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......@@ -8,7 +8,7 @@ Seien $U,V\subset\mb R^n$. Eine Abbildung $f\colon U\to V$ heißt Diffeomophismu
\end{defn}
\begin{defn}
Sei $I\subset\mb R$. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
Sei $I\subset\mb R$ ein Intervall. Eine (glatte) Abbildung $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt (glatte) Kurve.
\label{def_kurve}
\end{defn}
......@@ -25,7 +25,7 @@ Nachdem wir nun das Objekt Kurve definiert haben, widmen wir uns der ersten geom
\begin{defn}
Sei $\gamma\colon I=[a,b]\to\mb R^n$ eine stetige Kurve. Durch
\begin{equation}
L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} ~\vert~ n\in\mb N \rb
L(\gamma):=\sup_{a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b \atop n\in \mathbb N}\lb \sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)} \rb
\end{equation}
definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gamma)<\infty$, so heißt $\gamma$ rektifizierbar.
\label{def_laenge}
......@@ -35,7 +35,7 @@ definieren wir die Länge $L(\gamma)$ einer stetigen Kurve $\gamma$. Ist $L(\gam
\begin{rem}
Für den Fall, dass $\gamma\colon I\to\mb R^n$ eine stetige Kurve ist und $I$ (halb-)offen, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle $I'\subset I$
\begin{equation}
L(\gamma) := \sup_{I'\subset I} \lb L\lt\left. \gamma\right.\vert_{I'}\rt\rb.
L(\gamma) := \sup_{I'\subset I\atop I'\text{Intervall, abg.} } \lb L\lt\gamma\vert_{I'}\rt\rb.
\end{equation}
\end{rem}
......@@ -53,7 +53,7 @@ Eigentlich reicht für dieses Theorem $\gamma\in C^1$ aus. Unserer Wahl nach ist
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert.
\item Die Summe $\sum_{i=0}^{n-1}\norm{\gamma(t_{i+1}-\gamma(t_i))}$ aus der Defintion \ref{def_laenge} wächst, wenn man die genutzte Partition verfeinert. (Dreicksungleichung)
\item Es dürfen abgeschlossene Intervalle $I$ angenommen werden, denn für halb-/offene Intervalle ist die Länge als Supremum über abgeschlossene Teilintervalle definiert.
\item Für glatte $\gamma\colon I\to\mb R^n$ gilt mit $I=[c,d]$ die Abschätzung
$$ \norm{\gamma(d)-\gamma(c)} \leq (d-c)\sup_{t\in[c,d]} \norm{\dot\gamma(t)}$$
......@@ -166,7 +166,7 @@ Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mb R^n$ heißt nach Bogenlänge parametrisiert, we
Im Fall von Def. \eqref{def_bogenpara} gilt für $a,b\in I$ mit $a<b$ die Gleichheit $L\lt \left. \gamma\right\vert_{[a,b]} \rt=b-a$
\end{rem}
Wenn $\gamma\colon I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)>0~\forall t\in I}$, dann ist die Abbildung
Wenn $\gamma\colon I\to\mb R^n$ regulär ist, also $\norm{\dot\gamma(t)}>0~\forall t\in I$, dann ist die Abbildung
\begin{eqnarray}
s\colon [c,d] &\to & [0, L(\gamma)] \\
s(t) &=&\int_c^t\norm{\dot\gamma(\tau)} {\rm d}\tau = L\lt \left. \gamma\right\vert_{[c,t]} \rt
......@@ -250,7 +250,7 @@ Die Eindeutigkeit der Kurve für geg. $\gamma(t_0), e_i(t_0), \kappa_1,\ldots, \
Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre Frenet-Kurve im Fall $n=2$, die nach Bogenlänge parametrisiert ist und bezeichnen $e_1,e_2$ die Frenet-2-Basis. Aus der Frenet-Gleichung wissen wie, dass $\dot e_1=\kappa e_e$ gilt. Sei nun $t_0\in I$. Wir interessieren uns für eine geometrische Interpretation von $\kappa(t_0)$. Da $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist, ist $\norm{\dot\gamma(t)}=1$ und damit $\dot\gamma(t)=e_1(t)$ und $\ddot\gamma(t)=e_2(t)$.
\begin{prop}
Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zurr zweiten Ordnung.
Sei $\gamma$ wie vorig beschrieben mit $\gamma(t_0)\neq 0$. Der Kreis mit Mittelpunkt $\gamma(t_0)+\frac{e_2(t_0)}{\kappa(t_0)}$ und Radius $\frac{1}{\kappa(t_0)}$ ist eindeutig bestimmt und approximiert die Kurve $\gamma$ im Punkt $\gamma(t_0)$ bis zur zweiten Ordnung.
\end{prop}
\begin{proof}
Folgt leicht aus Taylorentwicklung.
......@@ -261,12 +261,12 @@ Der eben benannte Kreis wird Schmiegkreis von $\gamma$ and $\gamma(t_0)$ genannt
\label{def_schmiegkreis}
\end{defn}
Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\simeq\mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\simeq \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
Man stelle sich nun vor, dass man sich mit der Einheitsgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Die Krümmung eines Kreises ist konstant $\frac{1}{r}$ und entspricht in dem Fall auch der Winkelgeschwindigkeit des Tangentialvektors, denn auf der Länge $2\pi r$ dreht sich der Tangentialvektor gerade um $2\pi$. Dieser Gedankengang gilt auch im allgemein Fall. Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine reguläre glatte nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir identifizieren $\mb R^2\cong \mb C$. Sei nun $t_0\in I$. Dann ist $\dot\gamma(t_0)=e_1(t_0)\in\mb R^2\cong \mb C$. Wegen $\norm{\dot\gamma(t_0)}=1$ existiert $\alpha_0\in\mb R$ mit $\dot\gamma(t_0)=\exp\lt i\alpha_0\rt$.
\begin{defn}
Die Abbildung
\begin{eqnarray}
\alpha\colon &I\to\mb R & \\
\alpha\colon I&\to&\mb R \\
t&\mapsto&\alpha_0 + \int_{t_0}^{t}\kappa(\tau)\mr d\tau
\end{eqnarray}
heißt Winkel von $\gamma$.
......@@ -299,7 +299,7 @@ n_\gamma := \frac{1}{2\pi} \int_a^b \kappa(\tau) \mr d\tau.
\end{equation}
\label{def_umlaufzahl}
\end{defn}
Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Wikipedia}. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
Für eine kleine geometrische Interpretation siehe \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl}{Windungszahl} in der Wikipedia. Wir beobachten, dass für jede geschlossene Kurve $n_\gamma\in\mb Z$. Das ist leicht zu sehen, denn, wenn $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^2$ geschlossen ist, dann gilt nach obigem Lemma $\dot\gamma(a)=\exp\lt i\alpha(a)\rt = \exp\lt i\alpha(b) \rt=\dot\gamma(b)$ und damit generisch $\alpha(b)-\alpha(a)\in 2\pi\mb Z$. Gleichzeitig ist jedoch $\alpha(b)-\alpha(a)=\int_a^b \kappa(t)\mr dt=2\pi n_\gamma$ und somit $n_\gamma\in\mb Z$.
\begin{defn}
Eine geschlossene Kuve $\gamma\colon [a,b]\to\mb R^n$ heißt einfach geschlossen, wenn
......@@ -320,7 +320,7 @@ Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen Kurve ist $\pm 1$.
\section{Isoperimetrische Ungleichung}
Sei $\gamma\colon I\to\mb R^2$ eine einfach geschlossene Kurve und $\Omega\subset\mb R^2$ ein Gebiet mit $\partial\Omega=\gamma(I)$. Unterdiesen Bedingungen gilt die isoperimetrische Ungleichung
\begin{equation}
\int_\Omega \mr dx \mr dy =:A(\Omega) \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
A(\Omega) :=\int_\Omega \mr dx \mr dy \leq \frac{1}{4\pi} L(\gamma)^2.
\end{equation}
\begin{proof}
......@@ -370,7 +370,7 @@ und damit die Behauptung $A(\Omega)\leq\frac{L(\gamma)^2r^2}{4\pi r^2} = \frac{L
\begin{theo}
Sei $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetige Kurve, welche das beschränkte Gebiet $\Omega$ derart berandet, sodass das Frenet-2-Bein von $\gamma$ positiv orientiert ist. Seien weiterhin $p$, $q\colon \bar\Omega\to\mb R$ glatte Abbildungen. Dann gilt
\begin{equation}
\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d
\int_\gamma p(x,y)\mr dx + q(x,y)\mr d y = \int_\Omega \lt \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \rt (x,y) \mr dx\mr d y
\end{equation}
\end{theo}
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