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Bilder zur Energieerhaltung symplektischer Integratoren

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......@@ -863,9 +863,41 @@ Wird die Energie von symplektischen Verfahren erhalten?
Nein! Aber fast...
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-h-0.05.pdf}}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-h-0.05.pdf}}
Symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}05$.
Links: $q$, rechts: $E$
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-h-0.01.pdf}}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-h-0.01.pdf}}
Symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}01$.
Links: $q$, rechts: $E$
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-w-euler-h-0.05.pdf}}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-w-euler-h-0.05.pdf}}
Explizites und symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}05$.
Links: $q$, rechts: $E$
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-w-euler-h-0.01.pdf}}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-w-euler-h-0.01.pdf}}
Explizites und symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}01$.
Links: $q$, rechts: $E$
\end{center}
\begin{satz}[{\citet{benettin_giorgilli:1994}; \citet[Thm.\,IX.8.1]{hairer_lubich_wanner:2006}}]
Betrachte ein Hamilton-System mit analytischer Hamilton-Funktion $H: D \to R$, ($D \subset \R^{2d}$),
und wende ein symplektisches Verfahren $\Psi^\tau$ mit Schrittweite $\tau$ an.
Betrachte ein Hamilton-System mit analytischer Hamilton-Funktion $H: D \to \R$, ($D \subset \R^{2d}$),
und wende ein symplektisches Verfahren $\Psi^\tau$ der Konsistenzordnung $p$ mit Schrittweite $\tau$ an.
Wenn die numerische Lösung in einer kompakten Menge $K\subset D$ bleibt, dann existiert ein $\tau_0$, so dass
\begin{equation*}
H(y_n) = H(y_0) + O(\tau^p)
......
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