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2019-11-01

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......@@ -715,6 +715,172 @@ Beispiel:
Der euklidische Topologische Raum $(\R^n, \tau)$ hat $\{ \underbrace{B(x,r)}_{= B_r(x)}\ |\ x\in \mathbb Q^n, r\in \mathbb Q_{>0} \}$ als Basis. $(\R^n,\tau)$ ist also zweitabzählbar.
%2019-11-01
* Definition: Topologische Mannigfaltigkeit
Eine \emph{topologische Mannigfaltigkeit} von Dimension $n\in\mathbb N$ ist ein zweitabzählbarer Hausdorff-Raum $M$ mit der Eigenschaft, dass jedes $p\in M$ eine offene Umgebung $U\subseteq M$ hat, die homöomorph zu $\R^n$ ist (das heißt $\exists x\colon U\to \R^n$ stetig, bijektiv, $x^{-1}\colon \R^n\to U$ auch stetig)
** Bemerkung
Da $\R^n \overset{\text{homöomorph}}\cong B_1(0)\subseteq \R^n$ könnte man $B_1(0)$ oder eine beliebige offenen Teilmenge von $\R^n$ statt $\R^n$ verwenden. Dies führt auf eine äquivalente Definition.
* Definition: differenzierbarer Atlas
Sei $M$ topologische Mannigfaltigkeit von Dimension $n$. Ein \emph{differenzierbarer Atlas} $\mathcal A$ auf $M$ ist eine Familie
$$
\mathcal A = \{ (U,x)\ |\ U\subseteq M \text{offen}, x\colon U\xrightarrow{\cong} \R^n \text{ Homömorphismus} \}
$$
mit den folgenden Eigenschaften:
1. die $U$’s überdecken $M$: $M = \bigcup_{(U,x)\in \mathcal A} U$
2. $(U,x)$, $(V,y)\in \mathcal A$, $U\cap V\neq \emptyset\Rightarrow y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V) \to y(U\cap V)$ ist glatt
Die Elemente eines Atlas’ heißen \emph{Karten}
* Definition: äquivalente Atlanten
Zwei Atlanten $\mathcal A$, $\mathcal A'$ heißen \emph{äquivalent / kompatibel}, wenn $\mathcal A\cup \mathcal A'$ ein Atlas ist. Das heißt:
$$
\forall (U,x)\in \mathcal A, (V,y')\in \mathcal A, U\cap V \neq \emptyset: y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V)\to y(U\cap V) \text{ ist glatt}
$$
* Definition: glatte Mannigfaltigkeit
Eine \emph{glatte} ($=$ differenzierbar) \emph{Mannigfaltigkeit} $M$ ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Äquivalenzklasee von Atlanten, die sogenannte „glatte Struktur“
%TODO Welche Äquivalenzklasee
** Beispiel
$\R$ ist $1$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Die Atlanten
$$
\mathcal A &:=& \{ (\R, \id\colon\R\to\R) \}
\\\mathcal A &:=& \{ (\R, \sqrt[3]{\cdot} \colon\R\to\R) \}
$$
sind nicht äquivalent.
* Vereinbarung
Sei von nun an eine Mannigfaltigkeit immer glatt.
** Beispiel
1. $\R^n\colon \mathcal A = \{ (\R^n, \id) \}$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
2. $M$ Mannigfaltigkeit, $U\subseteq M$ offen $\Rightarrow U$ ist Mannigfaltigkeit (Schneide alle Kartenumgebungen mit $U$)
3. Sei $V$ ein $\R$-Vektorraum, $\dim V = n\Rightarrow V$ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit (Die Wahl einer Basis definiert Karte $V\to \R^n$, je zwei solche Karten sind kompatibel, weil die Vergleichsabbildung durch Multiplizieren mit der Basiswechselmatrix gegeben ist)
4. $S^n = \{ x\in \R^{n+1} | \lVert x \rVert_2 = 1 \} \subseteq \R^{n+1}$. Sei $V_i^\pm=\{ x\in S^n \pm x_i > 0\}\subseteq S^n$ offen $\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1}\left( V_i^+ \cup V_i^- \right) = S^n$,
$$
pi_i\colon \begin{cases} V_i^{\pm} &\to B_1(0)\subseteq \R^n \\ (x_1,\ldots, x_{n+1}) &\mapsto (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1}) \end{cases}
$$
ist Homöomorphismus mit Umkehrabbildung
$$
&&(x_1,\ldots, x_{i-1}, x_{i+1},\ldots, x_{n+1})\\&\mapsto& \left( x_1,\ldots x_{i-1}, \pm \sqrt{1-\sum_{i\neq i} x_i^2}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1} \right)
$$
Was ist $\pi_i \circ \pi_j^{-1}$ (wo es definiert ist)?:
$$
&&(x_1,\ldots, x_{j-1}, x_{j+1},\ldots, x_{n+1})\\&\mapsto& \left( x_1,\ldots x_{i-1}, x_{i+1},\ldots, x_{j-1} \pm \sqrt{1-\sum_{k\neq i} x_k^2}, x_{j+1}, \ldots, x_{n+1} \right)
$$
5. Es ist offen:
$$
\operatorname{GL}_n (\R) = \{ A\in \operatorname{Mat}_n(\R) \ |\ \det (A) \neq 0 \} \subseteq \R^{n^2}
$$
und eine Mannigfaltigkeit von Dimension $n^2$
6. $(M,\mathcal A_M), (N, \mathcal A_N)$ Mannigfaltigkeit $\Rightarrow (M\times N, \mathcal A_M \times \mathcal A_N)$ Mannigfaltigkeit
* Glatte Abbildungen
** Definition
Seien $M$, $N$ zwei Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung $f\colon M\to N$ heißt \emph{glatt}, wenn für jedes Paar vin Karten $(U, x)$ und $(V,x)$ auf $M$ bzw. $N$ gilt: $y\circ f\circ x^{-1}$ ist glatt (wo definiert)
\begin{center}
\begin{tikzcd}
U\supseteq M \arrow[r, "f"] \arrow[d, "x"'] & N\subseteq V \arrow[d, "y"] \\
\mathbb R^n \arrow[r, "y\circ f\circ x^{-1}"] & \mathbb R^m
\end{tikzcd}
\end{center}
das heißt eine Abbildung ist glatt, wenn sie glatt in lokalen Koordinaten ist
** Übung
$M\xrightarrow{f}N$, $N\xrightarrow{g}P$, glatt $\Rightarrow g\circ f$ glatt
Notation:
$$
C^\infty(M,N):= \{ f\colon M\to N \text{glatt} \}, \quad C^\infty := C^\infty (M, \R)
$$
** Übung
$C^\infty$ ist eine $\R$-Algebra, das heißt Summen, Vielfache glatter Abbildungen sind glatt.
** Definition
Eine glatte Abbildung $f\colon M\to N$ heißt \emph{Diffeomorphismus}, wenn $\exists g\colon N\to M$ glatt:
$$
g\circ f = \id_M, \quad f\circ g = \id_N
$$
Wenn ein Diffeomorphismus $f\colon M\to N$ existiert, so heißen $M$, $N$ \emph{diffeomorph}, in Zeichen
$$
M\cong N,\quad M\xrightarrow[f]{\cong} N
$$
** Beispiel
1. $B_1(0)\cong \R^n$, $x\mapsto \tan\left( \frac{\pi}2 \lVert x \rVert \right)\cdot x$
2. $(\R, \mathcal A_1 = \{ (\R,\id) \}) \cong (\R, \mathcal A_2 = \{ (\R, \sqrt[3]{\cdot}) \})$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mathbb R \arrow[rr, "f=(x\mapsto x^3)"] \arrow[d, "\id"'] & & \R \arrow[d, "{\sqrt[3]{\cdot}}"] \\
\R \arrow[rr, "\id"] & & \R
\end{tikzcd}
\end{center}
3. Zwei Atlanten $\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ auf $M$ sind äquivalent, wenn
$$
\id\colon (M, \mathcal A_1) \to (M, \mathcal A_2)
$$
ein Diffeomorphismus ist und Umgekehrt. (Übung)
* Definition: Pullbackabbildung
$f\colon M\to N$ glatt $\Rightarrow f^*\colon C^\infty(N)\to C^\infty(M), \varphi\mapsto \varphi\circ f$ heißt \emph{Pullback-} (Zurückzieh-) \emph{Abbildung} (ist ein Algebrenhomorphismus)
** Beobachtung
$$
(g\circ f)^* = f^* \circ g^*, \quad \id^* = \id, \quad M \xrightarrow{f}N \xrightarrow{g}P \xrightarrow{\varphi}\R
$$
$\Rightarrow f$ Diffeomorphismus $\Rightarrow f^*$ ist Isomophismus
* Tangentialraum
** Definition
Sei $p\in M$. Der \emph{Tangentialraum} von $M$ an $p$ ist definiert als der Raum der Derivationen von $C^\infty(M)$ an $p$
$$
T_pM := \{ \partial \colon C^\infty(M) \to \R \ |\ \partial \text{ linear } , \partial (fg) = f_p\partial(g) + g_p\partial(f)\}
$$
Sei $(U,x)$ Karte von $M$, $p\in U \Rightarrow x(U) = \R^n$, $x\colon U\xrightarrow{\cong} \R^n$ Diffeomorphismus
(Übung)
- $\Rightarrow x^* \colon C^\infty(\R^n) \xrightarrow{\cong} C^\infty(U)$ (siehe oben)
- $T_pU\cong T_{x(p)}\R^n(\cong \R^n)$, $\partial \mapsto \partial \circ x^*$
TODO 2019-11-07
TODO 2019-11-08
%2019-11-14
* Untermannigfaltigkeiten
......@@ -976,3 +1142,6 @@ Dieses Vektorfeld hat nach Konstruktion $\Phi$ als zugehörigen maximalen Fluss:
*** Proposition
Es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Einparametergruppen von Diffeomorphismen von $M$ und vollständigen Vektorfeldern auf $M$.
TODO 2019-11-21
TODO 2019-11-22
......@@ -395,6 +395,7 @@ $endif$
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
\newcommand{ \rg }{ \operatorname{rg} }
\newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
\newcommand{ \id }{ \operatorname{id} }
\newcommand{\miso}[4]{ \begin{tikzcd} #1 \arrow[r, "#3"', shift left=-0.25ex] \pgfmatrixnextcell #4 \arrow[l, "#2"', shift left=-0.75ex] \end{tikzcd} }
\newcommand{ \R }{ \mathbb R }
......
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