Commit df1803b3 authored by Harry Fuchs's avatar Harry Fuchs

2019-06-19

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......@@ -6,4 +6,4 @@ compiling:
artifacts:
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- "output"
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......@@ -469,7 +469,7 @@ Beweis:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V + W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\
V \times W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_2"'] & (V\otimes W)_1 \arrow[d, "\exists!f_1", dashed] & \ \\
& (V\otimes W)_2 & \arrow[u, "\exists!f_2", dashed]
\end{tikzcd}
\end{center}
......@@ -482,12 +482,12 @@ Beh. $f_1$, $f_2$ sind invers zueinander. Betrachte:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, "\bar f"] \\
V\otimes W \arrow[r, "i_1"] \arrow[rd, "i_1"'] & (V\otimes W)_2 \arrow[d, dashed, "\bar f"] \\
& (V\otimes W)_2
\end{tikzcd}
\end{center}
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$.
$f_2\circ f_1$ und $\operatorname{id}$ erfüllen beide die geforderte Eigenschaft an $\bar f$:
$$
(f_2\circ f_1)\circ i_1 &=& i_1
......@@ -497,20 +497,27 @@ Da es aber nur eine solche Funktion gibt, müssen sie gleich sein:
$$
f_2\circ f_1 = \bar f = \operatorname{id}
$$
Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also $f_1$ Isomorphismus
Also $f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{(V\otimes W)_2}$ und analog gilt $f_2\circ f_1 = \operatorname{id}_{(V\circ W)_1}$. Also ist $f_1$ ein Isomorphismus.
** Existenz von $V \otimes W$
Idee: $V\otimes W$ soll von Ausdrücken der Form $v\otimes w$, $v\in V$, $w\in W$ aufgespannt werden und $v\otimes w$ soll linear in $V$ und $W$ sein.
Definition:
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der %TODO der? Eindeutigkeit?
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$.
Sei $X$ eine Menge. Der freie (reelle) Vektoraum auf $X$, $\mathcal F_{\mathbb R}(X)$, ist der (bis auf Isomorphie eindeutige)
(reelle) Vektoraum mit Basis $X$ (ohne Beweis). Er ist isomorph zum Raum der formalen Linearkombination von $X$:
$$
\mathcal F_{\mathbb R}(X) \cong \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \}
\mathcal F_{\mathbb R}(X) &\cong& \{ f\colon X\to \mathbb R\ |\ f(x) \neq 0 \text{ für endlich viele } x\in X \}
\\ x &\mapsto& \eins_x
\\ \eins_x &=& x \mapsto \begin{cases}
1, & y = x \\
0, & y \neq x
\end{cases}
$$
Definiere:
$$
V\otimes W &:=&
{
......@@ -518,13 +525,12 @@ $$
}/\underbrace{
\left\langle\left\{
\begin{subarray}{l}
\eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)}
\\ \eins_{(v, w_1+w_2)} -\eins_{(v,w_1)} -\eins_{(v,w_2)}
\\ \eins_{(\lambda v, w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
\\ \eins_{(v, \lambda w)} - \lambda\eins_{(v,w)}
{(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)},
\\ {(v, w_1+w_2)} -{(v,w_1)} -{(v,w_2)},
\\ {(\lambda v, w)} - \lambda{(v,w)},
\\ {(v, \lambda w)} - \lambda{(v,w)}
\end{subarray}
\mathrel{%TODO\middle
|}
\mathrel{\Bigg |}
\begin{subarray}{l}
v_1, v_2, v\in V,
\\w_1, w_2, w\in W,
......@@ -543,7 +549,7 @@ $$
Sei
$$
i \colon &V\times W& \to V\otimes W
\\ &(v,w)& \mapsto \left[\eins_{(v,w)}\right] =: v\otimes w
\\ &(v,w)& \mapsto \left[{(v,w)}\right] =: v\otimes w
$$
Diese Definition heißt, dass folgende Rechenregeln gelten:
......@@ -558,11 +564,11 @@ $$
§$$
§ v_1\otimes w + v_2 \otimes w
§ &=& [(v_1,w)] + [(v_2, w)]
§ \\&=& {\eins}_{(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& \eins_{(v_1,w)} + \eins_{(v_2, w)} + \left(\left( \eins_{(v_1+v_2, w)} -\eins_{(v_1,w)} -\eins_{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle \right)
§ \\&=& \eins_{(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& \left[\eins_{(v_1+v_2, w)}\right]
§ \\&=& {(v_1,w)} + \langle\ldots\rangle + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&\overset{\langle\ldots\rangle \text{ ist UV}}=& {(v_1,w)} + {(v_2, w)} + \left(\ \left({(v_1+v_2, w)} -{(v_1,w)} -{(v_2,w)} \right) + \langle\ldots\rangle\ \right)
§ \\&=& {(v_1+v_2, w)} + \langle\ldots\rangle
§ \\&=& \left[{(v_1+v_2, w)}\right]
§ \\&=& (v_1+v_2)\otimes w
§$$
......@@ -1419,13 +1425,13 @@ Schnitte von $T_{r,s}(TM)$ heißen Tensoren vom Typ $(r,s)$ auf $M$.
** Definition
$$
O^k(M) := \Gamma \left(\bigwedge^k T^*M\right)
\Gamma^k(M) := \Gamma \left(\bigwedge^k T^*M\right)
$$
heißen Differentialformen auf $M$
- $O^{0} (M) = \Gamma\left(\bigwedge^0T^*M\right) = \Gamma(M\times \mathbb R) = C^\infty (M)$
- $O^{1} (M) = \Gamma (\bigwedge^1T^*M) = \Gamma(T^*M)$-Vektorfelder auf
- $\Gamma^{0} (M) = \Gamma\left(\bigwedge^0T^*M\right) = \Gamma(M\times \mathbb R) = C^\infty (M)$
- $\Gamma^{1} (M) = \Gamma \left(\bigwedge^1T^*M \right) = \Gamma(T^*M) =$ Vektorfelder auf $M$
%TODO msisng
......@@ -3554,3 +3560,239 @@ exakt $\Leftrightarrow \diffd$ Isomorphismus
** Bemerkung
$H^*(C^*, \diffd)$ misst genau, inwiefern $(C^*, \diffd)$ nicht exakt an $C^k$ ist.
%2019-06-18
%TODO
TODO missing 2019-06-18
%2019-06-19
Gestern:
Haupsatz der homologischen Algebra:
eine exakte Sequenz
%TODO Bildchen
von Kokettenkomplex gibt eine lange exakte Sequenz in Kohomologien
%TODO Bilchen
Nachtrag:
%TODO Bilchen
$\leftarrow$ Spalten exakt ($\operatorname{ker} i = \operatorname{Im} q$, $i$ injektiv, $q$ surjektiv)
Sei $[\alpha] \in H^k(B_*)$ mit $q_*([\alpha]) = 0$
D.h. $\alpha' := q(\alpha) = \diffd \beta$, $q$ surjektiv $\Rightarrow \exists \beta'$ mit $q(\beta') = \beta$
$$
q''(\diffd \beta')= \diffd(q(\beta')) = \diffd \beta = \alpha' = q(\alpha) \Rightarrow q(\alpha -\diffd \beta') = 0
$$
$$
\Rightarrow \alpha- \diffd \beta' = i(\gamma)
$$
$$
i(\diffd \gamma) = \diffd(i(\gamma )) = \diffd (\alpha - \diffd \beta') = \diffd \alpha = 0,\ i \text{ injektiv}
$$
$$
\Rightarrow \diffd \gamma = 0 \Rightarrow [\gamma] \in H^k(A_*)
$$
$$
i_*[\gamma] = [i(\gamma)] = [\alpha - \diffd\beta'] = [\alpha] \Rightarrow [\alpha] \in \operatorname{Im} i_*
$$
** Korollar: (Maquer-Vietoris)
$M= U\cup V$, beide offen, $U\cap V$ offen
% $\Rightarrow \exists$ l.e.S
%TODO
% \begin{center}
% \begin{tikzcd}
% \arrow[r, "\diffd^*"] & H^k(M) \arrow[rr, "i^*_v \oplus i^*_v"] & {} & H^k(V)\oplus H^k(V) \arrow[rr, "q_*"] & {} & H^k(U\cap V) \arrow[rr, "\diffd^*"] & {} & H^{k+1}(M) \arrow[r] & \ldots
% \end{tikzcd}
% \end{center}
** Proposition (Kohomologie von Sphären)
Sei
$$
S^d = \{ x\in \mathbb R^{d+1}\mathrel | \lVert x \rVert_2 = 1 \}
$$
die $d$-dimensionale Sphäre. Dann gilt:
$$
H^k(S^d) \cong \begin{cases}
\mathbb R, & k=0 \mathrel\text{oder} k=d \\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
$$
*** Induktion
$d=1$ haben wir es schon ausgerechnet. Induktionsvoraussetzung. Sei die Behauptung richtig für Sphären von Dimension $\leqslant d-1$
%TODO Bilchen
$$
S^d = U\cup V,\quad V = \left\{ x\in S^d \mathrel | x_{d+1} > -\frac{1}{2} \right\},\quad V = \left\{ x\in S^d | x_{d+1} < \frac{1}{2} \right\}
$$
$$
U\cap V \simeq S^{d-1},\quad U,V \cong \{*\}, \quad \text{explizite Homotopien - Übung}
$$
** Mayer-Vietoris-Sequenz
\begin{tikzcd}
\arrow[r] & H^k(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^k(V) }_{=0}\oplus \underbrace{ H^k(V) }_{=0} \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & \underbrace{ H^{k+1}(V)\oplus H^{k+1}(V) }_{=0} \arrow[r] & \ldots
\end{tikzcd}
($k\geqslant 1$)
$\Rightarrow$
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & H^k(S^{d-1}) \arrow[r] & H^{k+1}(S^d) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
ist exakt $\Rightarrow$
%TODO missing
TODO missing
$N\subset M$, $M\setminus N$. Möchte die Zerlegung betrachten $M=N \cup (M\setminus N)$, $N$ abgeschlossen, $M$ offen.
** Definition
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit,
$$
\Omega_c^k(M) := \{ \omega\in\Omega(M) \mathrel| \operatorname{supp} \omega \operatorname{kompakt} \}
$$
*** Bemerkung
$M$ kompakt $\Rightarrow \Omega_c^k(M) = \Omega^k(M)$
*** Beweis
$$
\omega \in \Omega_c^k(M) \Rightarrow \diffd \omega \in \Omega_c^{k+1}(M)
$$
D.h. ($(\Omega_c^*(M), \diffd)$ ist auch ein Kokettenkomplex)
$$
\rightsquigarrow H^k_c(M) := H^k\left( ( \Omega^*_c(M), \diffd ) \right)
$$
heißt Kohomologie von $M$ mit kompakten Träger.
Wiederum:
$$
M \text{ kompakt } \Rightarrow H^d(M) = H^k_c(M) \quad \forall k\in \mathbb N
$$
Sei $N\subset M$ eine Untermannigfaltigkeit, $i\colon N \hookrightarrow M$ die Inklusionsabbildung,
$$
i^*\colon \Omega^k(M) \to \Omega^k(N), \quad k\in \mathbb N
$$
die induzierte Abbildung auf Formen (= Einschränkung auf $N$), $\ker i^* =$ besteht aus Formen, die auf $N$ verschwinden, $i^*$ surjektiv
$\Omega^*(M,N) := \{ \omega \in \Omega^*(M) \mathrel | i^* \omega = 0 \}$
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & {\Omega^*(M,N)} \arrow[r] & \Omega^*(M) \arrow[r] & \Omega^*(N) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
$\uparrow$ ist eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen
$\Rightarrow$ erhalten eine lange exakte Sequenz
$H^k(M,N) := H^k(\Omega^*(M,N))$ = Kohomologie von $M$ relativ zu $N$, relative Kohomologie von $M$ bzgl. $N$
\begin{tikzcd}
\ldots \arrow[r] & {H^k(M,N)} \arrow[r] & H^k(M) \arrow[r] & H^k(N) \arrow[r] & {H^{k+1}(M,N)} \arrow[r] & \ldots
\end{tikzcd}
*** Problem
$H^k(M,N)$ ist mysteriös :-( .
Lösung: gibt's für $N$ kompakt, was wir ab jetzt annehmen
%TODO Bilchen
%TODO Bilchen
*** Beweis
$\Omega^*_c(M\setminus N) \subseteq \Omega^*(M,N)$
Setze $C^k := \Omega^k(M,N) / \Omega_c^k (M\setminus N)$
$\rightsquigarrow$ kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen
%TODO Bilchen
$\Rightarrow$ l.e.S.
%TODO Bildchen
** Proposition $H^k(C^*) = 0$ für alle $k\in \mathbb N$
($\Rightarrow H^k_c(M\setminus N) \cong H^k(M,N)$)
** Beweis
Wir werden die folgende Zusatzaussage benutzen (Existenz einer tubularen Umgebung), wenn $N$ kompakt ist, dann $\exists T\subseteq M$ offen, $N\subseteq T$ und so dass
\begin{tikzcd}
N \arrow[r, "\sim", hook] & T
\end{tikzcd}
eine Homotopieäquivalenz
Sei $[\omega] \in C^k$ mit $[\diffd \omega] = \diffd[\omega] = 0 \in C^{k+1}$
$\Rightarrow \diffd = \eta \in \Omega_c^{k+1}(M\setminus N)$
Wollen: $[\omega] = \diffd[\sigma]$, also wollen wir ein $\sigma \in \Omega^{k-1}(M,N)$ finden, sodass $\diffd\sigma - \omega \in \Omega_c^k(M\setminus N)$
Aus der Vorraussetzung an $T$ folgt: $\exists p\colon T\to N$, die eine Homotopieäquivalenz ist (sogar mit $p|_N = \operatorname{id}$)
Betrachte jetzt die Form $\omega - p^*\omega$ auf $T$, da $N\simeq T$, gilt $H^k(T,N) = 0$, und deswegen ist $\omega - p^*\omega$ exakt, also
$$
\exists v \in \Omega^{k-1}_c(T, N)
$$
mit $\omega-p^*\omega = \diffd v$
Nun gilt:
$$
p = i\circ p \Rightarrow p^* = p^*\circ i^*
$$
folglich gilt $p^*\omega = p^*\circ i^*(\omega) = 0 \Rightarrow \omega = \diffd v$
Sei $\varphi \in C^\infty(M, [0,1])$ eine Funktion mit:
$\varphi \equiv 1$ auf einer Umgebung von $N$, $\varphi \equiv 0$ auf $M\setminus T$
Dann gilt: $\varphi\colon v\in \Omega^{k-1}(M,N)$, $\omega - \diffd(\varphi v) \in \Omega^k_c (M\setminus N)$
$\Rightarrow \sigma = \varphi v$ funktioniert und der Beweis ist fertig.
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