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2019-06-05

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......@@ -3322,3 +3322,235 @@ $$
\dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p^i}
\\ \dot p_i &=& - \frac{\partial H}{\partial q^i}
$$
%2019-06-05
$$
M = T^* \mathbb R^n = \mathbb R^n \times \mathbb R^n \ni (a,p)
$$
$$
\omega = \sum_{i=1}^n \diffd q^i \wedge \diffd p^i
$$
Gestern:
$\omega$ ist nicht ausgeartet, $\diffd \omega = 0$ ($\Leftrightarrow \omega(q,p)$ eine nicht ausgeartete Bilinearform auf $TM$)
** Definition
Ein Paar $(M, \omega)$, wobei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine nicht ausgeartete geschlossene $2$-Form, heißt symplektische Mannigfaltigkeit.
** Übung
$(T^*N, \omega)$ ist symplektisch für jede Mannigfaltigkeit $N$
Fakt aus der linearen Algebra: wenn $(V, \beta)$ ein Vektorraum mit einer nicht ausgearteten Bilinearform $\beta$, definiert $\beta$
Isomorphismen
$$
\miso{V}{\sharp}{\flat}{V^*}
$$
$$
\\ v\mapsto (\omega \mapsto \beta(v,\omega))
$$
$\rightsquigarrow$ Musikalische Isomorphismen. (in Koordinaten: $\sharp$ „erhöht“ den Index, $\flat$ „senkt“ den Index)
Wenn jetzt $(M,\omega)$ symplektisch ist, bekommt man $\forall m\in M\colon \miso{T_mM}{\sharp}{\flat}{T_m^*M}$
und entsprechend
$$
\miso{\Gamma(TM)}{\sharp}{\flat}{\Omega'(M)}
$$
Gestern in Übung: für $M=T^*\mathbb R^n$
$$
\left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)^\flat = \diffd p^i, \quad \left( \frac{\partial}{\partial p^i} \right)^\flat = -\diffd q^i
\\ \frac{\partial}{\partial q^i} = (\diffd p^i)^\sharp - \frac{\partial}{\partial p^i} = ( \diffd q^i )^\sharp
$$
Wenn $M$ symplektisch ist, $H \in C^\infty(M)$
$\Rightarrow \diffd H\in \Omega^1(M) \Rightarrow (\diffd H)^\sharp \in \Gamma(TM)$
$M= T^*\mathbb R^n : \diffd H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} + \diffd q^i + \frac{\partial H}{\partial p^i} \diffd p^i \right)$
$$
(\diffd H)^\sharp &=& \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i} - \frac{\partial H}{\partial q^i} \frac{\partial}{\partial p^i} \right)
$$
$\rightsquigarrow$ Hamilton-Vektorfeld zu $H$
Flussgleichung:
$$
\dot q^i &=& \frac{\partial H}{p^i}
\\ \dot p^i &=& -\frac{\partial H}{\partial q^i}
$$
$\rightsquigarrow$ Hamilton-Gleichung der Mechanik
Zurück zur Vorlesung
** Satz
Sei $f$, $g \colon M \to N$ glatt, homotop. Dann gilt:
$$
f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M) \quad (k\in \mathbb N)
$$
** Korrolar
%TODO homotopräg ??
$\underset{\text{homotopräg.} }{ M\simeq N } \Rightarrow H^k(N) \cong H^k(M)$ $(k\in \mathbb N)$
** Korrolar
$M\simeq * \Rightarrow H^k(M) \cong \begin{cases} 0, & k>0\\ \mathbb R, & k=0 \end{cases}$
(diese Aussage heißt auch Poincaré-Lemma: Jede geschlossene $k$-Form ($k \geqslant 1$) auf einen zusammenziehbaren Raum ist exact)
Beweis:
Sei $H \colon M\times [0,1]\to N$ die Homotopie zwischen $f$, $g$. Sei $h_t(m):= H(m,t)$, ($h_t\colon M\to N$), $t\in [0,1]$, $f=h_0$, $g=h_1$
Betrachte jetzt:
$$
h^*_t \colon H^k(N) \to H^k(M)
$$
Wir wollen zeigen $h^*_t$ ist unabhängig von $t\in [0,1]$.
Dazu: Sei $\omega \in Z^k(N)$ (also $\omega\in \Omega^k(N)$, $\diffd \omega = 0$)
Betrachte
$$
\Omega^k(M\times [0,1]) \ni H^* \omega = \omega_o(t) + \diffd t \wedge \omega_1(t)
$$
mit $\omega_0(t)\in\Omega^k(M)$, $\omega_1(t)\in \Omega^{k-1}(M)$, $t\in[0,1]$
$$
\Omega^k(M) \ni h^*_t \omega = i_t^*\circ H^*\omega = \omega_0 (t)
$$
($i_t\colon M\cong M\times\{t\}\hookrightarrow M\times [0,1]$)
Nun: $\diffd \omega = 0 \Rightarrow \diffd H^*\omega = H^*(\diffd \omega) = 0$
$$
0 = \diffd(H^* \omega)
$$
%Pause
Frage: Was ist $H^k(S^2)$?
%TODO Bilchen B2
brauchen ein Verfahren, wie man aus der Kohomologie von $U$, $V$, $U\cap V$ die Kohomologie von $U\cap V$ ausrechnet
Hier beginnt \emph{homologische Algebra}
** homologische Algebra
Wir haben bislang zu jeder Mannigfaltigkeit $M$ folgende Sequenz von Vektoräumen konstruiert:
$$
\begin{tikzcd}
\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots
\end{tikzcd}
$$
mit $\diffd \circ \diffd (= \diffd^{n+1}\circ \diffd^n) = 0$. Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert
$$
\begin{tikzcd}
\Omega^0(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^1(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \Omega^2(N) \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "f^*"] & \ldots \\
\Omega^0(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^1(M) \arrow[r, "\diffd"] & \Omega^2(M) \arrow[r, "\diffd"] & \ldots
\end{tikzcd}
$$
so dass die Diagramme kommutieren.
$$
H^k = \operatorname{ker} \diffd^n / \operatorname{Im} \diffd^{n-1} \rightarrow \text{Kohomologie}
$$
** Definition
Ein Kokettenkomplex $(C^n, \diffd^n)_{n\in \mathbb N, (n\in \mathbb Z)} = (C^*, \diffd)$ ist eine Sequenz von Vektorräumen $C^n$ zusammen mit Homoomorphismen
$$
\diffd^{n+1}\circ \diffd^n = 0
$$
erfüllen. ($\Leftrightarrow \diffd \colon \bigoplus_n C^n \to \bigoplus_n C^n$ hat Grad $1$ und erfüllt $\diffd^2 = 0$)
$d^n$'s heißen Differntiale von $C^*$
$$
H^k(C^*, \diffd) := \operatorname{ker}\diffd^{k+1} / \operatorname{Im} \diffd^k
$$
heißt $k$-te Kohomologiegruppe von $C^*$.
** Beispiel
$(\Omega^*(M), \diffd)$ ist ein Kokettenkomplex
** Defition
Eine (Ko-)Kettenabbildung ($=$ Homomorphismus von Kettenkomplexen)
$f^* \colon (C^*, \diffd) \to (D^*, \diffd)$ ist eine Sequenz
$f^n \colon C^n \to D^n$ von Homomorphismen mit
$$
f^n \circ \diffd^{n-1} = \diffd^n\circ f^n, \quad b\in\begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix}
$$
** Beispiel
Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine Kettenabbildung $f^*\colon \Omega^*(N) \to \Omega^*(M)$
** Definition
Ein Kokettenkomplex $(C^*, \diffd)_{k\in \begin{matrix} \mathbb N \\ \mathbb Z \end{matrix}}$ heißt exakt (exakte Sequenz) wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$, $k\in \mathbb Z$
$$
(C^*, \diffd) \text{ exakt } \Leftrightarrow \operatorname{ker} \diffd^{n+1} = \operatorname{Im}\diffd ^n
$$
** Beispiel
Eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen / abelscheen Gruppen ist ein exakter Kokettenkomplex ($=$ exakt Sequenz)
\begin{tikzcd}
\ldots \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \big)\ 0 \arrow[r] & C^0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r] & C^2 \arrow[r] & 0\ \big( \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r, "0"] & C^0 \arrow[r, "\diffd^0"] \arrow[r, "i"'] & C^1 \arrow[r, "\diffd^1"] \arrow[r, "q"'] & C^2 \arrow[r, "0"] & 0
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & U \arrow[r] & V \arrow[r] & V/U \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
- 0: $\operatorname{ker} i = \operatorname{ker} \diffd^0 = \operatorname{Im} 0 = 0 \Leftrightarrow i$ injektiv
- 1: $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$
- 2: $C^2 = \ker \diffd^2 = \ker 0= \operatorname{Im} \diffd^1 = \operatorname{Im} q \Leftrightarrow q \text{ surjektiv }$
Das heißt: $C^0 \cong i(C^0) \subseteq C^1$, $C^2 \cong C^1/i(C^0)$
** Beispiel
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & C^1 \arrow[r] & C^2 \arrow[r] & 0 \arrow[r] & \ldots
\end{tikzcd}
exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus
** Bemerkung
$H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist.
......@@ -390,6 +390,7 @@ $endif$
\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\begin{document}
......
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