2019-05-29

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@@ -2867,3 +2867,270 @@ weil $\Omega^{n+1}(M) = 0$ $\Rightarrow \omega$ geschlossen, aber nicht exakt.
 
 $B^k(M) \nsubseteq Z^k(M)$, $H^k (M) := Z^k(M) / B^k (M)$ heißt ($k$-te) de Khan-Kohomologie von $M$
 
+%2019-05-29
+
+Gestern:
+
+Stokes: 
+
+$$
+  \int_M \intd \omega = \int_{\partial M} \omega
+$$
+
+$$
+  \langle [M], \diffd \omega \rangle = \langle [\partial M], \omega \rangle
+$$
+
+** Definition: Kozykel
+
+$$
+  Z^k(M) = \{\omega\in\Omega^k(M)\mathrel| \diffd \omega = 0 \}
+$$
+
+heißen \emph{Kozykel} oder \emph{geschlossene Formen}
+
+** Definition: Koränder
+
+$$
+  B^k(M) = \{ \omega \in \Omega^k(M)\mathrel| \omega = \diffd \eta \}
+$$
+
+heißen \emph{Koränder} oder \emph{exakte Formen}.
+
+Weil $\diffd^2 = 0$, gilt $B^k(M)\underbrace{\subseteq}_{\text{i.A. }\neq} Z^k(M)$
+
+$$
+  H^k(M) := Z^k(M)/K^k(M)
+$$
+
+heißt $k$-te de Rhan-Kohomologie. $H^k(M)$ ist ein $\mathbb R$-Vektorraum und eine Wichtige Invariante von $M$.
+
+** Proposition
+
+Jedes $f\colon M\to N$ glatt induziert eine lineare Abbildung
+
+$$
+  f^*\colon H^k(N) \to H^k(M)
+$$
+
+es gilt $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$.
+
+** Bemerkung
+
+Sei $f^*\colon \Omega(N) \to \Omega^k(M)$ Pullback von Formen. Wir haben bewiesen, dass $f^*(\diffd \omega) = \diffd(f^*\omega)$, $\forall\omega\in \Omega^k(N)$
+
+Es folgt:
+
+$$
+  f^*(Z^k(N)) &\subseteq& Z^k(M)
+  \\ f^*(B^k(N)) &\subseteq& B^k(M)
+$$
+
+$\Rightarrow f^*$ induziert eine Abbildung $f^*\colon Z^k(N)/B^k(N) \to Z^k(M)/B^k(M)$
+
+$$
+  (f\circ g)^* = g^*\circ f^*
+$$
+
+gilt schon auf Formen.
+
+** Korollar
+
+$M\cong N \Rightarrow H^k(M)\cong H^k(N)\quad \forall k\geqslant 0$. Wie berechnet man $H^k(M)$?
+
+ - $k=0$
+    $H^0(M) = Z^0(M) = \{ \varphi \in C^\infty(M)\mathrel| d\varphi = 0 \}$
+    $$
+      \diffd \varphi = 0 \Rightarrow \varphi \text{ lokal konstant}
+    $$
+    Also wenn $M$ zusammenhängend ist, gilt: $H^0(M) \cong \mathbb R$
+
+** Definition
+
+$$
+  b_k(M) := \dim_{\mathbb R} H^k(M)
+$$
+
+heißt $k$-te Bettizahl von $M$
+
+** Beispiel
+
+$M=S^1$, $H^0(S^1)\cong\mathbb R$, $H^1(S^1) = ?$, $Z^1(S^1) = \Omega^1(S^1)$, weil $\dim S^1 = 1$
+
+$$
+  B^1(S^1) = \{ \omega\in \Omega^1\mathrel| \omega = \diffd \varphi \}
+$$
+
+$$
+  \int_{S^1} \diffd \varphi \overset{\text{Stokes}}= \int_{\partial S^1} \varphi = \int_{\emptyset} \varphi = 0
+$$
+
+Also gilt:
+
+$$
+  \int_{S^1}\colon Z^1(S^1) \to \mathbb R, \quad \int_{S^1} \supseteq B^1(S^1)
+$$
+
+$\Rightarrow$
+
+$$
+  \int_{S^1} \colon H^1(S^1) &\to& \mathbb R
+  \\ \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} &&
+  \\ \lbrack\omega\rbrack &\mapsto& \int_{S^1} \omega
+$$
+
+$$
+  \int_{S^1} (\omega + \diffd \eta) = \int_{S^1} \omega + \int_{S^1}\underbrace{ \intd\eta }_{=0} = \int_{S^1}\omega
+$$
+
+$$
+  \int_{S^1} \colon H^1(S^1) \to \mathbb R
+$$
+
+ist surjektiv:
+
+$$
+  \int_{S^1} x\intd y -y\intd x = 2\pi
+$$
+
+Behauptung:
+
+Es ist auch injektiv, also ist $H^1(S^1)\cong \mathbb R$
+
+Beweis:
+
+Haben zu zeigen:
+
+$$
+  \int_{S^1}\omega = 0 \Rightarrow \omega = \diffd \varphi
+$$
+
+für eine Funktion $\varphi$
+
+%TODO Bildchen
+
+$$
+  \omega = g(\theta)\diffd \theta
+$$
+
+in der Karte $(S^1\setminus \{(1,0)\}, \theta)$
+
+$$
+  \int_{S^1} = \int_0^{2\pi} g(\theta)\intd (\theta) = 0
+$$
+
+$$
+  \varphi(\theta) := \int_0^\theta g(\theta)\intd \theta, \quad \varphi\colon [0,2\pi] \to \mathbb R, \text{ text}
+$$
+
+erfüllt $\varphi(2\pi) = \varphi(0) = 0$
+
+$\Rightarrow \varphi$ definiert eine glatte Funktion auf $S^1$
+
+%TODO B3
+
+* Homotopie und Homotopieinvarianz von der de-Rahn-Kohomologie
+
+** Definition
+
+Seien $M_1$, $M_2$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M_1 \to M_2$ glatt Abbildung. $f$, $g$ heißen (glatt) homotop, wenn
+  
+$$
+  \exists H\colon M_1\times[0,1]\to M_2
+$$
+
+glatt mit:
+
+$$
+  H(p,0) &=& f(p)
+  \\ H(p,1) &=& g(p), \quad p\in M
+$$
+
+Bezeichung:
+
+$f$ homotop zu $g$
+$$
+  f\simeq g
+$$
+
+** Definition
+
+Zwei Mannigfaltigkeiten $M$, $N$ heißen homotopiäquivalent, wenn $\exists f\colon M\to N$, $\exists g\colon N\to M$ mit $g\circ f \simeq \operatorname{id}_M$, $f\circ g \simeq \operatorname{id}_N$
+
+Bezeichung:
+$$
+  M\simeq N
+$$
+
+** Definition
+
+$M$ heißt zusammenziehbar, wenn $M=\{*\}$
+
+** Beispiel
+
+$\mathbb R^n$ ist zusammenziehbar
+
+$f\colon \mathbb R^n\to \{*\}$, konstant, $g\colon\{ * \}\to \mathbb R^n$, $*\mapsto 0$
+
+$$
+  f\circ g = \operatorname{id}_{\{*\}}, \quad g\circ f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n, x\mapsto 0
+$$
+
+$$
+  H\colon \mathbb R^n \times [0,1] \to \mathbb R^n, (x,t)
+$$
+
+$$
+  \hat H\colon B(0,1)\times [0,1] \to B(0,1)
+  \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot \frac{2}{\pi} \arctan(\lVert \psi(x) \rVert) \psi(x)
+  \\ (x,t) \mapsto (1-t)\cdot x
+$$
+
+Homotopie zwischen $\operatorname{id}_{B(0,1)}$ und $O\colon B(0,1)\to B(0,1)$, $x\mapsto 0$
+
+$B(0,1)\cong \mathbb R^n$
+
+$$
+  x \mapsto x\cdot \tan \left(\lVert x \rVert \cdot \frac{\pi}{2}\right)
+$$
+
+$$
+  \frac{2}{\pi} \operatorname{arctan}(\lVert y \rVert)y \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{0}{$\mapsto$}} y
+$$
+
+** Satz 
+
+Seien $M$, $N$ Mannigfaltigkeiten, $f$, $g \colon M\to N$ homotop. Dann gilt
+
+$$
+  f^* = g^* \colon H^k(N) \to H^k(M)
+$$
+
+** Korollar
+
+$M\simeq \{*\} \Rightarrow H^k(M) = \begin{cases}  0,  & k>0\\  \mathbb R, & k=0\end{cases}$
+
+** Korollar
+
+$S^1$ ist nicht zusammenziehbar
+
+** Proposition
+
+Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $N$ eine Mannigfaltigkeit von Dimension $k$, $i_0$, $i_1 \colon N\to M$ zwei Einbettungen . Wenn $i_1$, $i_2$ homotop sind, gilt:
+
+$$
+  \int_{i_0(N)} \omega = \int_{i_1(N)} \omega
+$$
+für jede geschlossene Form $\omega\in\Omega^k(M)$
+
+Beweis:
+
+Sei $H\colon N\times[0,1]\to M$ eine Homotopie zwischen $i_1$ und $i_2$
+
+$$
+  0&=& \int_{N\times [0,1]} H^*(\diffd \omega)
+  \\&=& \int_{N\times [0,1]} \intd (H^*\omega)
+  \\&\overset{Stokes}=& \int_{\partial (N\times [0,1])} H^* \omega
+  \\&=& \int_N H^*_1 \omega - \int_N H^*_0 \omega
+  \\&=& \int_{i_1(N)}\omega - \int_{i_0(N)} \omega
+$$