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Pipeline #2514 passed with stage
in 9 minutes and 5 seconds
cp edit-this-file.tex tmp.tex
python3 preprocessor.py
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o for-compile.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
python3 postprocessor.py
# clear && clear
echo "start pdflatex"
......
......@@ -15,7 +15,7 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
~Wichtig dabei~: das Objekt auf $M$ muss koordinatenunabhängig werden! (Physik verlangt das auch!)
1. ~Tangentialraum~ „über“ jedem Punkt $p\in M$ „hängt“ ein Vektorraum $T_pM$, $\dim T_pM = \dim M$ Elemente von $T_pM$ heißen Tangentialvektoren.
%TODO %TYPO: remove space here
TODO%TODO %TYPO: remove space here
$$
T_pM &=& \{ \text{Ableitungen von Funktionen an } p \}
\\&=& \{ \partial \colon C^{\infty}(M) \to \mathbb R \text{ linear} \ |\ \partial(fg) = f(p)\cdot\partial(g) + g(p)\cdot\partial(f) \}
......@@ -37,7 +37,6 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
$$
Jetzt in Diffgeo:
$$1
f\in C^\infty(M, N) \underset{p\in M}\rightsquigarrow D_pf \colon T_pM \to T_{f(p)}N \text{ linear}
$$1
......@@ -51,9 +50,9 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
Gegeben $X \rightsquigarrow \Phi \colon \underset{\subseteq \mathbb R \times M}W \to M$ (Fluss des Vektorfeldes)
s.d. $\forall p\in M\ \gamma_p(t) := \Phi(t,p)$ die ODE
$$1
$$
\dot \gamma(t) = X(\gamma(t))
$$1
$$
lässt
3. Lie-Klammer von Vektorfeld und Lie-Gruppen Auf Vektorfeldern auf $M$ ergibt es eine interessante algebraische Struktur: die Lie-Klammer: gegeben $X$, $Y \in \underbrace{\Gamma(TM)}_{Vektorfeld} \rightsquigarrow [X,Y] \in \Gamma (TM)$
......@@ -82,37 +81,36 @@ Idee: da $M$ lokal wie $\mathbb R^n$ aussieht, versucht man, Objekte aus der Ana
Eigenschaften: $\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G$ als Vektoraum
$\Rightarrow \dim_{\mathbb R} \operatorname{Lie}(G) = \dim G$
%TODO %TYPO vertical space
$$
Lg \colon G &\to& G\\
h &\mapsto& g\cdot h
$$
Satz $G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)$
Satz
$$
G = GL(n, \mathbb R) \underset{\text{offen}}{\subset} \mathbb M_n(\mathbb R)
\\ \operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)
$$
$\operatorname{Lie}(G) \cong T_1G \underset{\text{Vektoraum}}\cong \mathbb M_n (\mathbb R)$
Dies ist auch ein Isomorphismus zwischen Lie-Algebren!
$$1
$$
(\operatorname{Lie}(\operatorname{GL(n, \mathbb R)}), [\cdot, \cdot]) \cong (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])
$$1
$$
Für jedes $G< \operatorname{GL}(n, \mathbb R)$ ist dann $\operatorname{Lie}(G) \subseteq (\mathbb M_n(\mathbb R), [\cdot, \cdot])$.
$$1
$$
[A,B] = AB - BA
$$1
$$
%DATE 2019-04-02
* Übung 1
Differential einer Abbildung
$$1
$$
f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n
$$1
$$
$$
p\in \mathbb R^n\ \ \ D_p f \colon \mathbb R^n &\to& \mathbb R^m (\text{linear})
......@@ -121,13 +119,12 @@ $$
$$
\partial_v f(p) &=& \sum_{i=1}^n \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_p v^i
\\ D_pf \underset{\text{als Matrix}}{=} \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
\\ D_pf &\underset{\text{als Matrix}}{=}& \left(\frac{\partial f_i}{\partial x^j} \right)_{
\begin{matrix}
i = \overline{1, m} \\
j = \overline{1, n}
\end{matrix}}
$$
$$
f\colon M\to N
$$
......@@ -145,22 +142,24 @@ M \arrow[r, "f"] \arrow[rr, "f^*\varphi"', bend right] & N \arrow[r, "\varphi"]
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO vertical line
TODO%TODO vertical line
%2019-??-??
TODO Bildchen %TODO
TODO Bildchen TODO%TODO
$$
M &\overset f\to& N
\\ &\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}&
\\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}%TODO letzes Wort nicht verstanden
\\ C^\infty(N) &\overset{f^*}{\to}& C^\infty(M)\ \text{linear, sogar Algebrenhomomorphismus}TODO%TODO letzes Wort nicht verstanden
\\ \varphi &\mapsto& \varphi\circ f
$$
Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist $\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R$ linear
%TODO vertical line
Jeder Tangentialvektor $v$ ist eine lineare Abbildung $v\colon C^\infty(M) \to \mathbb R$, dann ist
$$
\underbrace{v\circ f^*}_{=D_{\pi(v)}f(v) = f_*v} \colon C^\infty(M) \to \mathbb R
$$
linear
** Beispiel
......@@ -247,7 +246,7 @@ $$
$\rightsquigarrow$ mit $A(0) = 1 \rightsquigarrow A(t) = e^{tX}$
%TODO vertical line
TODO%TODO vertical line
$$
x &\mapsto& A\cdot x
......@@ -257,7 +256,7 @@ $$
\\ f\colon V &\to& W \text{ linear}
$$
mit Übung 28 %TODO ref
mit Übung 28 TODO%TODO ref
$p\in V$:
......@@ -268,8 +267,8 @@ $p\in V$:
\end{tikzcd}
\end{center}
%TODO vertical line
%TODO das war das mündliche Zeug
TODO%TODO vertical line
TODO%TODO das war das mündliche Zeug
$$
\det \gamma(t) = 1 \leftarrow \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}
......@@ -317,12 +316,13 @@ $$
Suchen eines koordinateninvarianten Integrationsbegriffs
%TODO schöner
TODO%TODO schöner
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\arrow[rr, "U", no head] & & \mathbb R^n \\
& & \downarrow \ \alpha \colon U\overset{\cong} \to V \text{ Diffeo} \\
\arrow[rr, "V"', no head] & & \mathbb R^n
\arrow[rr, "U"'{name=links}, no head] & {} & \mathbb R^n\\
{} & {} & \\
\arrow[rr, "V"{name=rechts}, no head] & {} & \mathbb R^n \arrow[from=links, to=rechts, "\alpha \colon U\overset{\cong} \longrightarrow V \text{ Diffeo}"]
\end{tikzcd}
\end{center}
......@@ -366,7 +366,6 @@ $$
= \frac{\partial v_1 }{\partial u_1 }\intd u_1
+ \frac{\partial v_1 }{\partial u_2 }\intd u_2
$$
$$
\intd v_2
= \frac{\partial v_2 }{\partial u_1 }\intd u_1
......@@ -385,7 +384,7 @@ $$
$$
= \int_V f(v) \intd v_1 \intd v_2
= \int_U f(v(u))
% \left%TODO overcome boxes
% \leftTODO%TODO overcome boxes
\Bigg
(
\underbrace{
......@@ -409,7 +408,6 @@ $$
$$
Damit die Mnemonik stimmt, muss also gelten:
$$
\intd u_1 \cdot \intd u_1 &=& \intd u_2 \cdot \intd u_2 = 0
\\ \intd u_1 \cdot \intd u_2 &=& - \intd u_2 \cdot \intd u_1 = 0
......@@ -538,7 +536,7 @@ $$
\end{subarray}
\right\}\right\rangle
}_{:=\langle\ldots\rangle}
\\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{%TODO \middle
\\&=& \left\{ f + \langle\ldots\rangle \mathrel{TODO%TODO \middle
|} f \in \mathcal F_{\mathbb R} (V\times W)\right\}
$$
......@@ -577,14 +575,14 @@ $$
wenn $E$ ein Vektoraum ist, $E' \subseteq E$ Untervektorraum, dann ist ${E}/{E'} = \{ e+E'\ |\ e\in E \}$ mit mengenmäßiger Addition und Skalarmultiplikation. (bei uns ist $E = \mathcal F(V\times W)$, $E' = \langle \ldots \rangle$)
Interpretation: ${E}/{E'} =$ Vektoraum der Äquivalenzklassen von Vektoraum in $E$ modulo $E'$.
($e'=0$, $e'\in E'$) %TODO ?
($e'=0$, $e'\in E'$) TODO%TODO ?
Entsprechend ist
$$
V\otimes W
§ &=&\{f+\langle\ldots \rangle \mathrel | f \in \mathcal F(V\times W) \}
§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{%TODO\middle
§ \\&=& \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot\eins{(v,w)_i} + \langle\ldots\rangle\mathrel{TODO%TODO\middle
|} (v,w)_i\in V\times W, \lambda_i\in\mathbb R, i\in \mathbb \{1,\ldots,n\}, n\in \mathbb N \right\}
§ \\&=& \operatorname{span}\{ \eins_{(v,w)} + \langle\ldots\rangle\mathrel | (v,w)\in V\times W \}
% \\&=& \operatorname{span}\{ [\eins_{(v,w)}] \mathrel | v\in V, w\in W \}
......@@ -621,7 +619,7 @@ $$
§ \\ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \eins_{(v,w)_i} \right) &\mapsto& \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left((v,w)_i\right)
$$
Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben %TODO ref
Dazu muss man überprüfen, dass $(v_1 + v_2, w) - (v,w) - (v_2, w)$ sowie andere Relationen von irgendwas oben TODO%TODO ref
im Kern von $\hat f$ liegen. Das ist dadurch gewährleistet, dass $f$ bilinear ist, z.B.
$$
......@@ -647,7 +645,6 @@ Schließlich ist für $\operatorname V < \infty$ die Einbettung $i\colon V\to V^
** Proposition
$W\otimes V^*$ ist kanonisch isomorph zu $\operatorname{Hom}(V,W)$ für endlichdimensionale $V$, $W$. Insbesondere gilt dann:
$$
\operatorname{dim} W\otimes V^* = \operatorname{dim} W \cdot \operatorname{dim} V = \operatorname{dim} W \otimes V
$$
......@@ -659,7 +656,6 @@ Beweis:
Sei $L\colon W\times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$, $(w,\alpha) \mapsto (\theta_{w,\alpha} \colon v \mapsto \alpha(v)\cdot w)$, ($\theta_{w,\alpha}\operatorname{Rang} 1$-Operator definiert durch $\alpha$, $w$)
$L$ ist bilinear, weil:
$$
&& (L(w_1 + \lambda w_2, \alpha_1 + \mu\alpha_2))(v)
\\&=& (\alpha_1 + \mu\alpha_2)(v)\cdot(w_1 + \lambda w_2)
......@@ -706,7 +702,6 @@ $W\otimes W$ ist nach Konstruktion aufgespannt durch $f_j \otimes e_i$, $\operat
** Korollar
Wenn $X$, $Y$ endliche Mengen sind, dann gilt:
$$
\mathcal F(X\times Y) \cong \mathcal{F}(X) \otimes \mathcal{F}(Y)
$$
......@@ -722,7 +717,6 @@ Bemerkung: Es gilt auch ohne Einschränkung auf Dimensionen
** Definition Tensor
Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (zum Vektoraum $V$) ist ein Element des Vektoraumes
$$
T_{r,s}(V) := V \underbrace{ \otimes \ldots \otimes V }_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^* }_{s\text{-mal}}
$$
......@@ -736,7 +730,6 @@ $$
ist eine Basis in $T_{r,s}$ (Beweis: wende induktiv die Proposition an).
$\Rightarrow$ jedes $T\in T_{r,s}(V)$ ist darstellbar also
$$
T= \sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} } T_{j_1,\ldots,j_s}^{i_1,\ldots,i_r} (e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r}\otimes \alpha_{j_1} \otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s})
$$
......@@ -768,18 +761,16 @@ $$
$$
Letzes mal:
$$
T_{r,s} (V) := \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{s\text{-mal}}
$$
$$
M_{s,r} := \{ f\colon \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V}_{s\text{-mal}} \times \underbrace{V^* \times \ldots \times V^*}_{r\text{-mal}} \to \mathbb R\ |\ f \text{ multiliniear } \}
$$
** Proposition
%TODO kan. ?
TODO%TODO kan. ?
$$1
T_{r,s}(V) \overset{kan.}\cong M_{s,r}(V)
$$1
......@@ -787,7 +778,6 @@ $$1
Beweis:
Nach obigen Eigenschaften gilt:
$$
M_{s,r} &\cong& \operatorname{Hom}(T_{s,r}(V), \mathbb R) \cong t_{s,r}(V)^* = (V^*\otimes\ldots\otimes V^* \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^*
\\&\overset{?}\cong& \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}
......@@ -813,7 +803,6 @@ $\beta$ gibt einen Isomorphismus $\hat \beta \colon Z \to W^*$
Beispiel:
$W = Z$, euklidischer Raum mit Skalarpodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$
$$
\beta (W,Z) = \langle \cdot, \cdot \rangle
$$
......@@ -825,7 +814,7 @@ $$
Definiere
$$
&& \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*)
{}& & \beta(v_1\otimes\ldots \otimes v_s \otimes v_1^* \otimes \ldots \otimes v_r^*, v_1 \otimes \ldots \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes \ldots \otimes u_s^*)
\\&=& \Pi_{i=1}^r v_i^*(u_i) \cdot \Pi_{j=1}^s u_j^* (v_j)_s \text{ bilinear fortgesetzt }
$$
......@@ -836,14 +825,12 @@ Zu zeigen ist, dass $\beta$ nicht ausgeartet ist. Dazu sei $0\neq t \in T_{r,s}(
Sei $(e_i)_{i=1}^n$ eine Basis in $V$, $(\alpha)_{j=1}^n$ die Dualbasis in $V^*$
Dann gilt:
$$
t = \sum_{ \begin{subarray}{l} {i_1,\ldots, i_r \in \{ 1,\ldots, n \}} \\ {j_1,\ldots j_s \in \{ 1,\ldots, n \}} \end{subarray}} t_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}
e_{i_1}\otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes \alpha_{j_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{j_s}
$$
$D_a t \neq 0$, ist eins von den Koeffizienten $\neq 0$:
$$
0\neq t_{j_1 \cdots j_s}^{i_1 \cdot i_r} = \beta (\alpha_{i_1}\otimes \ldots \otimes \alpha_{i_r}\otimes e_{j_1}\otimes \ldots \otimes e_{j_s}, t)
$$
......@@ -857,7 +844,7 @@ $V^* = T^*_pM$ bekommt die duale Basis $\{ \mathrm d x^i \}_{i=1}^n$
Erinnerung:
$\mathrm d x^i (\underbrace{T_p M} (v):= v(x^i) )$, daher $d x^i(\frac{\partial}{\partial x^j}) = \frac{\partial}{\partial x^j} (x^i) = \delta_{ij}$
%TODO \intd s
TODO%TODO \intd s
Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest)
1. $t_{ij} = \intd x^i \otimes \intd x^j \in V^* \otimes V^* = T_{0,2}(V) \cong T_{0,2}(V) \cong \operatorname{Bil}(V\times V, \mathbb R)$
......@@ -869,13 +856,11 @@ Wir bekommen jetzt z.B. ($i,j$ fest)
$$
Beispiel:
$$
g := \sum_{i=1}^{n} \intd x^i \otimes \intd x^i
$$
ist auch eine Biliniarform auf $T_pM$. Wenn $M = \mathbb R^n$, $p$ beliebig, dann ist $g$ das Standardskalarprodukt auf $T_p \mathbb R^n \cong \mathbb R^n$
$$
g\left(\frac{\partial}{\partial x^k}, \frac{\partial}{\partial x^l}\right)
&=& \sum_{i=1}^n
......@@ -903,7 +888,6 @@ $$
$$
Notation:
$$
V^{\otimes k} :=
\begin{cases}
......@@ -911,7 +895,6 @@ $$
\mathbb R & k = 0
\end{cases}
$$
$$
T(V) := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k}
$$
......@@ -919,7 +902,6 @@ $$
heißt die Tensoralgebra von $V$
Multiplikation: $t\in V^{\otimes r}$, $t'\in V^{\otimes s}$
$$
t\cdot t' := t\otimes t' \in V^{\otimes (r+s)}
$$
......@@ -933,7 +915,6 @@ Diese wollen wir erzwingen.
Sei $Z(V) = \langle v\otimes v | v \in V \rangle$ das Ideal in $T(V)$ erzeugt von Elementen der Form $v\otimes v$
Notation:
$$
I_r(V) := I(V) \cap V^{\otimes r}, I(V) = \bigoplus_{r=0}^\infty I_n (V) \text{ (kleine Übung) }
$$
......@@ -948,7 +929,6 @@ $$
heißt äußere Algebra von $V$
Nach Konstruktion und Eigenschaft von $I(V)$ gilt
$$
\bigwedge (V) = \bigoplus_{r=0}^\infty \underbrace{ \bigwedge^r (V) }_{V^{op?} / I_r(V}
$$
......@@ -959,7 +939,6 @@ $$
** Proposition
Sei $(e_1, \ldots, e_n)$ eine Basis in $V$. Dann ist
$$
\{ e_{i_1}\wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ k \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n \}
$$
......@@ -976,13 +955,11 @@ $$
Beweis
Nach Konstruktion gilt: $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$, daher spannt
$$
\{ e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} \ |\ 1\leqslant i_1 < i_k \leqslant n \}
$$
den Raum $\bigwedge^kV$. Wir brauchen also zu zeigen, dass
$$
\sum_{1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k} = 0
$$
......@@ -992,7 +969,6 @@ Sei $I=(i_1,\ldots, i_k)$ $1\leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n$ fixiert.
Sei $J = \{ 1,\ldots n \} \setminus I = (j_1, \ldots, j_{n-k})$ $1\leqslant j_1 < \ldots < j_{k} \leqslant n$
Betrachte das Element $e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_k}$ und multipliziere es an $(*)$:
$$
\pm \alpha_{i_1,\ldots, i_k} e_1\wedge\ldots \wedge e_n = 0
$$
......@@ -1002,17 +978,13 @@ Alle anderen Terme verschwinden, weil eine Vektor im Produkt doppelt vorkommt.
%2019-04-17
Gestern:
$$
\bigwedge (V) = T(V) / I(V)
$$
$I(V) = \langle v\otimes v\ |\ v\in V \rangle$ Ideal erzeugt durch $v\otimes v$
$$
= \left\{ \sum_{i=1}^k t_i \otimes v_i \otimes v_i z_i \ \middle|\ t_i, t'_i \in T(V), v_i \in V \right\}
$$
$$
[\underbrace{ v_1\otimes \ldots \otimes v_n }_{\in T(V)}] =: i v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \in \bigwedge (V)
$$
......@@ -1020,7 +992,6 @@ $$
nach Konstruktion gilt $v\wedge v = 0$, $v'\in V$ (daraus folgt: $v \wedge w = -w \wedge w$, $v$, $w \in V$, $0= (v+w)\wedge (v+w) = \underbrace{v\wedge v}_{=0} + v\wedge w + w\wedge v + \underbrace{w \wedge w}_{=0} = v\wedge w + w\wedge v$)
Das Bild von $V^{\otimes k}$ in $\bigwedge (V)$ heißt $\bigwedge^k(V)$ -- die Elemente der Länge $k$,
$$
\bigwedge^k (V) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k} \middle| v_{i_l} \in V \right\}
$$
......@@ -1033,13 +1004,10 @@ Beweis:
Wir haben die Aussage darauf reduziert, dass in $\bigwedge_k(V)$ $e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0$
$\longrightarrow$ Reduktion für $k=2$, $n=4$. wird behauptet, dass $\{ e_1\wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_1\wedge e_n, e_2\wedge e_3, e_2\wedge e_4, e_3\wedge e_4 \}$ linear unabhängig sind. Wenn nicht $\exists \alpha_{ij}$:
$$
\alpha_{12}e_1\wedge e_2 + \alpha_{13}e_1\wedge e_j + \alpha_{14} e_1\wedge e_4 + \ldots = 0
$$
$\rightarrow \alpha_{13} e_1e_3\wedge e_2\wedge e_4 = 0 = -\alpha_{13}(e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)$
$$
e_1\wedge \ldots \wedge e_n \neq 0 \Leftrightarrow e_1\otimes \ldots \otimes e_n \notin I(V)
$$
......@@ -1053,13 +1021,11 @@ $$
$$
Sei $x\in I_n(V) = I(V)\cap V^{\operatorname{op}}$. Aus der obigen Rechnung folgt: Wenn man $x$ in der Tensorbasis ausdrückt.
$$
x = \sum_{1\leqslant i_{1}, \ldots, i_n \leqslant n} x^{i_1, \ldots, i_n} e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n}
$$
dann gilt: wenn alle $i_j$'s verschieden sind, so gilt
$$
x^{i_1,\ldots,i_j,i_{j+1},\ldots,l_n} = x^{i_1, \ldots, i_{j+1}, i_j, \ldots, i_n}
$$
......@@ -1086,13 +1052,10 @@ Die explizite Formel ergibt sich daraus, dass $e_1\wedge \ldots \wedge e_n$ ein
$$
f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) = f(e_1) \wedge \ldots \wedge f(e_n) = \ldots\ \text{ (Leibnitz-Formel) } e_1\wedge \ldots \wedge e_n
$$
$[f_{ij}] = M_{\xi}^{\xi} (f)$
$$
f(e_i) = \sum_{j=1}^{n} f_{ij} e_j
$$
$$
f(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) &=& \sum_{j_1,\ldots, j_n = 1}^n f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} e_{j_1} \wedge \ldots \wedge e_{j_n}
\\&=& \sum_{j=(j_1, \ldots, j_1) \in S_n} f_{1,j_1} \cdots f_{n,j_n} \operatorname{sign}(j) e_1\wedge\ldots\wedge e_n
......@@ -1110,7 +1073,7 @@ Interpretiere $\bigwedge^k V^*$ als gewisse multiliniear Abbildung $V^k \to \mat
$$
\bigwedge^k V^* &=& (V^*)^{\otimes k} / I_k(V^*)
\\ (V^*)^{\otimes k} = \{ f\colon V^k \to \mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung } \}
\\ (V^*)^{\otimes k} &=& \{ f\colon V^k \to \mathbb R \ |\ f \text{ multilinieare Abbildung } \}
$$
$$
......@@ -1144,10 +1107,11 @@ $$
$\longrightarrow$ $m$ definiert eine Abbildung
%TODO check \lbrack
TODO%TODO check \lbrack
$$
\overline{m} \colon \bigwedge^kV &\to& \mathbb R
\\ \lbrack v_1\wedge\ldots\wedge v_n \rbrack \mapsto m(v_1\otimes \ldots \otimes v_n)
\\ \lbrack v_1\wedge\ldots\wedge v_n \rbrack &\mapsto& m(v_1\otimes \ldots \otimes v_n)
$$
** Proposition
......@@ -1170,7 +1134,7 @@ $$
v_1 \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v \wedge \ldots \wedge v_k = 0
$$
Zum Iso %TODO ??
Zum Iso TODO%TODO ??
$\bigwedge^k V^* \cong (\bigwedge^k V)^*$: wir brauchen eine nichtsinguläre bilineare Paarung $\bigwedge^kV^*\times\bigwedge^kV\to \mathbb R$ (die für $K=1$ offensichtlich ist)
$$
......@@ -1222,7 +1186,7 @@ $$
$\Rightarrow$ $\det = 0$
%TODO missing
TODO%TODO missing
** Bemerkung
Unter der Identifikation aus der Proposition bekommen wir die Rechenregeln
......@@ -1239,7 +1203,7 @@ $$
%2019-04-23
%TODO missing exercise
TODO%TODO missing exercise
%2019-04-24
......@@ -1273,7 +1237,7 @@ E\to M$ ($\pi$ heißt Bündelprojektion) mit folgenden Eigenschaften:
$$
E|_U := \pi^{-1}(U) \overset{\overset{\psi}{\underset{\text{diffeomorph}}\cong}}\longrightarrow U \times \mathbb R^k
$$
sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)%TODO ??
sodass $\forall q\in U$, $\forall v_1$, $v_2 \in E_q = \pi^{-1}(q)$, $\forall \lambda \in \mathbb R$ gilt: ($\pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \colon U\times \mathbb R^k \to \mathbb R^k$ Projektion)TODO%TODO ??
$$
\pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1 + \lambda v_2) = \pi_{??}^{??}{\mathbb R^k} \circ \psi(v_1) + \lambda\cdot\pi_{\mathbb R^k} \circ \psi(v_2)
......@@ -1320,9 +1284,11 @@ $$
heißen äußere Potenzen von $TM$ bzw. $T^*M$; entsprechend sind $\bigwedge^*(TM)$, $\bigwedge^*(T^*M)$ definiert.
** Proposition
$$
T_{r,s}(M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^k(T^M),\quad \bigwedge^*(TM),\quad \bigwedge^*(T^*M)
$$
sind Vektorbündel über $M$.
Beweis: (Für $T_{r,s}$ andere analog)
......@@ -1349,7 +1315,7 @@ $$
\frac{\partial}{\partial x^{i_r}}
\right|_{q}
\otimes \intd x^{j_1}(q) \otimes \ldots
\otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{%TODO\middle
\otimes \intd x^{j_s} (q) \mathrel{TODO%TODO\middle
|} i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s \in \{ 1, \ldots, n \} \right\}
$$
......@@ -1370,7 +1336,7 @@ $\longrightarrow$ dann ist insbesondere (2) auf errfüllt.
** Fazit
aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruiren ($TM$, $T_{r,s} (M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$)
aus $TM$ kann man jede Menge Vektorbündel Konstruieren ($TM$, $T_{r,s} (M)$ ($= T_{r,s}(TM)$), $\bigwedge^kTM$, $\bigwedge^kT^*M, \ldots$)
Slogan:
......@@ -1433,7 +1399,7 @@ heißen Differentialformen auf $M$
- $\Gamma^{0} (M) = \Gamma\left(\bigwedge^0T^*M\right) = \Gamma(M\times \mathbb R) = C^\infty (M)$
- $\Gamma^{1} (M) = \Gamma \left(\bigwedge^1T^*M \right) = \Gamma(T^*M) =$ Vektorfelder auf $M$
%TODO msisng
TODO%TODO msisng
Wenn $(U, x)$ eine Karte von $M$ ist $\rightsquigarrow$ bekommen
......@@ -1471,7 +1437,7 @@ für gewisse $\omega_{i_1,\ldots, i_k} \in C^\infty(U)$
Algebraisch heißt es:
$$
\left\{ \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} \mathrel{%TODO\middle
\left\{ \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \intd x^{j_1} \otimes \ldots \otimes \intd x^{j_s} \mathrel{TODO%TODO\middle
|} i_1, \ldots, i_r, j_1,\ldots, j_s \in \{ 1,\ldots, n \} \right\}
$$
......@@ -1549,7 +1515,7 @@ Ableitungsoperation ($=$ das äußere Differential) auf Formen.
Letztes Mal:
$$
\Omega^0(M) &=& C^\infty
\\\Omega^1 (M) = \Gamma (T^* M)
\\\Omega^1 (M) &=& \Gamma (T^* M)
$$
haben schon die Ableitungsoperation ($=$ Differential)
......@@ -1617,12 +1583,12 @@ $$
Zu zeigen: $\intd' \omega = \intd \omega$
Nach (4') %TODO ref
Nach (4') TODO%TODO ref
gilt:
$$
\intd'(\wedge_I\intd x^I)
&\overset{\text{Leibnitz (2'%TODO ref
&\overset{\text{Leibnitz (2'TODO%TODO ref
)}}{=}
&
\intd'\omega_I \wedge \intd x^I + \omega_1 \wedge \intd'(\intd x^I)
......@@ -1647,7 +1613,7 @@ Sei $M=\mathbb R^2$, $\omega = P\intd x + Q \intd y$
$$
\intd \omega &=& \left( \frac{\partial P}{\partial x} \intd x + \frac{\partial P}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd x
\\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial G}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
\\&+& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \intd x + \frac{\partial Q}{\partial y} \intd y \right) \wedge \intd y
\\(&=& \intd P\wedge \intd x + \intd Q \wedge dy)
\\&=& \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \intd x \wedge \intd y
$$
......@@ -1735,7 +1701,7 @@ $$
\\&=& (\omega_I \circ f) \intd (f^*(x^{i_1})) \wedge \ldots \wedge \intd (f^*(x^{i_k}))
$$
%TODO missing
TODO%TODO missing
* Integration von Differentialform
......@@ -1778,7 +1744,7 @@ $$
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Ein singulärer $k$-Würfel in $M$ ist eine (glatte) Abbildung $c\colon[0,1]^k \to M$
%TODO Bilchen malwurf
TODO%TODO Bilchen malwurf
** Definition
......@@ -1806,7 +1772,7 @@ Sei $\omega = f(u) \, \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k \in \Omega^k(\mathbb
$$
\int_c \omega &=& \int_{[0,1]^k} c^* \omega = \int_{[0,1]^k} f(c(x)) \operatorname{det} D_x c\,\diffd x^1\cdots \diffd x^k
\\ &\overset{\text{Transformationsformel}}=& \pm \int_{c([0,1]^k)} f(u) \intd^1 u^1 \cdots \intd u^k
%TODO missing
TODO%TODO missing
$$
$$
......@@ -1814,7 +1780,7 @@ $$
\\ - && \text{wenn $\det D_x c >0$ }, \forall x \in [0,1]^k
$$
%TODO Bildchen 2
TODO%TODO Bildchen 2
$$
c^* &=& \tilde f(x) \, \diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^k \in \Omega^k([0,1]^k)
......@@ -1846,7 +1812,7 @@ $$
\\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \omega
$$
%TODO Bilchen
TODO%TODO Bilchen
** Definition
......@@ -1882,7 +1848,7 @@ $$
Sei $c\colon W_k \to M$ ein singulärer $k$-Würfel. Der Rand von $c$ ist die singuläre $(k-1)$-Kette
%TODO author of book might have done a mistake
TODO%TODO author of book might have done a mistake
$$
\partial c &:=& \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c |_{W_{i,j}}
$$
......@@ -1897,7 +1863,7 @@ $$
\\ k=2 &\Rightarrow& \partial c = -c|_{W_{1,0}} + c|_{W_{1,1}} - c|_{W_{2,1}} +c|_{W_{2,0}}
$$
%TODO Bilchen (4)
TODO%TODO Bilchen (4)
Es gilt $\partial(partial(c)) = 0$. ($k=1$ klar, $k=2$:)
......@@ -1980,7 +1946,7 @@ $$
$c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$
%TODO Bilchen
TODO%TODO Bilchen
$$
\partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}}
......@@ -2128,18 +2094,18 @@ $$
Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$
1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$
1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_\alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$