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2019-06-18

parent e1afb21c
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in 7 minutes and 10 seconds
......@@ -3524,24 +3524,256 @@ exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus
$H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist.
%2019-06-18
%TODO
TODO missing 2019-06-18
%2019-06-19
** Definition: exakt an
Gestern:
Kettenkomplex $(C^*, \diffd)$ ist \emph{exakt an} $C^k$, $k\in\mathbb Z$, wenn $H^k(C^*, \diffd) = 0$ ($\Leftrightarrow \ker \diffd^k = \operatorname{im} \diffd^{k-1}$) (für ein festes $k$)
Hauptsatz der homologischen Algebra:
** Definition: kurze exakte Sequenz
eine exakte Sequenz
Eine kurze exakte Sequenz von \emph{Cokettenkomplexen} $(A_*, \diffd)$, $(B_*, \diffd)$, $(C_*, \diffd)$ ist eine Sequenz der Form
TODO%TODO Bildchen
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
von Kokettenkomplex gibt eine lange exakte Sequenz in Kohomologien
wobei $i$, $q$ Cokettenabbildungen sind, sodass $i$ injektiv, $q$ surjektiv, $\operatorname{ker} q = \operatorname{Im} i$.
TODO%TODO Bilchen
Ist äquivalent zu $\forall k\in \mathbb Z$ ist
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & A_k \arrow[r, "i_k"] & B_k \arrow[r, "q_k"] & C_k \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz.
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] \\
A_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_k"] & A_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "i_{k+1}"] & A_{k+2} \arrow[d, "i_{k+2}"] \\
B_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_k"] & B_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d, "q_{k+1}"] & B_{k+2} \arrow[d, "q_{k+2}"] \\
C_k \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+1} \arrow[r, "\diffd"] & C_{k+2}
\end{tikzcd}
\end{center}
** Beispiel
($i_u^*$ Einschränkung der Form auf $U$, $\ker q$: Formen die auf $U\cap V$ übereinstimmen)
Sei $M=U\cup V$, $U$ offen, $V$ offen, sodass $U\cap V$ offen. Dann ist
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \Omega^* M \arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] &[+10pt] \Omega^* U \oplus \Omega^* V \arrow[r, "q"] & \Omega^* (U\cap V) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen ($i_u^*\colon U\hookrightarrow M$, $i_v\colon V\hookrightarrow M$)
$$
j^u\colon U\cap V &\hookrightarrow& U
\\j^v\colon U\cap V &\hookrightarrow& V
\\q&=& (j^u)^* - (j^v)^*
$$
$\rightsquigarrow q(\alpha, \beta) = \alpha|_{U\cap V} - \beta|_{U\cap V}$
** Satz: Hauptsatz der homologischen Algebra
Sei
\begin{center}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & (A_*, \diffd) \arrow[r, "i"] & (B_*, \diffd) \arrow[r, "q"] & (C_*, \diffd) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{center}
eine kurze exakte Sequenz von Cokettenkomplexen. Dann besteht eine lange exakt Sequenz der Cohomologiegruppen:
TODO%TODO
% \begin{tikzcd}
% \arrow[r, "\diffd^*"] & { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"]
% & { {}} \arrow[llld, "\diffd^*", to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\
% { {}} \arrow[r, "i_*"] & { {}} \arrow[r, "q_*"] & { {}} \arrow[r, "\diffd^*"] & \ldots
% \end{tikzcd}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
H^{k-1}(C_*, \diffd)
\arrow[r, "\diffd^*"]
&
H^k(A_*, \diffd)
\arrow[r, "i_*"]\arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]
&
H^k(B_*, \diffd)
\arrow[r, "q_*"]
&
H^k(C_*, \diffd)
\arrow[dlll, "\diffd^*"',rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}]
\\
H^{k+1}(A_*, \diffd)
\arrow[r, "i_*"]
&
H^{k+1}(B_*, \diffd)
\arrow[r, "q_*"]
&
H^k(C_*, \diffd)
\arrow[r, "\diffd^*"]
&
\ldots
\end{tikzcd}
\end{center}
Hierbei sind
$$
i_* \colon H^k(A_*) \to H^k(B_*)
\\ q_*\colon H^k(B_*) \to H^k(C_*)
$$
die durch $i$, $q$ induzierte Abbildung.
Randabbildung $\diffd^*$ ist eine Abbildung, die durch $\diffd$ induziert ist (wird im Zuge des Beweises konstruiert).
** Korollar: Mayer-Vietoris-Sequenz
Sei $M = U\cap V$ und $U$, $V$ offen sowie $U\cap V$ offen. Dann besteht eine lange kurze exakte Sequenz:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\ldots\arrow[r, "\diffd^*"]& H^k(M)\arrow[r, "i_u^* \oplus i_v^*"] \arrow[d,phantom, ""{coordinate, name=Z}]& H^k(U)\oplus H^k(V)\arrow[dll,"q_*",rounded corners,to path={ --([xshift=2ex]\tikztostart.east)|- (Z)[near end]\tikztonodes-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)-- (\tikztotarget)}] \\H^k(U\cap V)\arrow[r, "\diffd^*"]& H^{k+1}(M)\arrow[r]& \ldots
\end{tikzcd}
\end{center}
Beweis des Satzes:
Nachtrag:
Wir haben die Randbedingungen $\diffd^*$ zu konstruiren und zu zeigen, dass die Sequenz in der Behauptung exakt ist.
Technik: Diagrammjagt
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & & \\
\arrow[r] & A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & A_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\
\arrow[r] & B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & B_{k+2} \arrow[d] \arrow[r] & \ldots \\
\arrow[r] & C_{k-1} \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[d] \arrow[r, "\diffd"] & C_k \arrow[r, "\diffd"] \arrow[d] & C_{k+2} \arrow[r] & \ldots \\
& 0 & 0 & 0 & &
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\phantom{\alpha} & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\
\arrow[r, maps to] & \phantom{\alpha} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \delta' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \arrow[d, maps to] \\
\arrow[r, maps to] & \gamma' \arrow[d, maps to] \arrow[r] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \diffd \alpha' \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[d, maps to] \\
\arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & 0 \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \phantom{\alpha} \\
& 0 & 0 & 0 &
\end{tikzcd}
\end{center}
Wollen:
$$
\diffd^*\colon H^k(C_*) &\to& H^{k+1}(A_*)
\\ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} &&
\\ \lbrack\alpha\rbrack &\mapsto& \lbrack\beta\rbrack
$$
wobei $\beta$ wie folgt konstruiert ist:
$\alpha \in c_k$, $\diffd \alpha = 0 \Rightarrow \exists \alpha' \in B_k$ mit $q(\alpha') = \alpha$
$q(\diffd \alpha') = 0$ (Diagramm kommutiert) $\Rightarrow \exists \beta \in A_{k+1}$ mit $i(\beta) = \diffd \alpha'$
Auch gilt: $(\diffd \beta) = \diffd(\diffd \alpha') = 0$, $i$ injektiv $\Rightarrow \diffd \beta = 0$
Konstruktion $\beta$ zu ende.
$\diffd^*$ ist wohldefiniert, denn wenn $\alpha_1 = \alpha + \diffd \gamma$ ein Lift von $\gamma$ (existiert, weil $q$ surjektiv)
$$
\rightsquigarrow \diffd \alpha'_1 = \diffd \alpha' \checkmark
$$
1. ? TODO%TODO
2. Wenn $\alpha''\in B_k$ ein anderer Lift von $\alpha$ (Elemente mit $q(\alpha'') = \alpha$) Dann gilt:
$$
\alpha'' - \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta')
$$
$$
&\Rightarrow& \diffd \alpha'' - \diffd \alpha' = i(\diffd \delta') \Rightarrow \diffd \alpha' = i(\beta + \diffd \delta')
\\ &\Rightarrow& \lbrack \beta + \diffd \delta' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack
$$
Haben jetzt zu zeigen: exakte Sequenz
- $q_* \circ i_* = (q\circ i)_* = 0$
- $\diffd_* \circ q_* \lbrack \alpha' \rbrack = \diffd^* (\lbrack \alpha \rbrack) = 0$, weil $\diffd \alpha' = 0$
weil $\alpha'$ geschlossene Form. anderes $\alpha'$ als oben, aber auch aus $B_k$
- $(i_*\circ \diffd^*) (\lbrack \alpha \rbrack) = \lbrack i(\beta) \rbrack = \lbrack \diffd\alpha' \rbrack = 0$
(hier fangen wir mit geschlossenen Formen $\alpha'$ an und puschen das runter)
$\Rightarrow$ die Sequenz ist ein Cokettenkomplex
zu zeigen:
- $\ker i_* \subseteq \operatorname{im}\diffd^*$
- $\ker q_* \subseteq \operatorname{im}i_*$
- $\ker d^* \subseteq \operatorname{im}q_*$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& \beta \arrow[r, maps to] & 0 \\
A_{k-1} \arrow[d, "\gamma"] \arrow[r] & A_k \arrow[d, "\beta'"] \arrow[r] & A_{k+1} \arrow[d] \\
B_{k-1} \arrow[d, "\gamma'"] \arrow[r] & B_k \arrow[d] \arrow[r] & B_{k+1} \arrow[d] \\
C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1}
\end{tikzcd}
\end{center}
*** erster Punkt
Sei $\lbrack \beta \rbrack \in \ker i_*$ ($\beta\in A_k$, $\diffd \beta = 0$)
$\Rightarrow i(\beta) = \diffd \gamma$
Sei $q(\gamma) =: \gamma'$
$$
\diffd \gamma' = q(\diffd \gamma) = q(\beta') = q(i(\beta)) = 0
\\ \Rightarrow \lbrack \gamma' \rbrack \in H^{k-1}
$$
Nach Konstruktion gilt $\diffd^*\lbrack \gamma' \rbrack = \lbrack \beta \rbrack$
*** zweiter Punkt: Übung
\begin{center}
\begin{tikzcd}
A_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & A_k \arrow[r] \arrow[d] & A_{k+1} \arrow[d] \\
B_{k-1} \arrow[d] \arrow[r] & B_k \arrow[r] \arrow[d] & B_{k+1} \arrow[d] \\
C_{k-1} \arrow[r] & C_k \arrow[r] & C_{k+1}
\end{tikzcd}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzcd}
{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \gamma \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \beta \arrow[d, maps to] \\
{} \arrow[d, maps to] \arrow[r, maps to] & \alpha' \arrow[r, maps to] \arrow[d, maps to] & \diffd \alpha \arrow[d, maps to] \\
{} \arrow[r, maps to] & \alpha \arrow[r, maps to] & {}
\end{tikzcd}
\end{center}
Sei $\alpha \in \ker \diffd^* \Rightarrow \beta = \diffd \gamma$
$$
&& \diffd (\alpha' - i(\gamma)) = \diffd \alpha' - \underbrace{ i(\underbrace{ \diffd \gamma }_{=\beta}) }_{\diffd \alpha'} = 0
\\ \Rightarrow && \lbrack \alpha' -i(\gamma) \rbrack \in H^k(B_*), \quad q(\alpha' - i(\gamma)) = q(\alpha') = \alpha
\\ \Rightarrow \alpha \in \operatorname{im} q_*
$$
%2019-06-19
TODO%TODO Bilchen
TODO%TODO Bilchen
$\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv)
......@@ -3802,8 +4034,8 @@ Beweis:
$$
f(x) = \int_\alpha^x \varphi(t) \intd t
\\ \Rightarrow f(\beta) = \int_\alpha^\beta \varphi(t) \intd t = 0
\\ \lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \begin{matrix} \operatorname{supp}\varphi \\ \operatorname{supp}f \end{matrix}
$$
$\lbrack \alpha, \beta \rbrack \supseteq \operatorname{supp}\varphi, \operatorname{supp}f$%TODO table
Aus der Rechnung folgt: $f$ kompakt getragen
$$
......@@ -3826,6 +4058,10 @@ Beweis:
% \begin{tikzcd}
% \arrow[r] & H_c^k(M\setminus N) \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & H_c^{k+1}(M\setminus N) \arrow[r] & \ldots
% \end{tikzcd}
TODO%TODO missing part
......
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