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......@@ -924,7 +924,7 @@ Wir erinnern an das Prinzip der stationären Wirkung (auch Hamiltonsches Prinzip
\end{itemize}
\begin{definition}
Die \emph{Wirkung} eine Trajektorie $q\colon t\mapsto (q(t),\dot q(t))$ ist
Die \emph{Wirkung} einer Trajektorie $q\colon t\mapsto (q(t),\dot q(t))$ ist
\begin{equation*}
S(q)\coloneqq \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
\end{equation*}
......@@ -953,15 +953,88 @@ Wie schon in Kapitel~\ref{sec:lagrange_gleichung} gezeigt ist dies äquivalent z
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = \frac{\partial L}{\partial q}.
\end{equation*}
\bigskip
\subsection{Idee der variationellen Integratoren}
Wir betrachten jetzt das Wirkungsintegral $S$ als Funktion der Start- und Endposition
Wir ersetzen das Integral im Hamiltonschen Prinzip durch eine diskrete Approximation:
\medskip
\begin{itemize}
\item Führe ein Zeitgitter ein
\begin{equation*}
t_0<t_1<\hdots < t_N = T.
\end{equation*}
\item Führe die approximative Wirkung ein
\begin{equation*}
L_h(q_k,q_{k+1})\approx \int_{t_k}^{t_{k+1}} L(q(t),\dot q(t))\,dt
\end{equation*}
(z.B.\ durch eine Quadraturformel)
$q$ ist hier die Lösung der Lagrange-Gleichung auf $[t_k,t_{k+1}]$ mit gegebenen Start- und Endwerten $q_k,q_{k+1}$.
Hier könnte man denken dass $L_h$ ein schlechtes Symbol ist, weil es sich ja schließlich
um eine Wirkung handelt. Andererseits fungiert $L_h$ später bei der Definition der
diskreten Impulse wie eine Lagrange-Funktion (siehe~\eqref{eq:diskrete_lagrange_transformation}).
\item Definiere das diskrete Wirkungsfunktional
\begin{equation*}
S_h\Big(\big\{q_k\big\}_{k=0}^N\Big) \colonequals \sum_{k=0}^{N-1} L_h(q_k,q_{k+1}).
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{definition}[Diskretes Hamilton-Prinzip]
Finde $\{q_k\}^N_{k=0}$ mit gegebenen $q_0, q_N$, so dass $S_h$ stationär wird.
\end{definition}
\medskip
Wie kann man $L_h$ wählen?
\medskip
\emph{Beispiel:} (\citet{mackay:1992}, 1992)
\begin{itemize}
\item Approximiere $q$ auf $[t_k, t_{k+1}]$ als linear Interpolierende von $q_k$ und $q_{k+1}$.
\item Approximiere das Integral durch die Trapezregel
\begin{equation*}
S(q_0,q_1) = \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
L_h(q_k, q_{k+1})
=
\tau \cdot \frac{1}{2} \Big[L\Big(q_k, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big) + L\Big(q_{k+1}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
\end{equation*}
Dabei ist $q$ die zu $q_0,q_1$ gehörige Lösung der Lagrange-Gleichung.\\
\end{itemize}
\subsubsection*{Exkurs Anfang: Erzeugendenfunktionen}
Beispiel: (\citet{wendlandt_marsden:1997}, 1997)
\begin{itemize}
\item Nimm statt der Trapezregel die Mittelpunktsregel
\begin{equation*}
L_h(q_k, q_{k+1}) = \tau \Big[L\Big(\frac{q_{k+1} + q_k}{2}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
\end{equation*}
\end{itemize}
Wie kommen wir an stationäre Punkte von $S_h$?
\begin{itemize}
\item Ableitung ausrechnen und gleich Null setzen!
\newline Partielle Ableitung für $k=1, \dots, N-1$:
\begin{equation*}
\frac{\partial S_h}{\partial q_k}
=
\frac{\partial}{\partial q_k} \sum_{i=0}^{N-1} L_h (q_i, q_{i+1})
=
\frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_{k-1}, q_k) + \frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_k, q_{k+1}).
\end{equation*}
\item Dieser Ausdruck $=0$ sind die \emph{diskreten Euler--Lagrange-Gleichungen}.
\item Ein System von algebraischen Gleichungen (mit Bandstruktur).
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Fragen:}
\begin{itemize}
\item Wann kriege ich mit diesem Ansatz symplektische Integratoren?
\item Kann ich das Verfahren so umschreiben dass ich wieder einen Zeitschritt nach dem anderen berechnen kann?
\end{itemize}
\subsection{Erzeugendenfunktionen}
Wir brauchen ein weiteres Kriterium für Symplektizität:
\begin{itemize}
......@@ -994,7 +1067,7 @@ Wie wir wissen, ist diese symplektisch.\\
\end{satz}
\begin{itemize}
\item Wenn man eine symplektische Abbildung $(p_0,q_0)\mapsto(p_1,q_1)$ hat, dann sie durch \eqref{eq:abbildung_symplektisch} aus der Funktion $S$ rekonstruiert werden.
\item Wenn man eine symplektische Abbildung $(p_0,q_0)\mapsto(p_1,q_1)$ hat, kann sie durch \eqref{eq:abbildung_symplektisch} aus der Funktion $S$ rekonstruiert werden.
\item Aber der obige Satz ist \glqq genau dann, wenn\grqq\ . Es gilt also auch die Umkehrung:
\begin{itemize}
\item Jede hinreichen glatte (und in einem gewissen Sinne nicht degenerierte)
......@@ -1003,8 +1076,14 @@ Wie wir wissen, ist diese symplektisch.\\
\item Man kann also auf systematische Art symplektische Abbildungen erzeugen. Die Funktion $S$ heißt deshalb Erzeugendenfunktion.
\end{itemize}
\bigskip
Wir betrachten jetzt das Wirkungsintegral $S$ als Funktion der Start- und Endposition
\begin{equation*}
S(q_0,q_1) = \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
\end{equation*}
Dabei ist $q$ die zu $q_0,q_1$ gehörige Lösung der Lagrange-Gleichung.\\
\subsubsection*{Exkurs Ende}
Große Überraschung: Diese Funktion $S$ ist gerade die Erzeugendenfunktion einer symplektischen Abbildung!
\begin{itemize}
......@@ -1042,85 +1121,6 @@ Dies ist gerade die Formel \eqref{eq:abbildung_symplektisch} für Erzeugendenfun
Daraus folgt dass die entsprechende Abbildung $(p_0,q_0) \mapsto (p_1,q_1)$ symplektisch ist.
\subsection{Idee der variationellen Integratoren}
Wir ersetzen das Integral im Hamiltonschen Prinzip durch eine diskrete Approximation:
\medskip
\begin{itemize}
\item Führe ein Zeitgitter ein
\begin{equation*}
t_0<t_1<\hdots < t_N = T.
\end{equation*}
\item Führe die approximative Wirkung ein
\begin{equation*}
L_h(q_k,q_{k+1})\approx \int_{t_k}^{t_{k+1}} L(q(t),\dot q(t))\,dt
\end{equation*}
(z.B.\ durch eine Quadraturformel)\\
Hier könnte man denken dass $L_h$ ein schlechtes Symbol ist, weil es sich ja schließlich
um eine Wirkung handelt. Andererseits fungiert $L_h$ später bei der Definition der
diskreten Impulse wie eine Lagrange-Funktion (siehe~\eqref{eq:diskrete_lagrange_transformation}).
$q$ ist hier die Lösung der Lagrange-Gleichung auf $[t_k,t_{k+1}]$ mit gegebenen Start- und Endwerten $q_k,q_{k+1}$.
\item Definiere das diskrete Wirkungsfunktional
\begin{equation*}
S_h\Big(\big\{q_k\big\}_{k=0}^N\Big) \colonequals \sum_{k=0}^{N-1} L_h(q_k,q_{k+1}).
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{definition}[Diskretes Hamilton-Prinzip]
Finde $\{q_k\}^N_{k=0}$ mit gegebenen $q_0, q_N$, so dass $S_h$ stationär wird.
\end{definition}
\medskip
Wie kann man $L_h$ wählen?
\medskip
\emph{Beispiel:} (\citet{mackay:1992}, 1992)
\begin{itemize}
\item Approximiere $q$ auf $[t_k, t_{k+1}]$ als linear Interpolierende von $q_k$ und $q_{k+1}$.
\item Approximiere das Integral durch die Trapezregel
\begin{equation*}
L_h(q_k, q_{k+1})
=
\tau \cdot \frac{1}{2} \Big[L\Big(q_k, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big) + L\Big(q_{k+1}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
\end{equation*}
\end{itemize}
Beispiel: (\citet{wendlandt_marsden:1997}, 1997)
\begin{itemize}
\item Nimm statt der Trapezregel die Mittelpunktsregel
\begin{equation*}
L_h(q_k, q_{k+1}) = \tau \Big[L\Big(\frac{q_{k+1} + q_k}{2}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
\end{equation*}
\end{itemize}
Wie kommen wir an stationäre Punkte von $S_h$?
\begin{itemize}
\item Ableitung ausrechnen und gleich Null setzen!
\newline Partielle Ableitung für $k=1, \dots, N-1$:
\begin{equation*}
\frac{\partial S_h}{\partial q_k}
=
\frac{\partial}{\partial q_k} \sum_{i=0}^{N-1} L_h (q_i, q_{i+1})
=
\frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_{k-1}, q_k) + \frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_k, q_{k+1}).
\end{equation*}
\item Dieser Ausdruck $=0$ sind die \emph{diskreten Euler--Lagrange-Gleichungen}.
\item Ein System von algebraischen Gleichungen (mit Bandstruktur).
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Fragen:}
\begin{itemize}
\item Wann kriege ich mit diesem Ansatz symplektische Integratoren?
\item Kann ich das Verfahren so umschreiben dass ich wieder einen Zeitschritt nach dem anderen berechnen kann?
\end{itemize}
\subsection{Variationelle Integratoren sind symplektisch}
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