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2019-06-26

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......@@ -3972,3 +3972,209 @@ Pseudo-Riemansche Metrik: das Gleiche mit „nicht ausgeartet“ statt „pos. d
\\ \ast \diffd X^\flat &\in& \Omega^1(\mathbb R^3)
\\ \operatorname{rot} X &=& (\ast \diffd X^\flat)^\sharp
$$
%2019-06-26
Riemansche Mannigfaltigkeit $(M, g)$,
$$
g\in \Gamma(T^*M\otimes T^*M)
$$
ein Skalarpodukt auf $T^*M$
1. $g$ induziert „musikalische Isomorphismen“
$$
\flat \colon TM \to T^*M
\\ \sharp \colon T^*M \to TM
$$
2. Hodge-Stern-Operator
Sei $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ ein orientierter euklidischer Vektoraum
- $\flat\colon V\to V^*$ ist ein Isomorphismus, $V^*$ auch orientiert (durch Dualbasen bzw. durch $\flat$)
Wenn nun $n=\dim V\Rightarrow \bigwedge^n V^* \cong \mathbb R$; sei nun $e_1^*, \ldots, e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis in $V^*$.
$$
\operatorname{vol} = \omega := e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^* \in \bigwedge^n V^*, \quad \omega \neq 0, \text{weil } e_1^*, \ldots, e_n^*
$$
eine Basis (Volumenform auf $V$)
Beweis:
$\omega$ hängt nicht von der Wahl einer positiv orientierten Orthonormalbasis (ONB) in $V^*$ ab.
Dazu sei $f_1^*, \ldots, f_n^*\in V^*$ eine andere positiv orientierte Orthonormalbasis.
$$
f_1^*\wedge\ldots\wedge f_n^* &=& \underbrace{ \det M_F^\xi}_{\in SO(u), \text{ weil } \xi, F' \text{ONB, gleich orientiert} } \cdot e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^*
\\ \Rightarrow \det M_F^\xi &=& 1
$$
Geometrische Interpretation:
$$
\omega(v_1, \ldots, v_n) = \underbrace{\pm}_{\text{je nach Orientierung}} \operatorname{vol} ( Spat )
$$
%TODO Spat Bildchen
Wir definieren jetzt einen Operator
$$
\ast \colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge^{n-k}V^*
$$
Dazu: $\flat$, $\sharp$ induzieren auch Isomorphismen
$$
\flat \colon \bigwedge^k V \to \bigwedge^k V^*
\sharp \colon \bigwedge V^* \to \bigwedge^k V
$$
Dies definiert ein Skalarpodukt auf $\bigwedge^k V^*$:
$$
\langle \alpha, \beta \rangle := \alpha(\beta^\sharp)
$$
Explizit:
wenn $\alpha = \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_k$, $\beta = \beta_1\wedge\ldots\wedge\beta_k$
$$
\langle \alpha, \beta \rangle &=& \alpha(\beta^\sharp)
\\&=& \det(\alpha_i (\beta_j^\sharp))_{i,j = 1}^k
\\&=& \det (\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{V^*})_{i,j = 1}^k
\\&=& \det (\langle \alpha_i^\sharp, \beta_j^\sharp \rangle_V)_{i,j = 1}^k
$$
$\ast\colon \bigwedge^k V^* \to \bigwedge{n-k}V^*$ ist jetzt eindeutig durch folgende Eigenschaft bestimmt:
$\forall \alpha, \beta \in \bigwedge^kV^*$ gilt
$$
\alpha \wedge \ast \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \omega = \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \operatorname{vol}
$$
Explizite Formel für $\ast$: sei $e_1^*,\ldots,e_n^*$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Es gilt:
$$
\langle e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^*, e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^* \rangle = \det E = 1
$$
Es muss dann gelten:
$$
\left(e_{i_1}^* \wedge\ldots\wedge e_{i_k}^*\right) \wedge \ast \left( e_{i_1}^* \wedge \ldots \wedge e_{i_k}^* \right) = e_1^*\wedge\ldots\wedge e_n^*
$$
** Beispiel
$$
\dim V = 4, \quad e_1^*, \ldots, e_4^* \quad ONB \text{ in } V^*
$$
$$
\ast \underbrace{ 1 }_{\in \bigwedge^0V^*} = e_1^*\wedge \ldots \wedge e_4^*
\\ \ast e_1^* = e_2^* \wedge e_3^* \wedge
\\ TODO
$$
Wenn $(M, g)$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit ist, ist $()$
%TODO missing
TODO missing
D.h. auf einer Riemanschen Mannigfaltigkeit kann man einfach Funktionen integrieren
$$
\int_M f \text{ könnte man durch } \int_M f\cdot \operatorname{vol} \text{definieren}
$$
Dieses Integral kann man zur Aufstellung der Maßtheorie auf $M$ benutzen $\rightsquigarrow$ jede Riemansche Mannigfaltigkeit trägt ein kanonisches positives Maß.
Expliziter Ausdruck für $\operatorname{vol}$: wenn $(U, x)$ eine Karte auf $M$ ist, bekommen wir durch eine Riemansche Metrik auf $x(U)$ ($=$ Ausdruck von $g$ in Koordinaten):
$$
g_{ij} := g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right)
$$
sind Einträge der Gram-Matrix von $g$ in der Basis $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$
Wenn $\frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}$ positiv orientiert ist,
$$
\operatorname{vol} \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right) \overset{\text{LAAG}}= \sqrt{\det (g_{ij})^n_{i,j = i}} =: \sqrt{g}
$$
Der Hodge-Operator definiert ein Skalarpodukt auf $\Omega^k(M)$:
$$
\langle \alpha, \beta \rangle := \int_M \alpha \wedge \ast \beta = \int_M \langle\alpha(p), \beta(p)\rangle_{\bigwedge^k T^*_p M} \operatorname{vol}
$$
Durch Vervollständigung von $\Omega_c^k(M)$ bzgl $\langle \cdot, \cdot \rangle$ bekommen wir einen Hilbertraum
$$
L^2\left(\bigwedge^kT^*M\right) \text{ oder } \Omega_{(2)}^k (M)
$$
Somit wird $\diffd \colon \Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ zu einem Operator zwischen Räumen mit Skalarpodukt.
Idee: studiere den adjungierten Operator $\diffd^*\colon \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M)$. $\diffd^*$ (wenn es existiert) muss durch die Bedingung
$$
\langle \diffd \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \diffd^*\beta\rangle
$$
eindeutig festgelegt sein.
** Beispiel
$M=S^1$, $C^\infty(S^1) = \Omega^0(S^1) \overset\diffd\longrightarrow \Omega^1(S^1)$
$$
\diffd f = f'(\theta)\diffd \theta
$$
$$
\langle \diffd f, \underbrace{ \alpha }_{\alpha(\theta)\diffd\theta} \rangle &=& \int_{S^1}f'(\theta)\alpha(\theta)\diffd\theta
\\ &\overset{\text{positiv orientiert}}=& -\int_{S^1} f(\theta) \alpha'(\theta)\diffd \theta
\\ := \ldots \langle f, \diffd^*\alpha \rangle \Rightarrow (\diffd^*\alpha)(\theta) = -\alpha'(\theta)
$$
** Lemma
Sei $\diffd\colon\Omega_c^k(M) \to \Omega_c^{k+1}(M)$ das Differential. Der adjungierte Operator $\diffd^* = \delta$ ist gegeben durch
$$
\diffd^* = (-1)^{k+1} \ast^{-1}\circ\operatorname{\diffd}\circ\operatorname\ast
$$
[Beachte $\ast^2 = \pm \operatorname{id}$, $\pm$ hängt von $n$, $k$ ab]
** Beweis
Seien $\alpha\in\Omega^k(M)$, $\beta\in \Omega_c^{k+1}(M)$.
$$
\langle \diffd \alpha, \beta\rangle &=& \int_M \diffd \alpha \wedge\ast\beta
\\&=& \int_M \diffd(\alpha\wedge\ast \beta) -(-1)^k\alpha\wedge\diffd(\ast \beta)
\\&\overset{\text{Stokes}}=& 0 +(-1)^{k+1}\int_M\alpha \wedge \ast(\ast^{-1}\diffd\ast\beta)
\\&=& \left\langle \alpha, (-1)^{k+1}\ast^{-1}\diffd\ast\beta\right\rangle
$$
** Definition
Der Laplace-Operator auf $\Omega^k(M)$ ist definiert durch
$$
\Delta = \diffd^*\diffd + \diffd \diffd^*
$$
\begin{tikzcd}
\Omega^o \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] & \Omega^1 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \Omega^2 \arrow[r, "\diffd", shift left=0.75ex] \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex] & \ldots \arrow[l, "\diffd^*", shift left=0.25ex]
\end{tikzcd}
** Lemma: $\Delta$ erfüllt
1. $\Delta$ ist symetrische, positiv semidefinit:
2. $\Delta$ kommutiert mit $\diffd$ und $\diffd^*$
3. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap \ker \diffd^*$
4. $\ker \Delta = \ker \diffd \cap (\operatorname{im} d)^1$
Beweis:
1. $\Delta^* = (\diffd^*\diffd)^* + (\diffd \diffd^*)^* = \Delta$, $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle = \langle \diffd \alpha, \diffd \alpha \rangle + \langle \diffd^*\alpha, \diffd^*\alpha \rangle \geqslant 0$
2. $\diffd \Delta = \diffd\diffd^* \diffd = \Delta \diffd$ wegen $\diffd^2 = 0$, analog für $\diffd^*$
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