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2019-05-28

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ist eine Karte für $\partial M$ an $p$
Nächstes mal: um der Stokes-Formel Sinn zu geben werden wir für orientiertes $M$ eine Orientierung auf $\partial M$ angeben.
%2019-05-28
letztes Mal: Mannigfaltigkeiten mit Rand
Errinnerung: $(M, \partial M)$, modelliert auf $\mathbb R^n$ oder auf $H^n = \{x\in R^n \mathrel | x^n \geqslant 0 \}$
%TODO Bild B1
$$
M = \overline B (0,1) &\subset& \mathbb R^{n+1}
\\ \partial M &=& S^m \subseteq \mathbb R^{n+1}
$$
Beweis:
$$
\dim M = n \Rightarrow \dim \partial M = n-1
$$
Ziel:
$$
\int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega\quad \forall \omega\in \Omega^k (M)
$$
%TODO Bild B2
Errinnerung: eine glatte Funktion au $H^n$ ist per Definition die Einschränkung einer glatten Funktion von $\underbrace{ U }_{\mathbb R^n, \text{ offen}}\supseteq H^n$
Folglich ist $T_pH^n \cong T_p\mathbb R^n\quad\forall p\in \partial H^n = \mathbb R^{n-1}$
Daher gilt $T_pM$ hat Dimension $n$ selbst für Punkte auf
$\partial M$
!
(insbesondere $\neq T_p(\partial M)$)
** Definition
Sei $v \in T_p M$, $p\in \partial M$. $v$ heißt nach außen (bzw. nach innen) zeigend, wenn $v(x^n) < 0$ für jede Karte $(U,x)$ mit $x(p)=0$
%TODO Bild B3
** Bemerkung
Dies ist wohldefiniert, weil für jede andere Karte $(V,y)$ mit $y(p)=0$ gilt:
$$
D(y\circ x^{-1}) = \left[ TODO \right]%TODO B4
$$
(weil $y\circ x^{-1}\colon H^n \overset{Diffeo}\to H^n$) %TODO Bilchen B5
$$
\tilde x^{-1} = x^-1|_{\mathbb R^{n-1}}
\\ \tilde y^{-1} = y^{-1}|_{\mathbb R^{n-1}}
$$
mit $\alpha > 0$
Wenn $M$ orientiert ist, bekommen wir auch eine Orientierung auf
$\partial M$: wenn $\{(U,x)\}$ ein orientierter Atlas von $M$ ist
$\Rightarrow \det D_{x(p)}(y\circ x^{-1}) > 0$, auch für $p\in \partial M$, was $\det D_0(y\circ x^{-1}) = \alpha \det D_0 (\tilde y \circ \tilde x^{-1})$ $\Rightarrow$
%TODO missing
TODO missing
** Geometrisch
$v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p(\partial M)$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow v, v_1, \ldots, v_{n-1} \in T_p M$ positiv orientiert für jedes nach außen zeigende $v$
%TODO Bilchen B6
Ziel:
$$
\int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega \quad \forall \omega\in \Omega^{n-1}(M)
$$
** Erinnerung
$$
\int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N} \int_M \varphi_k \intd \omega, \quad (\varphi_k)_{k\in \mathbb N} \text{Teilung der Eins}
$$
s.d.
$$
\operatorname{supp} \varphi_k \subset c([0,1]^n), c\colon [0,1]^n\to M\text{ positiv orientiert}
$$
Für eine Mannigfaltigkeit mit Rand gilt: Es gibt eine Überdeckung $U = \{U_i\}_i$ von $M$ mit der Eigenschaft: jedes $U_i \subseteq c([0,1]^n)$, wobei $c\colon[0,1]^n\to M$ orientierungserhaltend mit entweder
$$
c([0,1]^n) \subset M\partial M
$$
oder
$$
c([0,1]^n)\cap \partial M = c_{n,0}([0,1]^{n-1})
$$
%TODO Bildchen B7
($U$ existiert nach Definition von einer Mannigfaltigkeit mit Rand: (benutze Karten)
** Notation
Wenn $M$ orientiert ist, bezeichnen wir durch $-M$ die Mannigfaltigkeit $M$ mit Umgekehrter Orientierung (mit Volumenform $-\omega$ statt $\omega$)
NB:%TODO NB?
$$
\int_{-M} \alpha = - \int_M \alpha
$$
** Satz(Newton, Leibnitz, Green, Gauss, Poincaré)
Sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, $\dim M = n$; sei $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, $\operatorname{supp} \omega$ ist kompakt. Dann gilt:
$$
\int_M \intd \omega = \int_{\partial M}\omega_{.,}
$$
Beweis:
Sei $U$ eine Überdeckung wie oben, $(\varphi_k)$ die untergeordnete Teilung der Eins, haben dann
$$
\int_M \intd \omega = \sum_{k\in \mathbb N}\int_M \varphi_k \cdot \diffd\omega
\\ \operatorname{supp} \varphi_k \subseteq \underbrace{U_{i_k}}_{\text{offen}} \subseteq c\left([0,1]^n\right)
$$
%TODO Bilchen B8
Wenn $\omega \in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left([0,1]^n\right)$, $c([0,1]^n) \cap \partial M=\emptyset$
$\Rightarrow \operatorname{supp} \omega \cap \partial\left( c[0,1]^n \right) = \emptyset$ und
$$
\int_M \intd \omega \overset{\text{Def.}}= \int_c \intd \omega \overset{\text{lokale Version}}= \int_{\partial c}\omega = 0
$$
Andererseits $\int_{\partial} \omega =0$, weil $\operatorname{supp} \omega \cap \partial M = \emptyset$
Wenn $\omega\in \Omega^n(M)$ mit $\operatorname{supp}\omega \subseteq U_{i_k} \subseteq c\left( [0,1]^n \right)$:
$$
c\left([0,1]^n\right)\cap \partial M = c_{n,0}\left( [0,1]^{n-1} \right)
$$
$$
\int_M \intd \omega &=& \int_c \intd \omega
\\&\overset{\text{lokale Version}}=& \int_{\partial c} \omega
\\&=& \int_{(-1)^nc_{n,0}} \omega
\\&=& (-1)^n \int_{c_{n,0}} \omega
\\&\overset{\text{Vergleich von Orientierungen}}=& (-1)^n(-1)^n \int_{\partial M} \omega
\\&=& \int_{\partial M} \omega
$$
%TODO Bildchen B9
$c$ orientiert $\Rightarrow \underbrace{ e_1 }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^1} \right)}, \ldots, \underbrace{ e_n }_{c_*\left(\frac{\partial}{\partial u^n} \right)}$ positiv orientiert.
Orientierung auf dem Rand ist aber so definiert, dass $-e_n, e_1, \ldots, e_{n-1}$ positiv orientiert sein soll.
** Im Allgemeinen
($\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ beliebig)
$$
\int_{\partial M} \omega &=& \int_{\partial M} \sum_k \varphi_k \cdot\omega
\\&=& \sum_k \int_{\partial M} \varphi_k \cdot \omega
\\&\overset{\operatorname{supp}(\varphi_k, \omega)\text{ in }U_{i_k}}=& \sum_k \int_M \intd (\varphi_k \omega)
\\&=& \sum_k \int_M \intd(\varphi_k \omega)
\\&=& \sum_k \int_M \intd \varphi_k\wedge\omega + \sum_k \int_M \varphi_k \intd \omega
\\&=& \int_M \intd\left(\underbrace{ \sum_k \varphi_k }_{=1} \right) \wedge \omega + \int_M\intd \omega
\\&=& \int_M \intd \omega
$$
(weil $\diffd (1)=0$)
** Korollar
Wenn $\partial M = \emptyset$, $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, gilt
$$
\int_M \intd \omega = 0
$$
Erinnerung:
$$
d\circ d = 0
$$
$\Rightarrow$ wenn $\eta = \intd \omega \Rightarrow \intd \eta=0$, ($\overset{?}\Leftarrow$)
** Definition
$\eta \in \Omega^k(M)$ heißt:
1. geschlossen, wenn $\diffd \eta = 0$
2. exakt, wenn $\eta = \diffd \omega$
$\diffd^2 = 0$ heißt exakt $\Rightarrow$ geschlossen
$\Leftarrow$ gilt im Allgemeinen nicht:
** Beispiel
$M=S^1$, $\omega = \diffd \theta$ (im lokelen Koordinaten)
%TODO Bildchen B10
$$
\int_{S^1} \omega = \int_0^{2\pi} \intd \theta = 2\pi
$$
$\Rightarrow \nexists f \in \Omega^0 (S^1)$ mit $\omega = \diffd f$
** $\text{Beispiel}'$
$M$ kompakt, $\dim M = n$, ohne Rand, orientiert, $\omega\in \Omega^n(M)$ Volumenform
$$
0 < \int_M \omega,\quad \diffd \omega = 0
$$
weil $\Omega^{n+1}(M) = 0$ $\Rightarrow \omega$ geschlossen, aber nicht exakt.
** Definition
- $B^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd \omega \}$
- $Z^k(M) := \{ \eta \in \Omega^k(M) \mathrel| \eta = \diffd 0 \}$
$B^k(M) \nsubseteq Z^k(M)$, $H^k (M) := Z^k(M) / B^k (M)$ heißt ($k$-te) de Khan-Kohomologie von $M$
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