Commit 8b60d458 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-07-03

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...@@ -15,7 +15,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana ...@@ -15,7 +15,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!) ~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren. 1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
TODO%TODO %TYPO: remove space here
$$ $$
T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \} T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
\\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \} \\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
...@@ -23,7 +22,8 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana ...@@ -23,7 +22,8 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung! Motto: Tangentialvektor $\mathrel{\hat=}$ Richtungsableitung!
%Bild 2 %TODO Bild 2
TODO Bild
$\pi \colon TM \to M$ ist glatt $\pi \colon TM \to M$ ist glatt
$v\in T_pM \mapsto p$ $v\in T_pM \mapsto p$
...@@ -4414,3 +4414,174 @@ $$ ...@@ -4414,3 +4414,174 @@ $$
Beweis: Beweis:
1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$ 1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$
2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$ 2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$
%2019-07-02
%TODO missing
missing 2019-07-02
%2019-07-03
%TODO Bildchen 1
TODO Bildchen 1
** Satz: Brouwer
$$
&&f\colon D^2 \to D^2 \text{ stetig, [glatt]}
\\ &\Rightarrow& f \text{ hat einen Fixpunkt}
\\&& (\exists x\in D^2, f(x) = x)
$$
Beweis: durch Widerspruch: Sei $f\colon D^2\to D^2$ glatt mit $f(x)\neq x, \forall x\in D^2$
%TODO Bildchen 2
TODO Bildchen 2
$$
\varphi \colon D^2 &\to& \partial D^2 = S'
\\ x &\mapsto& y := \text{ Gerade } f(x) \to x \cap \partial D^2
\\ \varphi \text{ ist glatt}
\\ \varphi|_{\partial D^2} = \operatorname{id}
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& * \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] & \\
\partial D^2 \arrow[r, "i"] \arrow[rr, "\operatorname{id}"', bend right] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] & D^2 \arrow[r] & \partial D^2 \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$=$}}" description, phantom] \\
S^1 & & S^1
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& 0 & \\
H^k(S^1) \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] & H^1(D^2) \arrow[l, "i^*"'] \arrow[u, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & H^1(S^1) \arrow[l, "\varphi^*"'] \arrow[ll, "\operatorname{id}", bend left] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\simeq$}}" description, phantom] \\
\mathbb R & & \mathbb R
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO Bildchen 2 und weitere
TODO Bildchen 2 und weitere
$$
T^2 = M = U\cup V, \quad \text{Mayer-Vretoris}
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{} & H^0(T^2) \arrow[rr] & {} & H^0(U)\oplus H^0(V) \arrow[rr] & {} & H^0(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
\arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[rr] & {} & H^1(U)\oplus H^1(V) \arrow[rr] & {} & H^1(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
\arrow[r] & H^2(T^2) \arrow[rr] & {} & H^2(U)\oplus H^2(V) \arrow[rr] & {} & H^2(U\cap V) \arrow[r] & {} \\
\arrow[r] & \ldots & {} & {} & {} & {} & {}
\end{tikzcd}
\end{center}
ist exakt.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{} & \mathbb R \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r, "m"] & {} \\
\arrow[r] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"] & \mathbb R^2 \arrow[r] & \mathbb R^2 \arrow[r] & {} \\
\arrow[r] & \underbrace{ H^2(T^2) }_{\mathbb R} \arrow[r] & 0 \arrow[r] & 0 & {}
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
\operatorname{rk} h &=& 1
\\ \operatorname{rk} m &=& 1
\\ \ker h &=& \operatorname{im} m
$$
$$
\dim H^1(T^2) &=& \operatorname{rk} h + \dim \ker h
\\ &=& \operatorname{rk} h + \operatorname{rk} m
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow[r, "m"] & H^1(T^2) \arrow[r, "h"] \arrow[d, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}" description, phantom] & {} \\
{} & \mathbb R^2 & {}
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{} \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_i \arrow[r] & V_{i+1} \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & {}
\end{tikzcd}
exakt
\end{center}
$$
\Rightarrow \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim V_i = 0
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & V_0 \arrow[r] & V_1 \arrow[r] & \ldots \arrow[r] & V_n \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
Kettenkomplex
\end{center}
$$
\sum_{i=0}^n (-1)^i \dim (V_i) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^i \dim H^i (V_*) =: \xi (V_*)
$$
%TODO Bildchen 3
TODO Bildchen 3
$$
\partial^2 = 0
$$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V_2 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r, "\partial"] & V_1 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \arrow[r] & V_0 \arrow[d, phantom, "\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\cong$}}"] \\
\mathbb R^{|F|} & \mathbb R^K & \mathbb R^E
\end{tikzcd}
\end{center}
$$
E-K+F &=& \dim H_0 (V_*) - \dim H_1(V_*) + \dim H_2 (V_*)
\\ &=& \dim H^0 (S^2) - \dim H^1(S^2) + \dim H^2(S^2)
\\ &=& 2
$$
%TODO Bildchen 4
TODO Bildchen 4
Haben $M$-kompakt orientierte, $\dim M = n$.
$H^n(M\setminus \{ p \}) = 0$
Beweis:
Sei $\omega \in \Omega^n(M\setminus \{p\})$, $\diffd \omega = 0$ (antisymetrisch)
$$
\overset?\Rightarrow \exists\eta\in\Omega^{n-1}(M\setminus\{p\}) \text{ mit } \omega = \diffd \eta
$$
%TODO Bildchen 5
TODO Bildchen 5
Zerlege:
$$
\omega = \omega_0 + \omega_1
$$
s.d.
- $\omega_0\in\Omega^n_c(M\setminus\{p\})$
- $\int \omega_0 = 0$
- $\omega_1\in\Omega^n( \underbrace{ S^{n-1}\times(0,1) }_{\operatorname{int} D^n \setminus \{p\}} )$
$$
\omega_1|_{S^{n-1}\times \left(\frac{1}{2}, 1\right)} = 0
$$
$$
\omega_0 &=& \diffd \eta_0
\\ \omega_1 &=& \diffd \eta_1
$$
weil $H^n(S^{n-1})\cong H^n(S^{n-1}\times (0,1)) = 0$
......
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