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Detailverbesserungen zu Symplektizität

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......@@ -383,6 +383,8 @@ Wir betrachten 2-dimensionale Parallelogramme in $\R^{2d}$.
\quad
\eta = \begin{pmatrix} \eta^p \\ \eta^q \end{pmatrix}.
\end{equation*}
Hier und im Folgenden bezeichnen $\xi^p \in \R^d$ und $\xi^q \in \R^d$ die Impuls- bzw.\ Ortskomponenten
von $\xi$.
\end{itemize}
Falls $d = 1$, so ist die orientierte Fläche des Parallelogramms gerade
......@@ -514,7 +516,7 @@ die Flüsse $\Phi^t$ von Hamiltonschen Systemen erhalten die symplektische Form:
\bigg(\frac{\partial \Phi^t}{\partial y_0}\bigg)^T \nabla^2 H(\Phi^t y_0)^T J^{-T} J \bigg(\frac{\partial \Phi^t}{\partial y_0}\bigg)
+ \bigg(\frac{\partial \Phi^t}{\partial y_0}\bigg)^T J J^{-1} \nabla^2 H(\Phi^t y_0) \bigg(\frac{\partial \Phi^t}{\partial y_0}\bigg)
\end{equation*}
\item Aber $J^T = -J$, also $J^{-T} J = -I$, und $\nabla^ H$ ist symmetrisch.
\item Aber $J^T = -J$, also $J^{-T} J = -I$, und $\nabla^2 H$ ist symmetrisch.
\item Deshalb ist
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\bigg[ \bigg(\frac{\partial \Phi^t}{\partial y_0}\bigg)^T
......@@ -530,7 +532,7 @@ Es gilt sogar die Umkehrung des Satzes:
\emph{nur} Hamiltonsche Systeme haben symplektische Flüsse!
\begin{definition}[lokal Hamiltonsch]
Eine Differentialgleichung $x' = f(x)$ heißt \emph{lokal Hamiltonsch}, wenn für jedes $x_0 \in U$ eine Nachbarschaft existiert, in der
Eine Differentialgleichung $x' = f(x)$ heißt \emph{lokal Hamiltonsch}, wenn für jedes $x_0 \in U$ eine Umgebung existiert, in der
\begin{equation*}
f(x) = J^{-1} \nabla H(x)
\end{equation*}
......
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