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Detailverbesserungen symplektische Verfahren

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......@@ -788,18 +788,27 @@ Für quadratische Hamilton-Funktionen ist das anders.
P(\tau J^{-1} C)^T JP(\tau J^{-1} C) = Q(\tau J^{-1} C)^T J Q(\tau J^{-1} C).
\end{equation}
\todoannot{1.5\baselineskip}{Die folgende Rechnung muss nochmal im Detail überprüft werden!}
\item Betrachte das Produkt \glqq Polynom in $J^{-1} C$\grqq\ mit $J$.
\item Für jedes Monom $(J^{-1} C)^k$ gilt ($C$ ist symmetrisch)
\begin{equation*}
\item Für jedes Monom $(J^{-1} C)^k$, $k \in \N$ gilt
($C$ ist symmetrisch, und $J^T = -J$)
\begin{align*}
((J^{-1} C)^k)^T J
=
(C^T J^{-T})^k J
=
J(-(J^{-1} C)^k)\quad \forall k=0,1,2,\hdots
\end{equation*}
& =
(C^T J^{-T})^k J \\
& =
\underbrace{C^TJ^{-T} \dots C^TJ^{-T}}_{\text{$k$ mal}} J \\
& =
-C^T\underbrace{J^{-T}C^T \dots J^{-T}C^T}_{\text{$k-1$ mal}} \\
& =
-C\underbrace{J^{-T}C \dots J^{-T}C}_{\text{$k-1$ mal}} \\
& =
-J^T J^{-T} C\underbrace{J^{-T}C \dots J^{-T}C}_{\text{$k-1$ mal}} \\
& =
-J^T (J^{-T}C)^k \\
& =
J(-J^{-1} C)^k.
\end{align*}
\item Also folgt aus \eqref{eq:beweis_symplektisch_symmetrisch}
\begin{equation*}
P(-\tau J^{-1} C)\cdot P(\tau J^{-1} C) = Q(-\tau J^{-1} C)\cdot Q(\tau J^{-1} C)
......@@ -808,7 +817,7 @@ Für quadratische Hamilton-Funktionen ist das anders.
\begin{equation*}
R(-\tau J^{-1} C)\cdot R(\tau J^{-1} C) = I.
\end{equation*}
\item Das ist gerade die Symmetrie des Verfahrens.
\item Das ist gerade die Reversibilität des Verfahrens.
\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
......
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