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2019-12-03

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......@@ -878,7 +878,225 @@ Sei $(U,x)$ Karte von $M$, $p\in U \Rightarrow x(U) = \R^n$, $x\colon U\xrightar
- $\Rightarrow x^* \colon C^\infty(\R^n) \xrightarrow{\cong} C^\infty(U)$ (siehe oben)
- $T_pU\cong T_{x(p)}\R^n(\cong \R^n)$, $\partial \mapsto \partial \circ x^*$
TODO 2019-11-07
%2019-11-07
* Tangentialraum zu einer Mannigfaltigkeit
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $C^\infty(M) = \{f\colon M\to \R, f\text{ glatt }\}$, $p\in M$.
$$
T_p M := \{\partial \colon C^\infty(M)\to \R\ |\ \partial \text{ Derivation an } p, \text{ (d.h. } \partial \text{ linear und } \partial(fg) = f(p) \partial(g) + \partial(f)g(p) \text{)} \}
$$
%TODO Bildchen 13
Wir haben lokale Karte an $p$:
$$
\exists U\ni p \text{ offen}, x\colon U\to \R^n \text{ Diffeomorphismus}
$$
letztes Mal: $\Rightarrow x^*\colon C^\infty(\R^n) \xrightarrow{\cong} C^\infty(U)$ Isomophismus.
$$
\Rightarrow (x^*)^* \colon T_p U \xrightarrow{\cong} T_{x(p)}\R^n : \partial \mapsto \partial \circ x^*
$$
Fazit:
$$
T_pU \cong T_{x(p)} \R^n \cong \R^n
$$
mit Basis:
$$
\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{p}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}|_p
$$
(„Notationsmissbrauch“)
„schiebt $p$ nach $\R^n$ und leitet es dort ab, formal ${\left(\left(x^*\right)^*\right)^{-1} \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x(p)}$
** Proposition
Die Inklusionsabbildung $i\colon U\hookrightarrow M$ induziert einen Isomophismus $\left(i^*\right)^* \colon T_p U \to T_p M$
$$
i^*\colon C^\infty(M) \to C^\infty(U)
$$
ist die Pullbackabbildung, aber eigentlich nur die Restriktionsabbildung
$$
\left( i^* \right)^*(\partial) = \partial\circ i^*
$$
Beweis:
Haben wir schon für $M=\R^n$ gemacht, der Beweis bleibt der gleiche (18.10 und 24.10)
$\left(i^*\right)^*$ injektiv:
$$
\partial \circ i^* = 0 \Leftrightarrow \partial(f)=0
$$
für alle Funktionen $f\in C^\infty(U)$, die Einschränkungen von Funktionen auf $M$ sind.
Da $\partial = \sum_{i=1}^n\alpha_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p$, reicht es zu zeigen, dass $\alpha_i = 0$, $i=1,\ldots,n$. Seien $\tilde x_i\in C^\infty(U)$ mit folgenden Eigenschaften:
1. $\tilde x_i = x_i$ in einer Umgebung von $p$
2. $\operatorname{supp} \tilde x_i$ ist kompakt
(das geht, da $U$ diffeomorph zu $\R^n$ und dort weiß man, dass (und wie) das geht $\curvearrowright$ benutze Abschneidefunktionen)
Es gilt: $\partial(\tilde x_i)= \alpha_i$ und $\tilde x_i$ sind offensichtlich auf $M$ glatt (durch $0$) fortsetzbar.
$\left(i^*\right)^*$ surjektiv: Sei $\tilde\partial\in T_pM$. Wir suchen $\partial\in T_pM$ mit $\hat \partial = \partial \circ i^*$. Wir suchen also die $\alpha_i\in \R$, sodass
$$
\hat \partial = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p
$$
Sei $\alpha_i := \hat \partial (\tilde x_i)$, $i=1,\ldots,n$. Wir wollen zeigen, dass
$$
\hat \partial(f) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial f}{x_i}\right|_p, \quad f\in ^C\infty(M)
$$
Trick: Benutze wieder die Abschneidefunktion $\tilde\varrho\colon U\to [{0,1}]$ mit $\varrho-1$ in einer Umgebung von $p$, $\operatorname{supp} \varrho$ kompakt und sodass $\hat \partial(\tilde \varrho) = 0$ [siehe Beweis für $M=\mathbb R^n$ ]
$$
\Rightarrow \hat \partial(f) = \hat \partial( \tilde\varrho f)
$$
[wegen Leibnitzregel]
$$
\operatorname{supp} \tilde \varrho f \subseteq U
$$
und
$$
C^\infty(U)\cong C^\infty(\R^n)
$$
insbesondere ist $\tilde \varrho f$ darstellbar als $f(p) + \sum_{i=1}^n x_i f_i(x)$
$$
\Rightarrow \hat \partial(f) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_p
$$
(wie in vorigen Beweis)
** Korollar
- $\operatorname{dim}M = n\Rightarrow T_pM \cong \R^n$, $p\in M$
- $(U,x)$ Karte um $p\in U \Rightarrow \left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_p, \ldots,\left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_p$ ist Basis von $T_pM$
* Differential einer Abbildung
** Definition
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ glatt. Sei $p\in M$. Das \emph{Differential} von $f$ an $p$ ist die lineare Abbildung.
$$
D_pf = \left( f_* \right)_p \colon \begin{cases} T_pM &\to T_{f(p)}N \\ v &\mapsto v\circ f^* \\ (C^\infty(M)\to\R) &\to (C^\infty(N)\xrightarrow{f^*} C^\infty(M) \xrightarrow{\nu} \R) \end{cases}
$$
Wohldefiniertheit:
$$
\nu\circ f^* \in T_{f(p)} N
$$
denn:
$$
(\nu\circ f^*)(\varphi\cdot \psi) &=& \nu(f^*(\varphi\cdot\psi))
\\&=& \nu(f^*(\varphi)\cdot f^*(\psi))
\\&=& (f^*(\varphi))(p)\cdot \nu (f^*(\psi)) + (f^*(\psi))(p)\cdot \nu (f^*(\varphi))
\\&=& \varphi(f(p))\cdot (\nu\circ f^*)(\psi) + \psi(f(p))\cdot(\nu\circ f^*)(\varphi)
$$
** Definition: Differential
Sei $\varphi\in C^\infty(M)$, $p\in M$. Das \emph{Differential} von $\varphi$ an $p$ ist eine lineare Abbildung
$$
\intd \varphi(p) \in \left( T_pM \right)^* =: T_p^*M
$$
** Definition: Kotangentialraum
$$
T_p^*M := \left( T_pM \right)^*
$$
heißt \emph{Kotangentialraum}. Wenn $(U, x)$ eine Karte um $p$ ist, folgt auch
$$
T_p^*U \cong T_p^*M
$$
Links: Beweis: $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n \rightarrow$ ist die duale Basis zu $\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{p}, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x_n}\right|_{p}$, denn
$$
\diffd x_i(p) \left( \left.\frac{\partial}{\partial x_j}\right|_p \right) = \left.\frac{\partial x_i}{\partial x_j}\right|_p = \delta_{ij}
$$
$$
\diffd\varphi(p) = \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}\right|_p
$$
weil die Koordinaten des Vektors $\diffd \varphi(p)$ in der Basis $\diffd x_1,\ldots, \diffd x_n$ genau durch Anwenden der dualen Basisvektoren $\left( \frac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right)$ entstehen.
* Tangentialbündel
$$
TM := \dot\bigcup_{p\in M} T_pM
$$
$$
\pi \colon TM \to M,\quad v\in T_pM \Leftrightarrow \pi(v) = p
$$
** Proposition
$TM$ trägt eine glatte Struktur, die durch die glatte Struktur von $M$ induziert ist; mit dieser ist $TM$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $2n$.
Beweis:
Sei $U,x$ eine Karte von $M$. Definiere $\tilde U := \pi^{-1}(U) = \dot\bigcup_{p\in U} T_pM$
%TODO prettify
$$
\begin{cases}
\tilde U &\to \R^{2n} = \R^n\times \R^n
\\ v&\mapsto (\underbrace{x(\pi(v))}_{\in\R^n}, [\diffd x_1(\pi(v))](v),\ldots, [\diffd x_n(\pi(v))] )
\end{cases}
$$
Definiere eine Topologie auf $TM$ durch Forderung, dass alle $\tilde x$'s Homöomorphismen sind.Wir müssen nur überprüfen, dass
$$
\{ (\tilde U, \tilde x)\ |\ (U,x)\in\mathcal A \}
$$
einen Atlas bilden.
Seien $(\tilde U, \tilde x)$, $(\tilde V, \tilde y)$ zwei solche Karten so dass
$$
\tilde U \cap \tilde V \neq \emptyset \Rightarrow U\cap V \neq \emptyset
$$
Wenn $(a,b)\in \R^n\times \R^n$, so gilt
$$
(\tilde y\circ \tilde x^{-1})(a,b) = ((y\circ x^{-1})(a), D_a(y\circ x^{-1})(b))\quad \to\quad \text{glatt}
$$
** Bemerkung
Analog ist $T^*M = \bigcup_{p\in M} T^*_p M$ eine $2$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
TODO 2019-11-08
%2019-11-14
......
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