Commit 6097c321 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-11-22

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......@@ -1715,7 +1715,184 @@ Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit glatten Abbildungen $
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ eine abgeschlossene (bzgl Topologie auf $G$) Untergruppe. $\Rightarrow H$ ist eine Untermannigfaltigkeit (und somit automatisch eine Lie-(Unter)gruppe)
TODO 2019-11-22
%2019-11-22
** Frage
#+BEGIN_QUOTE
Warum ist $\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend?
#+END_QUOTE
** Erinnerung
$G\overset{\alpha}\curvearrowright X$ Gruppenwirkung $\Leftrightarrow G \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Sym}(X)$ Homomorpismus
** Definition
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine \emph{(glatte) Wirkung} $G\overset{\alpha}\curvearrowright M$ ist ein Homomorpismus $\alpha\colon G \to \operatorname{Diff}(M)$
** Idee: „Erlangen-Programm“ 1872, Felix Klein
Studiere Mannigfaltigkeit durch ihre Symetriegruppen $(S^n,d)\subseteq (\R^{n+1}, d_{\text{euklidische}})$ mit der „runden Metrik“ (euklidische Metrik)
** Fakt
$$
\underbrace{\operatorname{S^n, d}}_{\text{Isometrien}} \cong \underbrace{O}_{\text{othogonale Matrizen}}(n+1)
$$
(insbesondere: $O(n+1)\curvearrowright S^n$ wirkt transitiv)
$G\curvearrowright X$ transitiv
$$
x\in X&\colon& \begin{cases} G&\to X\\g&\mapsto g x\end{cases}
\\H&=&\{ g\in G\ |\ g x = x \} =: \operatorname{Stab}(x)
$$
$$
H&\trianglelefteq& G
\\G&\curvearrowright& G / H
\\&\alpha_g(kH) = gkH&
$$
** Satz: Hauptsatz über Wirkungen
jede transitive Wirkung $(G\curvearrowright X)$ ist isomorph zu einer Wirkung $(G\curvearrowright G / H)$ für eine Untergruppe $H$. Der Isomophismus geht so: Wähle: „Anfangspunkt“ $x\in X$, $H:= \operatorname{Stab}(x)$. Der Isomophismus ist:
$$
gH \mapsto gx
$$
$O(n+1) \curvearrowright S^n$ transitiv,
$$
\operatorname{Stab}((1,0,\ldots,0)^t) = \left[ \begin{matrix} 1 & \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0\\\vdots\\0 \end{matrix} & O(n) \end{matrix} \right] \cong O(n)
$$
$\Rightarrow$
$$
S^n \overset{\text{als Menge}}\cong O(n+1)/O(n)
$$
Alternativ: $S^n \cong \operatorname{SO}(n+1) / \operatorname{SO}(n)$ (gleiches Argument, wähle positiv orientierte Basis)
Beobachtung: $S^n \overset{\text{des topologischen Raums}}\cong \operatorname{SO(n+1)}/\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend.
** Frage
Sei $G$ Lie-Gruppe, $H \trianglelefteq G$ Lie-Untergruppe. Wie macht man $G/H$ zu einer Mannigfaltigkeit?
1. Topologie: Quotiententopologie: haben $q\colon G\twoheadrightarrow G/H$. Definiere
$$
\tau := \{ U\subseteq G/H\ |\ q^{-1}(U) \text{ offen } \}
$$
2. glatte Struktur: kommt später
** Erinnerung
zusammenhängend $=$ nicht zerlegbar in zwei (disjunkte) nicht leere offene Teilmengen
** Lemma
Sei $G$ Lie-Gruppe, $H\trianglelefteq G$ abgeschlossene Untergruppe. Sind $H$, $G/H$ zusammenhängend, so ist auch $G$ zusammenhängend.
Beweis:
Angenommen: $G=A\sqcup B$, $A$, $B$ offen, nicht leer oBdA sei $1\in A$. Jede Nebenklasse $gH$ ist zusammenhängend (wie $H$), $gH =(gH \cap A)\sqcup(gH\cap B) \Rightarrow$ eins davon ist leer. $\Rightarrow$ jede Nebenklasse von $H$ liegt vollständig in $A$ oder vollständig in $B$.
Nun gilt $G \overset{\text{als Menge}}= \bigsqcup_{[g]\in G/H}gH$
$\Rightarrow q(A)\sqcup q(B) = G/H$ ist disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen, weil
$$
q^{-1}(q(A)) = A, \quad q^{-1}(q(B)) = B \quad \Rightarrow f' \text{ zu } G/H \text{ zusammenhängend}
$$
** Behauptung
$\operatorname{SO}(n)$ zusammenhängend $\forall n\geqslant 1$
Beweis:
Induktion:
- $n=1$: $\operatorname{SO}(1) = \{ 1 \} \quad \checkmark$
- $n\neq 1$: $\operatorname{SO(n+1)}/\operatorname{SO}(n) \cong S^k$ zusammenhängend $\Rightarrow \Rightarrow \operatorname{SO}(n+1)$ zusammenhängend.
* Linksinvariante Vektorfelder auf Lie-Gruppen
** Lemma
Sei $G$ eine Lie-Gruppe. Das Tangentialbündel von $G$ ist trivial: $TG \cong G\times T_1G$.
Beweis:
Für jedes $g\in G$ ist die \emph{Lie-Linksverschiebung}
$$
L_g\colon \begin{cases} G&\to G\\h&\mapsto gh \end{cases}
$$
ein Diffeomorphismus.
Wenn $\xi \in T_1G \Rightarrow X_{\xi}\in \Gamma(TG)$ heißt das Linksinvariante Vektorfeld zu $\xi$. Sie nun $\psi \colon G \times T_1 G \to TG$, $(g,\xi)\mapsto (L_g)_*(\xi) = X_{\xi}(g)$
** Behauptung
$\psi$ ist Diffeomorphismus
Beweis:
Die Abbildung
$$
\varphi \colon \begin{cases} TG &\to G \times T_1 G \\ v & \mapsto (\pi(v), (L_{\pi(v)^{-1}})_* v) \end{cases}
$$
ist $\psi^{-1}$.
** Definition
Das Vektorfeld $X_\xi$, $g\mapsto (L_g)_*(\xi)$ heißt das \emph{linksinvariante Vektorfeld} zu $\xi\in T_1G$.
** Definition
Ein Vektorfeld $X\in \Gamma(TG)$ heißt \emph{linksinvariant}, wenn
$$
\forall h\in G: (L_h)_{*}X = X, \quad \text{ d.h. } \quad (L_h)_{*} X(g) = X(L_h g) = X(hg)
$$
** Lemma
$X_\xi$ ist linksinvariant
Beweis:
$$
(L_h)_* X_{\xi}(g) = (L_h)_* (L_g)_* \xi =(L_{hg})_* \xi = X_{xi}(hg)
$$
** Lemma
Jedes linksinvariante Vektorfeld $X\in \Gamma(TG)$ ist von der Form $X_\xi$ für ein eindeutig bestimmtes $\xi\in T_1G$.
Genauer: Die Ausertungsabbildung $ev_1\colon \{ \text{ linksinvariantes Vektorfeld } \} \to T_1 G$ ist ein Isomophismus von Vektorräumen.
Beweis:
Die Abbildung $\xi \mapsto X_\xi$ ist invers zu $ev_1$:
- injektiv: weil $X_\xi (1) = \xi$
- surjektiv: wenn $X$ linksinvariant ist, gilt $X(g) = (L_g)_*X(1) \Rightarrow X = X_{X(1)}$
** Beispiel
- $(\R^n, +)$: linksinvariant $\mathrel{\hat=}$ konstant
TODO Bildchen 25
- $(\R^{\times}_+, \cdot)$: $(L_{\alpha})_* = a$
TODO Bildchen 26
- $(U(1), \cdot) \cong (S^1, \cdot)\subset (\mathbb C^{\times}, \cdot)$
TODO Bildchen 27
- $(\mathbb C^{\times}, \cdot)$: $(L_z)_* = z$
TODO Bildchen 28
TODO 2019-11-28
TODO 2019-11-29
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