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......@@ -630,11 +630,46 @@ R_{X,Y}Z=\nabla_X\lt\nabla_YZ\rt -\nabla_Y\lt\nabla_XZ\rt -\nabla_{\ltt X,Y\rtt}
\end{equation}
gilt. Diese Formel wird unter der Berücksichtigung von $\ltt \frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j} \rtt = 0$ zur Berechnung der expliziten Darstellung in Koordinaten genutzt werden:
\begin{eqnarray}
R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}} \lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt &=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\frac{\partial}{\partial x_i}\lt\frac{\partial}{\partial x_k}\rt\rt \\
&=& \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{jk}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\lt\sum_{s=1}^m \Gamma_{ik}^s\frac{\partial}{\partial x_s}\rt \\
&=& \sum_{s=1}^m \lt \frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_s} \\
&+& \sum_{s=1}^m \lt \Gamma_{jk}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_s} - \Gamma_{ik}^s}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\frac{\partial}{\partial x_s} \rt \\
&=& \sum_{s=1}^m\lt\frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j}\rt + \sum_{r=1}^m\sum_{s=1}^m \lt\Gamma_{jk}^r\Gamma_{ir}^s - \Gamma_{ik}^r\Gamma_{jr}^s\rt\frac{\partial}{\partial x_j} \\
R_{\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_k}
\rt
&=&
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}
\lt
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_k}
\rt
\rt
-
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_i}
\lt
\frac{\partial}{\partial x_k}
\rt
\rt
\\&=&
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}
\lt
\sum_{s=1}^m \Gamma_{jk}^s\frac{\partial}{\partial x_s}
\rt
-
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}
\lt
\sum_{s=1}^m \Gamma_{ik}^s\frac{\partial}{\partial x_s}
\rt
\\&=&
\sum_{s=1}^m \lt \frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j} \rt\frac{\partial}{\partial x_s}
\\&+&
\sum_{s=1}^m
\lt
\Gamma_{jk}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_s}
-
\Gamma_{ik}^s\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_j}}\frac{\partial}{\partial x_s}
\rt
\\&=& \sum_{s=1}^m\lt\frac{\partial\Gamma_{jk}^s}{\partial x_i} - \frac{\partial\Gamma_{ik}^s}{\partial x_j}\rt + \sum_{r=1}^m\sum_{s=1}^m \lt\Gamma_{jk}^r\Gamma_{ir}^s - \Gamma_{ik}^r\Gamma_{jr}^s\rt\frac{\partial}{\partial x_j} \\
\end{eqnarray}
$\Gamma_{ik}^s$ sind in Termen der Metrik $\lt g_{sr}\rt$ beschreibbar. $R_{ijk}^l$ hängt nur von $\lt g_{sr}\rt$ und ihren Ableitungen ab. Aus den Relationen $R_{X,Y}Z=-R_{Y,X}Z$ und $g\lt R_{X,Y}Z, W\rt = -g\lt Z, R_{X,Y}W\rt$ folgt
......
......@@ -53,7 +53,37 @@ Sei $M$ eine MF, $p\in M$. Ein Tangentialvektor $v$ an $p$ ist eine Abbildung $v
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:tangentialvektoren-koord}
Sei $p\in M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$. Die Koordinatenvektorfelder auf $U$ bzgl. $(U,x)$ sind gegeben als Familie von TV $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p=\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\in T_pM, p\in U$. $\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right\vert_p(f):= \partial_i\lt f\circ x^{-1}\rt\lt x(p)\rt=D_{x(p)}\lt f\circ x^{-1}\rt(e_i), i\in\lb 1,\ldots, n\rb$. Durch die Eigenschaften des Differentials in $\mb R^n$ sind die $\left\frac{\partial}{\partial x_i}\right.\vert$ wirklich TV.
Sei $p\in M$, $(U,x)$ eine Karte um $p$. Die Koordinatenvektorfelder auf $U$ bzgl. $(U,x)$ sind gegeben als Familie von TV
$
\left.
\frac{\partial}{\partial x_i}
\right\vert_p
=\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\in T_p M, p\in U
$.
$
\left.
\frac{\partial}{\partial x_i}
\right\vert_p(f):= \partial_i
\lt
f\circ x^{-1}
\rt
\lt
x(p)\rt=D_{x(p)}
\lt
f\circ x^{-1}
\rt(e_i)
$,
$
i\in
\lb
1,\ldots, n
\rb
$.
Durch die Eigenschaften des Differentials in $\mb R^n$ sind die
$
\left.\frac{\partial}{\partial x_i}
\right\vert
$ wirklich TV.
\end{bsp}
Wenn wir nun beweisen wollen, dass $\dim T_pM=n$, reicht es zu zeigen, dass die $\partial_i$ eine Basis von $T_pM$ bilden.
......@@ -64,7 +94,7 @@ Sei $M$ eine $n$-dim. MF, $p\in M, ~(U,x)$ eine Karte um $p$. Dann kann jeder Ve
Tatsaechlich gilt $\alpha_i=v\lt x^i\rt$. Insbesondere ist $\lb\partial_i\rb_{i=1}^n$ eine Basis von $T_pM$ und damit ist dessen Dimension $n$.
\begin{lem}
Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternfoermig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\inC^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_if(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
Sei $V\subset\mb R^n$ offen, s.d. $0\in V$ und $V$ sternförmig bzgl. 0 ist. Dann existieren $f_1,\ldots, f_n\in C^\infty(V)$ mit $f(0)=\partial_i f(0)$, s.d. $f(u)=f(0) + \sum_{i=1}^n u^if_i(u), ~u\in V$.
\end{lem}
\begin{proof}
......@@ -116,7 +146,7 @@ Seien $M,N$ MF und $f:M\to N$ glatt. Das Differential von $f$ an der Stelle $p\i
D_p f = f_{*,p}\colon T_p M\to T_p N,
\]
\[
D_pf (v) (\varphi)=v\lt f^\ast(\varphi)).
D_pf (v) (\varphi)=v\lt f^\ast(\varphi))\rt.
\]
\end{defn}
Wenn $M=\mb R^n, N=\mb R^m$, dann ist $T_pM\simeq \mb R^n, T_pN\simeq\mb R^m$. Dann ist
......@@ -226,7 +256,7 @@ Sei $x$ eine Kartenabbildung um $p$ mit $x(p)=0$, $\tilde y$ eine Kartenabbildun
Der Satz vom regulären Wert ist von zentraler Bedeutung in Differentialgeometrie, weil er uns erlaubt, Untermannigfaltigkeiten zu konstruieren.
\begin{defn}
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\Rg D_p f = n$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten von Dimension $m$ bzw. $n$, $f\colon M\to N$ glatt. Ein Punkt $p\in M$ heißt regulärer Punkt von $f$, wenn $\operatorname{Rang} D_p f = n$; andernfalls heißt $p$ ein kritischer Punkt von $f$. Ein Punkt $q\in N$ heißt regulärer Wert von $f$, wenn $f^{-1}(q)$ keine kritischen Punkte enthält (z.B. weil $q\not\in f(M)$). Andernfalls heißt $q$ kritischer Wert von $f$.
\end{defn}
Wenn $m\geqslant n$ ist (und das ist für uns der interessante Fall), heißt also die Bedingung, dass $q\in N$ ein regulärer Wert von $f$ ist so viel wie: an jedem Urbildpunkt von $q$ hat $f$ maximalen Rang ($= n$).
......
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