2019-10-17--2019-10-18

diffgeoIII/.gitignore

+*.pdf
+*.toc
+*.aux
+*.log
+for-compile.tex
+tmp.tex

diffgeoIII/compile.sh

+cp edit-this-file.tex tmp.tex
+python3 preprocessor.py
+pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o for-compile.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
+python3 postprocessor.py
+
+# clear && clear
+echo "start pdflatex"
+
+if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
+  latexoption=""
+else
+  latexoption="-interaction=nonstopmode"
+fi
+
+pdflatex $latexoption for-compile.tex
+ec=$?
+if [[ $ec == 0 ]]
+then
+  if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+    pdflatex $latexoption for-compile.tex
+  fi
+else
+  echo "Compilation failed"
+  exit $ec
+fi
+
+mkdir -p ../output
+cp for-compile.tex ../output/dgeo-alekseev-III.tex
+mv for-compile.pdf dgeo-alekseev-III.pdf
+cp dgeo-alekseev-III.pdf ../output/

diffgeoIII/edit-this-file.tex

+% \square?
+
+%%%%%%%%%%%
+
+* Meta-Infos
+
+Übungen flexibel
+
+** Skript
+
+myfsr.de
+
+- Skripte
+
+- ganz unten
+
+- Typos und Fehler gerne und bitte an Benedikt Bartsch. E-Mail-Adresse siehe:
+
+ - https://myfsr.de/dokuwiki/doku.php?id=fsr:mitglieder
+
+** Forum
+
+physik.protagon.space
+
+** Literatur
+
+Walschap: Metric Structures in Differential Geometry
+
+Spivac: Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I
+
+Ben Andrews: Lectures on Differential Geometry
+
+math-people.anu.edu.au/~andrews/DG
+
+* Begriff Differentialgeometrie
+
+Sie studiert Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten ist die Abstraktion einer (Hyper-)Fläche in $\mathbb R^n$, $n\in \mathbb N$.
+
+TODO Bildchen 1
+
+TODO Bildchen 2
+
+Auf $U\cap V$ haben wir zwei Abbildungen:
+
+\begin{center}
+\begin{tikzcd}
+                                                                            & U\cap V \arrow[ld, "X"'] \arrow[rd, "Y"] &                                                 \\
+\underbrace{X(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2} \arrow[rr, "Y\circ X^{-1}"] &                                          & \underbrace{Y(U\cap V)}_{\subseteq \mathbb R^2}
+\end{tikzcd}
+\end{center}
+
+Problem: bekannte Dinge aus der Analysis hängen meist von Koordinatensystemen ab.
+
+Frage: Welche Größen sind koordinatenunabhängig?
+
+* Tangentialvektoren in $\mathbb R^n$
+
+** Notation
+
+- $n$, $m \in \mathbb N$ seien ab jetzt natürliche Zahlen
+- Alle Abbildungen $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ werden ab jetzt glatt vorrausgesetzt
+- $f\colon U\to V$
+ - $$
+     D_xf = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right] \leftarrow \text{Matrix}
+   $$
+ - $$
+     Df = \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right]\in M_{m\times n}(C^\infty(U))
+   $$
+
+TODO Bildchen 3
+
+naive Vorstellung: ein Tangentialvektor an $p\in \mathbb R^n$ ist ein (gewähltes) Element $\xi \in\mathbb R^n$
+
+Alle möglichen Tangentialvektoren an allen Punkten sind dann identifiziert mit
+
+$$
+  T\mathbb R^n := \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (p, \xi)
+$$
+
+$\leftarrow$ Koordinatentransformation ändert Einträge
+
+Basiswechselmatrix:
+
+$$
+\begin{blockarray}{ccc}
+\begin{block}{[ccc]}
+  \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \\
+  -\frac12 & \frac{\sqrt 3}{2} \\
+\end{block}
+\uparrow & \uparrow  \\
+f_1 & f_2  \\
+\end{blockarray}
+$$
+
+(in $E$-Koordinatensystem)
+
+$\Rightarrow$
+
+$$
+  (B^{-1} \cdot p, B^{-1}\cdot \xi) = (p', \xi')
+$$
+
+$\leftarrow$ Koordinaten von $(p, \xi)$ in $\mathcal F$-Koordinatensystem.
+
+TODO Bildchen 4
+
+$$
+  (p, \xi) \in T\mathbb R^n, \quad \varphi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R
+$$
+
+Richtungsableitung
+
+$$
+  \underbrace{\partial_{\xi}\varphi}_{\text{Richtungsableitung}} := \underbrace{D_p \varphi}_{\text{Zeile}} \cdot \underbrace{\xi}_{\text{Spalte}} = D_p\varphi(\xi)\in \mathbb R
+$$
+
+Idee: benutze das als Definition
+ - „ein Tangentialvektor ist das, was Funktionen ableitet“
+ - „Tangentialvektor = Richtungsableitung“
+
+Sei $(p, \xi) \in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ ein (in Koordinaten darstellbarer) Tangentialvektor
+
+TODO Bildchen 5
+
+$$
+  \partial_{(\varphi, \xi)} \varphi &:=& D_p\varphi(\xi)
+  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
+  \\&=&\left( \sum_{i=1}^n \xi^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p \right)(\varphi)
+$$
+
+* Definition Derivation
+
+Sei $p\in \mathbb R^n$. Eine Derivation an $p$ ist $\partial \colon C^\infty(\mathbb R^n)\xrightarrow{\text{linear}} \mathbb R$ mit
+
+$$
+  \partial (\varphi\cdot\psi) = \partial \varphi \cdot \psi(p) + \partial \psi \cdot \varphi(p)
+$$
+
+* Beispiel
+
+$\forall (p, \xi)\in \mathbb R^n \times \mathbb R^n$, $\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi)}(\cdot)$ ist Derivation an $p$.
+
+* Proposition
+
+$\forall \partial \colon C^\infty(\mathbb R^n) \to \mathbb R$ Derivation in $p$: $\exists! \xi\in \mathbb R^n : \partial = \partial_{(p, \xi)}$
+
+Beweis:
+
+Seien $x^i \colon \R^n \to \R : (x^1, \ldots, x^n) \mapsto x^i$ Koordinatenabbildungen / Projektionen. Setze:
+
+$$
+  \xi_i := \partial (x^i)\in \R
+$$
+
+Zu zeigen:
+
+$$
+  \partial = \partial_{\left(p, \left( \begin{matrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{matrix} \right) \right)}
+$$
+
+Trick:
+
+ein $\varphi \in C^\infty (\mathbb R^n)$ kann mit $\varphi_i(x)\in C^\infty(\R^n)$ sowie:
+
+$$
+  \varphi(x) = \varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x) (x^i - p^i) \quad \text{fast Taylor}
+$$
+
+Beweis des Tricks:
+
+$$
+  \varphi (x) - \varphi(p) &=& \int_0^1 \frac{\partial \varphi(p+t(x-p))}{\partial t} \diffd t
+  \\ &\overset{\text{Kettenregel + Skalarprodukt ausmultiplizieren }}=&
+    \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} (p+t(x-p))\cdot (x^i - p^i)\intd t
+  \\&=&\sum_{i=1}^n (x^i-p^i) \underbrace{\int_0^1 \frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(p+t(x-p))\intd t}_{=: \varphi_i(x)}
+$$
+
+$$
+  \partial (1) = \partial (1\cdot 1) \overset{\text{Leibnitz}}= \partial (1) + \partial (1) \Rightarrow \partial (1) = 0
+$$
+
+$$
+  \partial (\varphi) &=& \partial \left(\varphi(p) + \sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\cdot(x^i - p^i)\right)
+  \\&\overset{\text{Leibnitz, Linearität}}=& \sum_{i=1}^n \left( \partial (\varphi_i)(\underbrace{p^i -p^i}_{=0}) + \underbrace{\varphi_i(p) \partial (x^i}_{\xi_i} \underbrace{- p^i)}_{\text{konstant}} \right)
+  \\&=&\sum_{i=1}^n \varphi_i(p) \xi_i
+  \\&=& \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p)
+$$
+
+
+Eindeutigkeit folgt aus der Linearität der Derivation:
+
+$$
+  &&\partial_{(p, \xi)} = \partial_{(p, \xi')}
+  \\&\Rightarrow& \partial_{(p, \xi -\xi')} = 0
+  \\&\Rightarrow&\forall i\in \mathbb N_{\leqslant n} : \xi^i - \xi^i = 0 (= \partial_{(p, \xi-\xi')}(x^i))
+$$
+
+$\square$
+
+Fazit: Tangentialvektoren an $p\in \R^n\mathrel{\hat=}$ Derivation an $p$
+
+* Definition: Tangentialraum
+
+$$
+  T_p\mathbb R^n := \{ \partial \colon C^\infty (\R^n) \to \R\ |\ \partial \text{ Derivation} \}
+$$
+
+** Bemerkung
+
+ - Vektorraum, da Derivationen VR bilden
+ - Beweis der Proposition liefert:
+ $$
+   T_p\R^n \cong \R^n, \quad \partial_{(p, \xi)} \mapsfrom\xi
+ $$
+ - $\dim (T_p\R^n)=n$
+
+* Frage
+
+Sei $p\in U\in \mathcal O(\R^n) \leftarrow \text{offenen Mengen}$. Was ist folgende Menge?
+$$
+  T_p U := \{ \partial \colon C^\infty (U) \to \R \ |\ \partial \text{ Derivation} \}
+$$
+
+* Behauptung/Intuition
+
+Es gilt:
+
+$$
+  T_p U \cong T_p\mathbb R^n
+$$
+
+Beweis:
+
+Definiere die duale Abbildung:
+
+$$
+  \varepsilon^* \colon
+  \begin{cases}
+    T_pU &\to T_p\R^n
+    \\ \partial &\mapsto
+      \begin{cases}
+        C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
+        \\ \varphi &\mapsto \partial (\varphi|_U)
+      \end{cases}
+  \end{cases}
+$$
+
+Zeige, dass $\varepsilon^*$ ein Isomophismus ist.
+
+Sei
+
+$$
+  \varepsilon \colon
+  \begin{cases}
+    C^\infty (\R^n) &\to C^\infty(U)
+    \\ \varphi &\mapsto \varphi|_U
+  \end{cases}
+$$
+
+$\varepsilon^*$ ist surjektiv:
+
+Sei $\xi\in \R^n$, $\partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. $\varepsilon^* (\underbrace{\partial_{(p, \xi)} }_{\in T_pU}) = \partial_{(p,\xi)}\in T_p\R^n$. Surjektivität ist relativ klar. Gibt es einen Unterschied zwischen $\partial_{(p, \xi)} \in T_pU$ und $\partial_{(p, \xi)} \in T_p\R^n$?
+
+$\varepsilon^*$ ist injektiv:
+
+$$
+  &\Leftrightarrow& \ker(\varepsilon^*) = \{0\}
+  \\ &\Leftrightarrow& \forall \partial \in \ker(\varepsilon^*) : \partial = 0
+$$
+
+Sei $\partial \in \ker(\varepsilon^*)$. Dann gilt für $\partial$:
+
+$$
+  &&\partial \in \ker(\varepsilon^*)
+  \\&\Leftrightarrow& \varepsilon^*(\partial) = 0
+  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varphi|_U)) = 0
+  \\&\Leftrightarrow& (\varphi \mapsto \partial (\varepsilon (\varphi))) = 0
+  \\&\Leftrightarrow& \partial \circ \varepsilon = 0
+  \\&\Leftrightarrow& \forall \varphi \in C^\infty (\R^n): \partial (\varphi|_U) = 0
+$$
+
+Es bleibt noch zu zeigen, dass:
+
+$$
+  \forall \psi\in C^\infty(U) \exists \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) : \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U)
+$$
+
+denn dann:
+
+$$
+  \partial (\psi) = \partial (\varphi|_U) = 0
+$$
+
+Sei $\psi\in C^\infty(U)$. Sei
+
+$$
+  \chi(x) :=
+  \begin{cases}
+    0, & |x| \geqslant 1
+    \\ \exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right), & |x| < 1
+  \end{cases}
+  \quad \in C^\infty(\R^n)
+$$
+
+TODO Bildchen 6
+
+die Hügelfunktion und
+
+$$
+  \varrho (x) :=\frac{\int_{-\infty}^x \chi(t) \intd t}{\int_{-\infty}^\infty \chi(t) \intd t}
+$$
+
+die Hangfunktion
+
+TODO Bildchen 7
+
+$U$ offen $\Rightarrow \exists r>0 : B(p, 5 \cdot r) \subseteq U$. Sei:
+
+$$
+  \tilde\varrho \colon
+  \begin{cases}
+    \R^n &\to \R
+    \\ x &\mapsto
+    \begin{cases}
+      \varrho \left(3 - \frac{|x-p|}{r} \right), & x\in U
+      \\ 0, & \text{sonst}
+    \end{cases}
+    \quad \in C^\infty (\R^n, \R)
+  \end{cases}
+$$
+
+$\exists p\in V\subset U:$
+
+$$
+  \tilde\varrho &=& 1 \quad \text{auf } V
+  \\ \tilde\varrho &=& 0 \quad \text{auf } \R^n\setminus U
+$$
+
+TOOD Bildchen 8
+
+Konstruiere $\varphi$:
+
+$$
+  \varphi(x) :=
+  \begin{cases}
+    \psi(x)\cdot \tilde\varrho(x) & x\in U
+    \\ 0 & \text{sonst}
+  \end{cases}
+$$
+
+Jetzt gilt:
+
+$$
+  \partial (\varphi|_U) &=&\partial ((\tilde\varrho \cdot \psi)|_U)
+  \\&=&\partial (\tilde\varrho|_U \cdot \psi)
+  \\&=& \underbrace{\tilde\varrho|_U(p)}_{=1} \cdot \partial(\psi) + \underbrace{\partial (\tilde\varrho|_U)}_{\overset{(*)}=0} \cdot \psi(p)
+$$
+
+Beweis von $(*)$:
+
+Konstruiere $\tilde{\tilde \varrho} \in C^\infty(U)$ wie $\tilde\varrho$. Aber jetzt mit $\tilde{\tilde \varrho} = 0$ auf $U\setminus V$ und $\tilde{\tilde \varrho}(p) = 1$. Es gilt $\tilde{\tilde \varrho}(1-\tilde \varrho) = 0$.
+
+TODO Bildchen 9
+
+Daraus Folgt: $(\tilde{\tilde \varrho} := \tilde{\tilde \varrho}|_U)$
+
+$$
+  0 &=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} (1-\tilde \varrho))
+  \\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho} - \tilde{\tilde \varrho} \tilde \varrho)
+  \\&=& \partial (\tilde{\tilde \varrho}) - \partial (\tilde{\tilde \varrho}\tilde \varrho)
+  \\&=& \partial(\tilde{\tilde \varrho}) - \underbrace{\tilde{\tilde \varrho}(p)}_{=1}\partial(\tilde \varrho) - \underbrace{\tilde\varrho(p)}_{=1}\partial (\tilde{\tilde \varrho})
+  \\&=& -\partial (\tilde \varrho)
+$$
+

diffgeoIII/feature-examples.tex

+* Ü1
+
+bla
+
+** Ü2
+
+bla
+
+*** Ü3
+
+bla
+
+**** Ü4
+
+bla
+
+***** Ü5
+
+bla
+
+****** Ü6
+
+* Ü2
+
+bla bla bla
+
+- S1
+ - S2
+  - S3
+   - S4
+
+bla bla bla
+
+1. S1
+ 2. S2
+  3. S3
+   4. S3
+
+Zitat:
+
+#+BEGIN_QUOTE
+Zitatinhalt
+#+END_QUOTE
+
+German „quotes“ and ‚inner quoates‘.
+„“‚‘
+
+* Thema
+** Definition
+
+Sei $x\in \mathbb R$, dann:
+$$1
+
+$$
+  \sum_{\begin{subarray} a \\ b \end{subarray}}
+$$
+  x=\sqrt{b}
+$$1
+für ein $b\in \mathbb C$.
+
+Beweis:
+
+- Als erstes $f\colon A \to B$
+- Nun noch
+$$
+  3 5&=& 2 + 1
+  \\&=& 1 + 1 +1
+$$
+
+** Satz von X
+
+Wenn $A(x)$, dann $\neg \neg A(x)$.
+
+Beweis:
+
+ * Siehe vorheriger Beweis
+ * dann erhalte nichts
+
+\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\leadsto$}}
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzcd}
+  T_pV \arrow[r, "D_pf"] \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] & T_pW \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description] \\
+  V \arrow[r, "f"]                                      & W
+  \end{tikzcd}
+\end{center}

diffgeoIII/interactive-compile.sh

+
+inotifywait -e close_write,moved_to,create -m . |
+while read -r directory events filename; do
+  if [ "$filename" = "edit-this-file.tex" ]; then
+    ./compile.sh
+    echo "wait for next change..."
+  fi
+done

diffgeoIII/meta.yaml

+---
+title:  'DGEO Wintersemester 2019 alpha version, ohne Gewähr'
+author:
+- 'Dozent: '
+- 'Satz: '
+- 'Version: '
+lang: de
+papersize: a4
+toc: yes
+graphics: yes
+tikz: yes
+...

diffgeoIII/postprocessor.py

+#TODO Algorithmic efficiency
+
+import re
+
+filename = "for-compile.tex"
+
+with open(filename, 'r') as file:
+  data = file.read()
+  copy = data
+  while True:
+    data = copy
+
+    #print(data, copy)
+    if data == copy:
+      break
+
+data = re.sub(r'\n\s*\\begin{eqnarray\*}', r' \\begin{eqnarray*}', data)
+
+with open(filename, 'w') as file:
+  file.write(data)

diffgeoIII/preprocessor.py

+#TODO Algorithmic efficiency
+
+import re
+
+filename = "tmp.tex"
+
+with open(filename, 'r') as file:
+  data = file.read()
+  copy = data
+  while True:
+    data = copy
+
+    copy = re.sub("(?<!\\\\)\%.*\n", '', copy)
+
+    #turn on/off personal comments
+    #copy = re.sub("(?<!\\\\)\§.*\n", '', copy)
+    copy = re.sub("§", '', copy)
+
+    copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\begin{eqnarray*}\n', copy, 1)
+    copy = re.sub("\$\$\n", '\\\\end{eqnarray*}\n', copy, 1)
+    copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\begin{equation*}\n', copy, 1)
+    copy = re.sub("\$\$1\n", '\\\\end{equation*}\n', copy, 1)
+
+    #print(data, copy)
+    if data == copy:
+      break
+
+data = re.sub(r'\\%', '%', data)
+
+with open(filename, 'w') as file:
+  file.write(data)

do-compile-stuff.sh

 sh install-path-pandoc
 
+cd diffgeoIII
+source ./compile.sh fail-on-error
+cd ..
+
 cd diffgeoII
 source ./compile.sh fail-on-error
 cd ..