hamilton-systeme.tex

@@ -863,9 +863,41 @@ Wird die Energie von symplektischen Verfahren erhalten?
 
 Nein! Aber fast...
 
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-h-0.05.pdf}}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-h-0.05.pdf}}
+
+ Symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}05$.
+ Links: $q$, rechts: $E$
+\end{center}
+
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-h-0.01.pdf}}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-h-0.01.pdf}}
+
+ Symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}01$.
+ Links: $q$, rechts: $E$
+\end{center}
+
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-w-euler-h-0.05.pdf}}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-w-euler-h-0.05.pdf}}
+
+ Explizites und symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}05$.
+ Links: $q$, rechts: $E$
+\end{center}
+
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-position-w-euler-h-0.01.pdf}}
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{{gfx/pendel-energie-w-euler-h-0.01.pdf}}
+
+ Explizites und symplektisches Euler-Verfahren, Zeitschrittweite $\tau = 0{,}01$.
+ Links: $q$, rechts: $E$
+\end{center}
+
 \begin{satz}[{\citet{benettin_giorgilli:1994}; \citet[Thm.\,IX.8.1]{hairer_lubich_wanner:2006}}]
-  Betrachte ein Hamilton-System mit analytischer Hamilton-Funktion $H: D \to R$, ($D \subset \R^{2d}$),
-  und wende ein symplektisches Verfahren $\Psi^\tau$ mit Schrittweite $\tau$ an.
+  Betrachte ein Hamilton-System mit analytischer Hamilton-Funktion $H: D \to \R$, ($D \subset \R^{2d}$),
+  und wende ein symplektisches Verfahren $\Psi^\tau$ der Konsistenzordnung $p$ mit Schrittweite $\tau$ an.
   Wenn die numerische Lösung in einer kompakten Menge $K\subset D$ bleibt, dann existiert ein $\tau_0$, so dass
   \begin{equation*}
     H(y_n) = H(y_0) + O(\tau^p)
@@ -892,7 +924,7 @@ Wir erinnern an das Prinzip der stationären Wirkung (auch Hamiltonsches Prinzip
 \end{itemize}
 
 \begin{definition}
- Die \emph{Wirkung} eine Trajektorie $q\colon t\mapsto (q(t),\dot q(t))$ ist
+ Die \emph{Wirkung} einer Trajektorie $q\colon t\mapsto (q(t),\dot q(t))$ ist
 	\begin{equation*}
 		S(q)\coloneqq \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
 	\end{equation*}
@@ -921,15 +953,88 @@ Wie schon in Kapitel~\ref{sec:lagrange_gleichung} gezeigt ist dies äquivalent z
 	\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = \frac{\partial L}{\partial q}.
 \end{equation*}
 
-\bigskip
+\subsection{Idee der variationellen Integratoren}
 
-Wir betrachten jetzt das Wirkungsintegral $S$ als Funktion der Start- und Endposition
+Wir ersetzen das Integral im Hamiltonschen Prinzip durch eine diskrete Approximation:
+
+\medskip
+
+\begin{itemize}
+	\item Führe ein Zeitgitter ein
+	\begin{equation*}
+	t_0<t_1<\hdots < t_N = T.
+	\end{equation*}
+	\item  Führe die approximative Wirkung ein
+	\begin{equation*}
+		L_h(q_k,q_{k+1})\approx \int_{t_k}^{t_{k+1}} L(q(t),\dot q(t))\,dt
+	\end{equation*}
+	(z.B.\ durch eine Quadraturformel)
+
+	$q$ ist hier die Lösung der Lagrange-Gleichung auf $[t_k,t_{k+1}]$ mit gegebenen Start- und Endwerten $q_k,q_{k+1}$.
+
+	Hier könnte man denken dass $L_h$ ein schlechtes Symbol ist, weil es sich ja schließlich
+	um eine Wirkung handelt.  Andererseits fungiert $L_h$ später bei der Definition der
+	diskreten Impulse wie eine Lagrange-Funktion (siehe~\eqref{eq:diskrete_lagrange_transformation}).
+
+	\item Definiere das diskrete Wirkungsfunktional
+	\begin{equation*}
+		S_h\Big(\big\{q_k\big\}_{k=0}^N\Big) \colonequals \sum_{k=0}^{N-1} L_h(q_k,q_{k+1}).
+	\end{equation*}
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}[Diskretes Hamilton-Prinzip]
+Finde $\{q_k\}^N_{k=0}$  mit gegebenen $q_0, q_N$, so dass $S_h$ stationär wird.
+\end{definition}
+
+\medskip
+
+Wie kann man $L_h$ wählen?
+
+\medskip
+
+\emph{Beispiel:} (\citet{mackay:1992}, 1992)
+\begin{itemize}
+\item Approximiere $q$ auf $[t_k, t_{k+1}]$ als linear Interpolierende von $q_k$ und $q_{k+1}$.
+\item Approximiere das Integral durch die Trapezregel
 \begin{equation*}
-	S(q_0,q_1) = \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
+L_h(q_k, q_{k+1})
+=
+\tau \cdot \frac{1}{2} \Big[L\Big(q_k, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big) +  L\Big(q_{k+1}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
 \end{equation*}
-Dabei ist $q$ die zu $q_0,q_1$ gehörige Lösung der Lagrange-Gleichung.\\
+\end{itemize}
 
-\subsubsection*{Exkurs Anfang: Erzeugendenfunktionen}
+Beispiel: (\citet{wendlandt_marsden:1997}, 1997)
+\begin{itemize}
+\item Nimm statt der Trapezregel die Mittelpunktsregel
+\begin{equation*}
+L_h(q_k, q_{k+1}) = \tau \Big[L\Big(\frac{q_{k+1} + q_k}{2}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
+\end{equation*}
+\end{itemize}
+
+Wie kommen wir an stationäre Punkte von $S_h$?
+\begin{itemize}
+\item Ableitung ausrechnen und gleich Null setzen!
+\newline Partielle Ableitung für $k=1, \dots, N-1$:
+\begin{equation*}
+\frac{\partial S_h}{\partial q_k}
+=
+\frac{\partial}{\partial q_k} \sum_{i=0}^{N-1} L_h (q_i, q_{i+1})
+=
+\frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_{k-1}, q_k) +  \frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_k, q_{k+1}).
+\end{equation*}
+\item Dieser Ausdruck $=0$ sind die \emph{diskreten Euler--Lagrange-Gleichungen}.
+\item Ein System von algebraischen Gleichungen (mit Bandstruktur).
+\end{itemize}
+
+\medskip
+
+\textbf{Fragen:}
+\begin{itemize}
+\item Wann kriege ich mit diesem Ansatz symplektische Integratoren?
+\item Kann ich das Verfahren so umschreiben dass ich wieder einen Zeitschritt nach dem anderen berechnen kann?
+\end{itemize}
+
+\subsection{Erzeugendenfunktionen}
 
 Wir brauchen ein weiteres Kriterium für Symplektizität:
 \begin{itemize}
@@ -962,7 +1067,7 @@ Wie wir wissen, ist diese symplektisch.\\
 \end{satz}
 
 \begin{itemize}
-	\item Wenn man eine symplektische Abbildung $(p_0,q_0)\mapsto(p_1,q_1)$ hat, dann sie durch \eqref{eq:abbildung_symplektisch} aus der Funktion $S$ rekonstruiert werden.
+	\item Wenn man eine symplektische Abbildung $(p_0,q_0)\mapsto(p_1,q_1)$ hat, kann sie durch \eqref{eq:abbildung_symplektisch} aus der Funktion $S$ rekonstruiert werden.
 	\item Aber der obige Satz ist \glqq genau dann, wenn\grqq\ . Es gilt also auch die Umkehrung:
 	\begin{itemize}
 		\item Jede hinreichen glatte (und in einem gewissen Sinne nicht degenerierte)
@@ -971,8 +1076,14 @@ Wie wir wissen, ist diese symplektisch.\\
 	\item Man kann also auf systematische Art symplektische Abbildungen erzeugen. Die Funktion $S$ heißt deshalb Erzeugendenfunktion.
 \end{itemize}
 
+\bigskip
+
+Wir betrachten jetzt das Wirkungsintegral $S$ als Funktion der Start- und Endposition
+\begin{equation*}
+	S(q_0,q_1) = \int_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot q(t))\,dt.
+\end{equation*}
+Dabei ist $q$ die zu $q_0,q_1$ gehörige Lösung der Lagrange-Gleichung.\\
 
-\subsubsection*{Exkurs Ende}
 
 Große Überraschung: Diese Funktion $S$ ist gerade die Erzeugendenfunktion einer symplektischen Abbildung!
 \begin{itemize}
@@ -1010,85 +1121,6 @@ Dies ist gerade die Formel \eqref{eq:abbildung_symplektisch} für Erzeugendenfun
 
 Daraus folgt dass die entsprechende Abbildung $(p_0,q_0) \mapsto (p_1,q_1)$ symplektisch ist.
 
-\subsection{Idee der variationellen Integratoren}
-
-Wir ersetzen das Integral im Hamiltonschen Prinzip durch eine diskrete Approximation:
-
-\medskip
-
-\begin{itemize}
-	\item Führe ein Zeitgitter ein
-	\begin{equation*}
-	t_0<t_1<\hdots < t_N = T.
-	\end{equation*}
-	\item  Führe die approximative Wirkung ein
-	\begin{equation*}
-		L_h(q_k,q_{k+1})\approx \int_{t_k}^{t_{k+1}} L(q(t),\dot q(t))\,dt
-	\end{equation*}
-	(z.B.\ durch eine Quadraturformel)\\
-
-	Hier könnte man denken dass $L_h$ ein schlechtes Symbol ist, weil es sich ja schließlich
-	um eine Wirkung handelt.  Andererseits fungiert $L_h$ später bei der Definition der
-	diskreten Impulse wie eine Lagrange-Funktion (siehe~\eqref{eq:diskrete_lagrange_transformation}).
-
-	$q$ ist hier die Lösung der Lagrange-Gleichung auf $[t_k,t_{k+1}]$ mit gegebenen Start- und Endwerten $q_k,q_{k+1}$.
-	\item Definiere das diskrete Wirkungsfunktional
-	\begin{equation*}
-		S_h\Big(\big\{q_k\big\}_{k=0}^N\Big) \colonequals \sum_{k=0}^{N-1} L_h(q_k,q_{k+1}).
-	\end{equation*}
-\end{itemize}
-
-\begin{definition}[Diskretes Hamilton-Prinzip]
-Finde $\{q_k\}^N_{k=0}$  mit gegebenen $q_0, q_N$, so dass $S_h$ stationär wird.
-\end{definition}
-
-\medskip
-
-Wie kann man $L_h$ wählen?
-
-\medskip
-
-\emph{Beispiel:} (\citet{mackay:1992}, 1992)
-\begin{itemize}
-\item Approximiere $q$ auf $[t_k, t_{k+1}]$ als linear Interpolierende von $q_k$ und $q_{k+1}$.
-\item Approximiere das Integral durch die Trapezregel
-\begin{equation*}
-L_h(q_k, q_{k+1})
-=
-\tau \cdot \frac{1}{2} \Big[L\Big(q_k, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big) +  L\Big(q_{k+1}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
-\end{equation*}
-\end{itemize}
-
-Beispiel: (\citet{wendlandt_marsden:1997}, 1997)
-\begin{itemize}
-\item Nimm statt der Trapezregel die Mittelpunktsregel
-\begin{equation*}
-L_h(q_k, q_{k+1}) = \tau \Big[L\Big(\frac{q_{k+1} + q_k}{2}, \frac{q_{k+1} - q_k}{\tau}\Big)\Big].
-\end{equation*}
-\end{itemize}
-
-Wie kommen wir an stationäre Punkte von $S_h$?
-\begin{itemize}
-\item Ableitung ausrechnen und gleich Null setzen!
-\newline Partielle Ableitung für $k=1, \dots, N-1$:
-\begin{equation*}
-\frac{\partial S_h}{\partial q_k}
-=
-\frac{\partial}{\partial q_k} \sum_{i=0}^{N-1} L_h (q_i, q_{i+1})
-=
-\frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_{k-1}, q_k) +  \frac{\partial}{\partial q_k} L_h(q_k, q_{k+1}).
-\end{equation*}
-\item Dieser Ausdruck $=0$ sind die \emph{diskreten Euler--Lagrange-Gleichungen}.
-\item Ein System von algebraischen Gleichungen (mit Bandstruktur).
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-\textbf{Fragen:}
-\begin{itemize}
-\item Wann kriege ich mit diesem Ansatz symplektische Integratoren?
-\item Kann ich das Verfahren so umschreiben dass ich wieder einen Zeitschritt nach dem anderen berechnen kann?
-\end{itemize}
 
 \subsection{Variationelle Integratoren sind symplektisch}
 

steife-differentialgleichungen.tex

@@ -1959,7 +1959,7 @@ Statt der A-Stabilität von Gauß-Verfahren zeigen wir:
 
 
 \emph{Beispiel:} Die Stabilitätsfunktion $R(z) = \frac{1+\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}$
-beschreibt A-stabile Verfahren, das Stabilitätsgebiet ist die linke Halbebene.
+beschreibt A-stabile Verfahren, das Stabilitätsgebiet ist die linke Halbebene:
 
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}