g-LiquidCrystals.md 1.95 KB
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# Masterarbeitsplan Thema „Liquid Crystals“

## Thema

Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle für Uniaxiale Flüssigkristalle.
Die Modelle gehen davon aus, dass sich Flüssigkristalle so ausrichten, dass eine durch die Ausrichtung bestimmte Energie minimiert wird.
Die Kristalle können in eine Richtung ausgerichtet sein, wobei entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden.

Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung als Vektoren im $`ℝ^d`$ und identifiziert alle Vektoren einer Geraden. Dieser Raum ist der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$.
Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → ℝP^d`$.
Das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
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```math
E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx
```
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zu finden.

Das *Landau-de Gennes-Modell* modelliert die Ausrichtung als $`Q`$-Tensoren. Das sind quadratische, spurfreie, symmetrische Tensoren (Matrizen) von der Form
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```math
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Q = s (n \otimes n - \tfrac1d \operatorname{Id}) \text{ mit } s ∈ [-\tfrac12, 1], n ∈ S^2
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```
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Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → 𝒬`$ und das Problem, was gelöst werden soll, ist, einen Minimierer der Energie
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```math
E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx
```
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zu finden.

J. Ball hat [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.

Die Arbeit versucht, diese Erkenntnisse auf den Fall, dass das Urbild $`Ω`$ eine Mannigfaltigkeit ist, zu übertragen.

Dafür werden mehrere Modelle, die andere Arbeitsgruppen entwickelt haben, analysiert um zu untersuchen, ob die Landau-de Gennes Variante und die Oseen-Frank Variante äquivalent sind. 

## Arbeitsschritte

## Quellen