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Notation: $u^i:\mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x: U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
Notation: $u^i\colon \mb R^n\to\mb R$ ist die Projektion auf die $i$-te Koordinate, $e_i\in\mb R^n$ der $i$-te Standardbasisvektor. Ist $(U,x)$ eine Karte von $M$, so ist $x^i:=u^i\circ x\colon U\to\mb R$ die $i$-te Koordinate bzgl. $(U,x)$. Sei $M$ eine MF mit Dimension $n$.
\begin{defn}
Eine Fuktion $f:M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}: x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
Eine Fuktion $f\colon M\to\mb R$ heisst glatt, wenn $f\circ x^{-1}\colon x(U)\to\mb R$ fuer jede Karte $(U,x)$ glatt ist.
\end{defn}
\begin{rem}
Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb :M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
Wegen der Glattheit des Kartenwechsels, reicht es aus die Glattheit fuer eine $M$ ueberdeckende Familie zu zeigen. $C^\infty:=\lb f \colon M\to\mb R ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$ ist eine $\mb R$-Algebra bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.
\end{rem}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f:M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$ von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}:x(U)\to y(V)$ glatt ist.
Seien $M,N$ MF mit Dimension $n,m$ und $f\colon M\to N$ eine Abbildung. $f$ heisst glatt, wenn fuer jede Karte $(U,x)$ von $M$ und jeder Karte $(V,y)$ von $N$ die Abbildung $y\circ f\circ x^{-1}\colon x(U)\to y(V)$ glatt ist.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f:A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}:W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f:A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$.
Seien $M,N$ wie oben, $A\subset M$. Eine Abbildung $f\colon A\to N$ ist fortsetzbar, wenn $\exists W\supset A$, $\bar{f}\colon W\to N$ glatt, s.d. $\left.\bar{f}\right\vert_{A}=f$. $C^\infty(A,N)=\lb f\colon A\to N ~\vert~ f~\rm{glatt} \rb$.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF. $f:M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f:M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$.
Seien $M,N$ MF. $f\colon M\to N$ heisst Diffeomorphismus (DM), wenn $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ glatt sind. ${\rm Diff}(M):= \lb f\colon M\to N ~\vert~ f {\rm DM} \rb$ ist die Diffemomorphismengruppe von $M$.
\end{defn}
\begin{rem}
Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x:U\to x(U)$ DM.
Nach obiger Definition sind Kartenabbildungen $x\colon U\to x(U)$ DM.
\end{rem}
Wir wollen nun den Tangentialraum $T_pM$ fuer $p\in M$ definieren. Eine hilfreiche Einbettung $M\hookrightarrow\mb R^n$ haben wir diesmal nicht.
\begin{defn}
Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f:U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
Sei $p\in M,~ p\in U$ offen und eine Umgebung $V\subset U$ von $p$ gegeben. $C^\infty_{0, p}(U) :=\lb f\colon U\to\mb R ~\vert~ \left.f\right\vert_V=0, f~{\rm glatt} \rb$
\end{defn}
\begin{rem}
Wir beobachten $C^\infty_{0, p} \trianglelefteq C^\infty(U)$ ist Ideal. Aus $f\in C^\infty_{0, p},~ g\in C^\infty(U)$ folgt $fg\in C^\infty_{0, p}$.
......@@ -49,7 +49,7 @@ Ein Funktionenkeim an $p$ ist somit die Aequivalenzklasse glatter Funktionen in
% hier stand eine erinnerung an TV im Rn
\begin{defn}
Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v:C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v\colon C^\infty_p \to\mb R$, die linear ist und die Leibnizregel $v(fg)=v(f)g(p) + f(p)v(g)$ erfuellt. $T_pM:=\lb v ~\vert~ v~{\rm TV~an}~p \rb$ ist ein VR, der Tangentialraum zu $p$ an $M$ heisst.
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
......@@ -70,7 +70,7 @@ Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dan
\end{lem}
\begin{proof}
Sei $p\in V$, $C:[0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C: [0,1]\to\mb R$ glatt.
Sei $p\in V$, $C\colon [0,1]\to V, t\mapsto tp$ die gerade Strecke von 0 nach $p$. $\varphi:= f\circ C\colon [0,1]\to\mb R$ glatt.
\begin{eqnarray}
\varphi(1)-\varphi(0) &=& \int_0^1 \varphi'(t) {\rm d}t \\
&=& \sum_{i=1}^{n} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u^i}(tp)p_i {\rm d}t \\
......@@ -109,11 +109,11 @@ Damit ist die Basiswechselmatrix von $\lb\frac{\partial}{\partial x^i}\rb_{i=1}^
Das liefert folgende Alternativdefinition des Tangentialraumes $T_pM := \lb [(U,x), \xi] ~\vert~ \xi\in\mb R^n, (U,x)~{\rm Karte~um~}p, \lt (U,x),\xi\rt\sim\lt (V,y), \eta\rt:\iff D_{y(p)}\lt x\circ y\rt^{-1}\xi=\eta \rb$
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast:C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto \varphi\circ f$.
Seien $M,N$ MF und $f\colon M\to N$ glatt. Dann definiert man die Pullbackabildung $f^\ast\colon C^\infty(N)\to C^\infty(N),~ \varphi\mapsto \varphi\circ f$.
\end{defn}
\begin{defn}
Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
Seien $M,N$ MF und $f\colon M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\in M$ ist die lineare Abbildung
\[
D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
\]
......@@ -134,7 +134,7 @@ Nach wie vor gilt die Kettenregel aus der Analysis: $D_p(g\circ f) = D_{f(p)}g\c
\end{rem}
\begin{defn}
Sei $M$ eine MF und $f:M\to\mb R,~p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R, ~v\mapsto v(f)$.
Sei $M$ eine MF und $f\colon M\to\mb R$, $p\in M$. Das Differential von $f$ an $p$ ist ${\rm d}f(p):T_pM\to\mb R$, $v\mapsto v(f)$.
\end{defn}
Man sieht, dass ${\rm d}f(p)$ linear ist, also Element vom Kotangentialraum $\lt T_pM\rt^\ast=: T^\ast_pM$.
......
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