Commit cd0acd24 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-05-08

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ec=$?
if [[ $ec == 0 ]]
then
pdflatex $latexoption for-compile.tex
pdflatex $latexoption for-compile.tex
pdflatex $latexoption for-compile.tex
if [ "$1" == "fail-on-error" ]; then
pdflatex $latexoption for-compile.tex
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fi
else
echo "Compilation failed"
exit $ec
......
......@@ -1943,3 +1943,251 @@ wenn $\operatorname{dim} M=n (+\ldots)$ für $\omega\in \Omega^n(M) \rightsquiga
$$
\int_{\underbrace{ M }_{\text{Mannigfaltigkeit mit Rand}}} \intd \omega' = \int_{\partial M} \omega'
$$
%2019-05-08
* Integration von Differentialformen
$M$ -- eine Mannigfaltigkeit, $\omega \in \Omega^k(M)$
$$
c\colon [0,1]^k \to M
$$
singulärer $k$-Würfel
$$
\int_c \omega &:=& \int_{[0,1]^k} c^*\omega
$$
($c^*\omega \underbrace{\text{linear}}{=} f(u) \intd u^1 \wedge \ldots \wedge du^k$)
haben auch
$$
\partial c = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j}
$$
$c_{i,j}$ ist Einschränkung von $c$ auf $W_{i,j} \leftarrow$ Randkomponente von $[0,1]^k$
%TODO Bilchen
$$
\partial c = c|_{W_{1,1}} -c|_{W_{1,0}} +c|_{W_{2,0}} -c|_{W_{2,1}}
$$
** Satz von Stokes lokale Version
$$
\underbrace{ \text{Newton-Leibnitz}}_{k=1} \text- \underbrace{\text{Green}}_{k=2} \text- \underbrace{\text{Gauss-Ostragradisk}}_{k=3} \text - \underbrace{\text{Stokes-Poincaré}}_{k\in \mathbb N}
$$
Wenn $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$, $c\colon [0,1]^k \to M$ singulärer $k$-Würfel.
Dann gilt:
$$
\int_c \intd \omega = \int_{\partial c} \omega
$$
Beweis:
Zunächst $M = \mathbb R^k$, $c\colon[0,1]^k \hookrightarrow \mathbb R^k$
Für $k=2$:
$$
\omega &\in& \Omega^1([0,1]^2)
\\ \Rightarrow \omega(u) &=& f_1(u)\diffd u^2 + f_2(u) \diffd u^1, \quad u\in [0,1]^2, f_1, f_2 \in C^\infty\left( [0,1]^2 \right)
$$
Integrieren ist linear $\Rightarrow$ können $f_1(u)\diffd u^2$, $f_2(u)\diffd u^1$ separat behandeln
$$
\diffd (f_1(u) \diffd u^2) = \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd ^u1 \wedge \intd u^2
$$
$$
\int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \wedge \intd u^2
&\overset{\text{Def.}}{=}&
\int_{[0,1]^2} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \intd u^2
= \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{\partial f_1}{\partial u_1} \intd u^1 \right] \intd u^2
\\ &=& \int_0^1 (f_1 (1,u_2) - f_1(0,u_2)) \intd u^2
\\&=& \int_{W_{1,1}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 + \int_{W_{2,0}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2
\\&-& \int_{W_{2,1}} \underbrace{ f_1(u) }_{=0} \intd u^2 - \int_{W_{1,0}} f_1(u_1, u_2) \intd u^2 +
\\&=& \int_{\partial [0,1]^2} f_1 (u) \intd u^2
$$
Für $f_2 (u) \diffd u^1 \rightsquigarrow \diffd (f_2(u) \diffd u_1) = -\frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2$
Dann bekommt man analog
$$
-\int \frac{\partial f_2}{\partial u_2} \diffd u_1 \wedge \diffd u_2 = \int_{\partial [0,1]^2} f_2 (u) \diffd u^1
$$
(beachte Vorzeichen bei Randkomponenten!)
Im Allgemeinen (für $k\in \mathbb N$): jedes $\omega\in\Omega^{k-1}\left([0,1]^k\right)$ ist von der Form
$$
\omega(u) = \sum_{i=1}^k \underbrace{ f_2(u) }_{\in C^{\infty}\left( [0,1]^k \right) } \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^{i-1} \wedge \diffd u^{i+1} \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
$$
Dach über $\diffd u^i$ heißt weglassen.
$$
\partial c = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} c_{i,j}
$$
Wegen Linearität reicht es einen Summanden
$$
\omega_i = f_i (u) \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{ \diffd u^i } \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
$$
zu betrachten
$$
\diffd \omega_i = (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \diffd u^1 \wedge \ldots \wedge \diffd u^i \wedge \ldots \wedge \diffd u^k
$$
$$
\int_{[0,1]^k} \diffd \omega_i &=& \int_{[0,1]^k} (-1)^{i+1} \frac{\partial f_i}{\partial u_i} \intd u^1 \cdots \diffd u^k
\\&=& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, u^{i+1}, 1, u^{i+1}, \ldots, u^k) \diffd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^1 }\cdots \diffd u^k
\\&-& \int_{[0,1]^{k-1}} (-1)^{i+1} f_i (u^1, \ldots, u^{i-1}, 0, u^{i+1}, \ldots, u^k) \intd u^1 \cdots \widehat{ \diffd u^i } \cdots \diffd u^k
\\&(*)=& \sum_{l=1}^{k} \sum_{j=0}^{1} (-1)^{l+j} \int_{W_{l,j}} \omega_i = \int_{\partial c} \omega_i
$$
Beachte $(*)$ alle Summanden mit $l\neq i$ verschwinden (da ist eine der Variablen $u^1,\ldots, u^{i-1}, u^{i+1}, \ldots, u^k$ konstant)
Allgemeiner Fall:
$c\colon [0,1]^k \to M$, $\omega \in \Omega^{k-1} (M)$
$c_{i,j} = c|_{W_{i,j}} \cong W_{k-1}$
$$
\int_{\partial c} \omega
&=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^1 (-1)^{i+1} \int_{c_{i,j}} \omega
\\&\overset{\text{Def.}}=& \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^1 (-1)^{i+j} \int_{[0,1]^{k-1}} c_{i,j}^* \omega
\\&=& \int_{\partial[0,1]^k} c^* \omega
\\&\overset{\text{Stokes für } [0,1]^k \text{ eben bewiesen}}=&
\int_{[0,1]^k} \diffd (c^* \omega)
\\&\overset{\diffd c^* = c^* \diffd}=& \int_{[0,1]^k} c^* (\diffd \omega)
\\&\overset{\text{Def.}}=& \int_c \diffd \omega
$$
Errinnerung:
Dann gilt:
$$
\int_{c\circ F} \omega &=& \int_c \omega, \quad \omega \in \Omega^k (M)
$$
Fazit:
$\int \omega$ ist koordinatennabhängig, wenn man nur orientierungserhaltende Koordinatentransformation zulässt.
** Definition
Eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ heißt \emph{orientierbar}, wenn $\exists \omega \in \Omega^n (M)$ mit $\omega(p) \neq 0$, $\forall p\in M$.
** Bemerkung
Die Wahl einer Volumenform $\omega$ definiert eine Orientierung von $T_p M$ für jedes $p\in M$
($(e_1,\ldots, e_n) \in T_pM$ ist positiv orientiert $\Leftrightarrow$ $\omega(e_1, \ldots, e_n) > 0$)
($M$ ist also orientierbar, wenn man alle $T_pM$ konstant orientieren kann)
** Bemerkung
Innerhalb einer Karte $(U,x)$ existiert immer eine Volumenform $\diffd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n$
D.h. Orientierbarkeit hängt davon ab, ob man diese lokalen Volumenformen zu $\omega \in \Omega^n (M)$ „verkleben“ kann. Solche
„lokal-zu-global“-Fragen werden mit der Teilung der Eins behandelt
** Definition
$$
\operatorname{supp} \varphi := \overline{ \{ x\in M \mathrel| \varphi(x) \neq 0 \} }
$$
** Definition
Eine Teilung der Eins auf $M$ ist eine Familie $\{\varphi_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset C^\infty (M, [0,1])$
1. $\{ \operatorname{supp} \varphi_alpha \}$ ist lokal endlich, d.h. $\forall p\in M$ gibts nur endlich viele $\alpha\in A$ mit $p\in \operatorname{supp} \varphi_\alpha$
2.
$$
\sum_{\alpha\in A} \varphi_{\alpha} (p) = 1, \forall p\in M
$$
%TODO Bilchen: Zerlegung der 1 auf R, überschneidende Hügel
** Satz
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ eine Überdeckung von $M$. Dann existiert eine Teilung der Eins $\{ \varphi_k \}_{k\in K}$ mit der Eigenschaft $\forall k\in K \exists \alpha \in A$
(die Teilung der Eins ist der Überdeckung untergeordnet)
Die Menge $K$ kann sogar abzählbar gewählt werden.
Beweis: wird nachgeliefert
** Bemerkung
Kurzfassung des Satzes: Mannigfaltigkeiten sind \emph{parakompakt}
** Proposition
$M$ ist orientierbar genau dann, wenn es einen Atlas
$$
\mathcal A = \{ (U, x) \}
$$
von $M$ gibt mit der Eigenschaft $\det D_{\xi} (y\circ x^{-1}) > 0, \xi \in x(U\cap V)$, für alle $(U,x)$, $(V,y) \in \mathcal A$
Beweis:
Orientierbarkeit $\Rightarrow \exists \mathcal A$:
Sei $\omega \in \Omega^n(M)$ eine Volumenform
$$
\mathcal A := \left\{ \underbrace{ (U,x) }_{\text{Karte}} \ \middle |\ \omega\left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) > 0 \right\}
$$
Das ist ein Atlas (nimm beliebige $(U', x')$ und stelle zwei Koordinaten gegebenenfalls um) $\mathcal A$ erfüllt die Aussage des Satzes, weil wegen $(U,x)$, $(V,y)$ zwei Karten mit $U\cap V \neq \emptyset$
$$
\Rightarrow \omega = f \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n = g \intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n
$$
auf $U\cap V$ mit $f$, $g\in C^\infty (U\cap V)$, $f(p) \neq 0$, $g(p)\neq 0$, $p \in U\cap V$, (weil $\omega \neq 0$)
Es gilt:
$$
\intd y^1 \wedge \ldots \wedge \diffd y^n = \frac{f}{g} \intd x^1 \wedge \ldots \wedge \diffd x^n
$$
und
$$
h = \frac{f}{g} > 0
$$
Andererseits gilt
$$
h(p) = \det D_p(y\circ x^{-1})
$$
weil $f=\omega \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)$, $g=\omega \left( \frac{\partial}{\partial y^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y^n} \right)$
$p\in U\cap V$ (Umbenennung von Differentialformen )
$\Rightarrow \mathcal A$ orientiert
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