Weil $\diffd^2=0$, gilt $B^k(M)\underbrace{\subseteq}_{\text{i.A. }\neq} Z^k(M)$
$$
H^k(M) := Z^k(M)/K^k(M)
$$
heißt $k$-te de Rhan-Kohomologie. $H^k(M)$ ist ein $\mathbb R$-Vektorraum und eine Wichtige Invariante von $M$.
** Proposition
Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine lineare Abbildung
$$
f^*\colon H^k(N)\to H^k(M)
$$
es gilt $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$.
** Bemerkung
Sei $f^*\colon\Omega(N)\to\Omega^k(M)$ Pullback von Formen. Wir haben bewiesen, dass $f^*(\diffd\omega)=\diffd(f^*\omega)$, $\forall\omega\in\Omega^k(N)$
Es folgt:
$$
f^*(Z^k(N))&\subseteq& Z^k(M)
\\ f^*(B^k(N))&\subseteq& B^k(M)
$$
$\Rightarrow f^*$ induziert eine Abbildung $f^*\colon Z^k(N)/B^k(N)\to Z^k(M)/B^k(M)$
$$
(f\circ g)^*= g^*\circ f^*
$$
gilt schon auf Formen.
** Korollar
$M\cong N \Rightarrow H^k(M)\cong H^k(N)\quad\forall k\geqslant0$. Wie berechnet man $H^k(M)$?
Zwei Mannigfaltigkeiten $M$, $N$ heißen homotopiäquivalent, wenn $\exists f\colon M\to N$, $\exists g\colon N\to M$ mit $g\circ f \simeq\operatorname{id}_M$, $f\circ g \simeq\operatorname{id}_N$
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $N$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $k$, $i_0$, $i_1\colon N\to M$ zwei Einbettungen . Wenn $i_1$, $i_2$ homotop sind, gilt:
$$
\int_{i_0(N)}\omega=\int_{i_1(N)}\omega
$$
für jede geschlossene Form $\omega\in\Omega^k(M)$
Beweis:
Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$