; do
if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then
./compile.sh
echo "wait for next change..."
fi
done
This diff is collapsed.
---
title: 'DGEO Wintersemester 2019 alpha version, ohne Gewähr'
author:
- 'Dozent: '
- 'Satz: '
- 'Version: '
lang: de
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graphics: yes
tikz: yes
...
#TODO Algorithmic efficiency
import re
filename = "for-compile.tex"
with open(filename, 'r') as file:
data = file.read()
copy = data
while True:
data = copy
#print(data, copy)
if data == copy:
break
data = re.sub(r'\n\s*\\begin{eqnarray\*}', r' \\begin{eqnarray*}', data)
with open(filename, 'w') as file:
file.write(data)
#TODO Algorithmic efficiency
import re
filename = "tmp.tex"
with open(filename, 'r') as file:
data = file.read()
copy = data
while True:
data = copy
copy = re.sub("(?<!\\\\)\%.*\n", '', copy)
#turn on/off personal comments
#copy = re.sub("(?<!\\\\)\§.*\n", '', copy)
copy = re.sub("§", '', copy)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\begin{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\end{eqnarray*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\begin{equation*}\n', copy, 1)
copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\end{equation*}\n', copy, 1)
#print(data, copy)
if data == copy:
break
data = re.sub(r'\\%', '%', data)
with open(filename, 'w') as file:
file.write(data)
sh install-path-pandoc
cd diffgeoIII
source ./compile.sh fail-on-error
cd ..
cd diffgeoII
source ./compile.sh fail-on-error
cd ..
......
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