Detailverbesserungen symplektische Verfahren

hamilton-systeme.tex

@@ -788,18 +788,27 @@ Für quadratische Hamilton-Funktionen ist das anders.
 			P(\tau J^{-1} C)^T JP(\tau J^{-1} C) = Q(\tau J^{-1} C)^T J Q(\tau J^{-1} C).
 		\end{equation}
 
-\todoannot{1.5\baselineskip}{Die folgende Rechnung muss nochmal im Detail überprüft werden!}
-
 		\item Betrachte das Produkt \glqq Polynom in $J^{-1} C$\grqq\ mit $J$.
 
-		\item Für jedes Monom $(J^{-1} C)^k$ gilt ($C$ ist symmetrisch)
-		\begin{equation*}
+		\item Für jedes Monom $(J^{-1} C)^k$, $k \in \N$ gilt
+		 ($C$ ist symmetrisch, und $J^T = -J$)
+		\begin{align*}
 			((J^{-1} C)^k)^T J
-			=
-			(C^T J^{-T})^k J
-			=
-			J(-(J^{-1} C)^k)\quad \forall k=0,1,2,\hdots
-		\end{equation*}
+			& =
+			(C^T J^{-T})^k J \\
+			& =
+			\underbrace{C^TJ^{-T} \dots C^TJ^{-T}}_{\text{$k$ mal}} J \\
+			& =
+			-C^T\underbrace{J^{-T}C^T \dots J^{-T}C^T}_{\text{$k-1$ mal}} \\
+			& =
+			-C\underbrace{J^{-T}C \dots J^{-T}C}_{\text{$k-1$ mal}} \\
+			& =
+			-J^T J^{-T} C\underbrace{J^{-T}C \dots J^{-T}C}_{\text{$k-1$ mal}} \\
+			& =
+			-J^T (J^{-T}C)^k \\
+			& =
+			J(-J^{-1} C)^k.
+		\end{align*}
 		\item Also folgt aus \eqref{eq:beweis_symplektisch_symmetrisch}
 		\begin{equation*}
 			P(-\tau J^{-1} C)\cdot P(\tau J^{-1} C) =  Q(-\tau J^{-1} C)\cdot Q(\tau J^{-1} C)
@@ -808,7 +817,7 @@ Für quadratische Hamilton-Funktionen ist das anders.
 		\begin{equation*}
 			R(-\tau J^{-1} C)\cdot R(\tau J^{-1} C) = I.
 		\end{equation*}
-		\item  Das ist gerade die Symmetrie des Verfahrens.
+		\item  Das ist gerade die Reversibilität des Verfahrens.
 		\qedhere
 	\end{itemize}
 \end{proof}