...
 
Commits (2)
cp edit-this-file.tex tmp.tex
python3 preprocessor.py
pandoc -f org -t latex tmp.tex -s -o for-compile.tex --metadata-file meta.yaml --template="latex.template"
exitcode=$?
if [[ $exitcode == 0 ]]
then
echo "pandoc worked"
else
echo "pandoc complained"
exit $exitcode
fi
python3 postprocessor.py
# clear && clear
......
......@@ -2342,7 +2342,7 @@ mit
$$
v\sim w &:\Leftrightarrow& \exists \lambda \in \mathbb K : v = \lambda w
\\(\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim &\xrightarrow{\cong}& \left\{ x\ \middle|\ x \text{ ist $1$-dimensionaler Unteraum in }\mathbb K^{n+1} \right\}
\\{[v]}&\mapsto&\{\lambda v\ |\ \lambda \in \mathbb K\}
\\{[v]}&\xmapsto{}&\{\lambda v\ |\ \lambda \in \mathbb K\}
$$
$$
......@@ -2409,7 +2409,203 @@ $$
\operatorname{Lie}\cong \mathfrak g
$$
TODO 2019-12-12
%2019-12-12
$$
S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)
$$
** Frage
#+BEGIN_QUOTE
Sei $G$ eine Lie-Gruppe, $M$ eine Mannigfaltigkeit, $G\overset{\alpha}{\curvearrowright} M$ durch Diffeomorphismen $\Leftrightarrow \alpha\colon G\to \operatorname{Diff}(M)$
#+END_QUOTE
Warum ist $M/G$ eine Mannigfaltigkeit?
$$
M/G = \{ \mathcal O_m\ |\ m\in M \},\quad \mathcal O_m := G \cot m = \{ (\alpha(g))(m)\ |\ g\in G \}
$$
** Beispiel
$$
M = \R^2, \quad G = \mathrel Z / 3 \mathrel Z \curvearrowright R^2
$$
durch Rotation
TODO Bildchen 34
Stabilisatoren sind böse!
$$
M/G \text{TODO Bildchen 35}
$$
Sei $G\curvearrowright M$ eine Wirkung [ab jetzt: Wirkung stets glatt!]
$$
\hat\alpha \colon \begin{cases} G\times M &\to M\\(g,m)&\mapsto (\alpha(g))(m) \end{cases}
$$
Sei $m\in M$. Betrachte die Abbildung
$$
\psi_m \colon G&\to& M
\\ g&\mapsto& (\alpha(g))(m)
\\\rightsquigarrow D_1 \psi_m \colon \mathfrak g &\to& T_m M
$$
** Definition
Das \emph{Killing-Vektorfeld} zur Wirkung $\alpha$ und einem Element $\xi\in \mathfrak g$ ist $m\mapsto D_1\psi_m (\xi)$
** Beispiel
TODO Bildchen 36
$X\in \Gamma(T\Pi^2)$ definiert eine Wirkung (vgl. Hausaufgabe)
$$
\R &\curvearrowright& \Pi^2
\\t&\mapsto&\phi_t
$$
$(\alpha, \beta)$ $\mathbb Q$-linear unabhängig $\Rightarrow$ die Obrits sind nicht geschlossen und sogar dicht in $\Pi^2$ !
Betrachte $\Pi^2/\R$ mit Quotiententopologie: $U\subseteq \Pi^2/\R$ offen, nicht leer, dann:
$$
\exists [m] \in U \Rightarrow \mathcal O \subseteq q^{-1}(U) \text{ offen}
$$
Wenn $[m']\neq[m]\in \Pi^2/\R$
- $\Rightarrow \mathcal O_m, \mathcal O_m$ sind beide dich
- $\Rightarrow$ wenn $U'\ni [m']$ eine Umgebung von $[m']$ ist,
$$
\left.
\begin{matrix}
\mathcal O_m \subseteq q^{-1}(U')
\\
\mathcal O_m \subseteq q^{-1}(U)
\end{matrix}
\right\}
\text{ offen in } \Pi^2
$$
- $\Rightarrow$ $\mathcal O_m\cap g^{-1}(U')\neq\emptyset$, weil $\mathcal O_m$ dicht
- $\Rightarrow$ $[m]\in U'$
** Definition
Seien $X$, $Y$ topologische Räume, $f\colon X\to Y$ stetig. $f$ heißt \emph{eigentlich}, wenn Urbiler kompakter Mengen kompakt sind:
$$
K\subseteq Y &\Rightarrow& f^{-1}(K)\subseteq X \text{ kompakt}
$$
** Definition
Eine Lie-Gruppenwirkung $G\overset\alpha\curvearrowright M$ heißt \emph{eigentlich}, wenn die Abbildung
$$
\left\{
\begin{matrix}
G\times M \to M\times M
\\
(g,m) \mapsto ((\alpha(g))(m),m)
\end{matrix}
\right.
$$
eigentlich ist.
** Erinnerung
$G\curvearrowright$ heißt frei, wenn $\operatorname{Stab}(m)=\{1\}$, $m\in M$
$$
(\Leftrightarrow \forall g \neq 1 \forall m\in M (\alpha(g))(m)\neq m)
$$
** Beispiel
$G$ ist kompakt $\Rightarrow$ jede Wirkung $G\curvearrowright M$ ist eigentlich, wenn $K\subseteq M\times M$ kompakt, ist $\pi_2(K)\subseteq M$ kompakt
$$
\Rightarrow \varphi^{-1}(K) \subseteq G\times \pi_2(K) \text{ kompakt }
$$
** Beobachtung
$G\curvearrowright M$ eigentlich $\rightarrow \operatorname{Stab}(M)\leqslant G$ kompakt für jedes $m\in M$:
$$
\operatorname{Stab}(m)\times\{m\} = \varphi^{-1}(\{ (m,m) \})
$$
** Proposition
Sei $G\curvearrowright M$ eine freie und eigentlich Wirkung. Der Quotient $M/G$ hat eine eindeutig bestimmte glatte Struktur, so dass $q\colon M\to M/G$ eine Submersion ist.
Beweis:
Betrachte:
$$
\psi_m \colon \begin{cases} G&\to M\\g&\mapsto gm \end{cases}
$$
Das ist eine glatte Abbildung.
Behauptung:
$$
\rang D_g \psi_m = \const \quad\text{unabhängig von $g$}
$$
Das liegt daran, dass $hg \xmapsto{\psi_m} hgm$
- $\Rightarrow$ $\underbrace{\psi_m(hg)}_{=\psi_m (L_k (g))} = \underbrace{h\cdot \psi_m(g)}_{=\alpha_k (\psi_m(g))}$
- $\Leftrightarrow$ $\psi_m \circ L_k = \alpha_h \circ \psi_m \Leftrightarrow \psi_m = \alpha_h \circ \psi_m \circ L_k^{-1}$
- $\Rightarrow$ $D_g \psi_m = D_g (\alpha_h \circ \psi_m \circ L_k^{-1}) = \underbrace{D_{h^{-1}gm} \alpha_h}_{\text{invertierbar}} \circ D_{h^{-1}g}\psi_m \circ \underbrace{D_gL^{-1}_h}_{\text{invertierbar}}$
- $\Rightarrow$ $\rang D_g \psi_m = \rang D_{h^{-1}g}\psi_m$
Daher ist das Bild von der glatten Abbildung $\psi_m \colon G\to M$ lokal (z.B. an $1\in G$) eine Untermannigfaltigkeit [z.B. weil es in lokalen Koordinaten wie ein Graph einer glatten Funktion aussieht]
Wenn $U\in G$ eine Umgebung von $1$ ist, dann ist $\psi_m(U) U\cdot m \subseteq \mathcal O_m$ eine Umgebung um $m$ in $\mathcal O_m$
Daher ist
$$
T_m \mathcal O_m = D_1 \psi_m(\underbrace{T_1G}_{=g}) = \{ K_\xi(m)\ |\ \xi\in G \}
$$
Wir behaupten nun, dass $\mathcal O_m\hookrightarrow M$ eine Einbettung ist. Dafür suchen wir eine hinreichend kleine Umgebung $W$, $m\in W\subseteq M$ so dass $W\cap \psi_m(G) = W\cap \psi_m(U)$
Bemerkung:
$$
h\in \operatorname{Stab}(m) \Rightarrow \psi_m (Uh) = \psi_m(U)
$$
also können wir annehmen, dass $U\cdot \operatorname{Stab}(m)=U$. Angenommen, $\nexists W$ mit obigen Eigenschaften. Dann gibt es $g_k\in G$ mit:
$$
g_k \colon m\to m, \quad g_k \in U
$$
$(g_km, m)$ ist in einer kompakten Umgebung von $(m,m)$ enthalten, weil $g_km\to m$
Eigentlichkeit:
$$
g_k \in \underbrace{K}_{\text{kompakt}}\subseteq G
$$
$\Rightarrow$
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\exists g_{k_n} \arrow[rr, "n\to \infty"] & & g_\infty\in K \\
g_{k_n} m \arrow[rr] \arrow[rrd] & & m \arrow[phantom, d, "{\rotatebox[origin=c]{-90}{$=$}}" description] \\
& & g_\infty m
\end{tikzcd}
\end{center}
$\Rightarrow g_\infty \in \operatorname{Stab}(m) \subseteq U$
$\lightning$, da $g_{k_n} \underbrace{\in}_{\xrightarrow{n\to \infty}g_\infty} U$
TODO 2019-12-13
TODO 2019-12-19
......
......@@ -384,6 +384,7 @@ $endif$
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{datetime}
\usepackage{cancel}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{bbm}
\usepackage{nicefrac}
$if(tikz)$
......@@ -392,6 +393,8 @@ $endif$
\newcommand{ \Diff }{ \mathrm{D} }
\newcommand{ \diffd }{ \mathrm d }
\newcommand{ \intd }{ \,\diffd }
\newcommand{ \rang }{ \operatorname{Rang} }
\newcommand{ \const }{ \operatorname{const} }
\newcommand{ \eins }{ \mathbbm{1} }
\newcommand{ \rg }{ \operatorname{rg} }
\newcommand{ \Mat }{ \operatorname{Mat} }
......