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# Masterarbeitsplan Thema „Liquid Crystal Models“
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## Thema

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Die Masterarbeit untersucht die Zusammenhänge verschiedener Modelle *uniaxialer Flüssigkristalle*.
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Die Modelle gehen davon aus, dass sich Flüssigkristalle so ausrichten, dass eine durch die Ausrichtung bestimmte Energie minimiert wird.
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Jedes einzelne Kristall(molekül) ist in eine Richtung ausgerichtet und symmetrisch. Das heißt, dass entgegengesetzte Orientierungen als gleich angesehen werden.
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Das *Oseen-Frank-Modell* modelliert die Ausrichtung eines Moleküls als Einheitsvektor und identifiziert entgegengesetzte Vektoren miteinander. Der Raum aller möglichen Ausrichtungen ist damit der projektive reelle Raum $`ℝP^d`$.
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Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Vektorfeld $`v : Ω → ℝP^d`$.
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Wir suchen das Vektorfeld, das die Energie
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```math
E_{\text{OF}}(v) = ∫_{Ω} W(v, ∇v) dx
```
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minimiert. Dieses Vektorfeld heißt Minimierer.
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Das *Landau - de-Gennes - Modell* modelliert die Ausrichtung als $`Q`$-Tensoren. Das sind quadratische, spurfreie, symmetrische 2-Tensoren (Matrizen) von der Form
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```math
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Q = s (n \otimes n - \tfrac1d \operatorname{Id}) \text{ mit } s ∈ [-\tfrac12, 1] \setminus \{0\}, n ∈ S^2
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```
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Die Ausrichtung des gesamten Kristalls wird modelliert als Tensorfeld $`Q: Ω → 𝒬`$ und das Wir suchen das $`Q`$-Tensorfeld, das die Energie
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```math
E_{\text{LG}}(Q) = ∫_{Ω} ψ(Q, ∇Q) dx
```
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minimiert.
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J. Ball & Zarnesco („B&Z“) haben [gezeigt](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-011-0421-3), dass die beiden Modelle äquivalent sind ($`v`$ entspricht $`n`$), wenn $`Ω ⊂ ℝ^d`$ einfach zusammenhängend ist und der Suchraum mindestens so regulär wie $`W^{1,2}`$ ist. Es gibt auch Gegenbeispiele, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.
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Die Arbeit versucht, diese Erkenntnisse auf den Fall, dass das Urbild $`Ω`$ eine Mannigfaltigkeit ist, zu übertragen.
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Dazu gehört, die Objekte von $`ℝ^d`$ auf Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Also liegen die $`v`$s und $`Q`$-Tensoren in Tangentialräumen von $`Ω`$.
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Dafür werden mehrere Modelle, die andere Arbeitsgruppen entwickelt haben, analysiert um zu untersuchen, ob die Landau-de Gennes Variante und die Oseen-Frank Variante äquivalent sind. Äquivalent heißt, dass die Suchräume eine 1-1 Korrespondenz haben und die Minimierer der Energien korrespondieren, sprich beide Modelle das gleiche Ergebnis liefern.
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## Arbeitsschritte

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1) *Grundlagen im $`ℝ^d`$*: [„Paper Orientability and Energy Minimization in Liquid Crystal Models“](https://doi.org/10.1007/s00205-011-0421-3) von B&Z verstehen
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  - Ergebnis zur Äquivalenz der Modelle verstehen
  - Beweis verstehen
  - Gegenbeispiele verstehen und verstehen, woran es scheitert (um zu verstehen, warum die Voraussetzungen nötig sind)
2) *Übertragung auf Mannigfaltigkeiten*: $`ℝP^d`$ und $`Q`$-Tensoren auf Oberflächen verstehen und Zusammenhang von tangentialen $`Q`$-Tensoren und tangentialen Vektoren verstehen und erläutern. Quellen können (u.a.) die Paper mit den Energiemodellen sein.
3) *Recherche*: Verschiedene Energiemodelle, beginnend bei [„Nematic liquid crystals on curved surfaces: a thin film limit”](https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2017.0686) verstehen und untersuchen, inwieweit die beiden Modelle aquivalent sind.
Zur Recherche gehört auch, herauszufinden, welche Modelle durch diese Mathematik untersuchbar sind.
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4) *Forschung*: Untersuchung und Beweis, welche Ergebnisse analog zu B&Z auf den Mannigfaltigkeitsrahmen übertragbar sind
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5) *Motivation*: physikalische und technische Hintergründe recherchieren und kurz erläutern


## Betreuung

- Grundsätzlich Betreuung durch Hanne
- wenn Hanne durch private Gründe nicht erreichbar ist oder nicht arbeitet: in erster Linie Dr. Simon Praetorius, ansonsten Prof. Sander
- Ansprechpartner zum Modell aus dem IWR bei Fragen: Ingo Nitschke

- alle 2 Wochen ein (digitales) Treffen, solange möglich mit Hanne
  - Vorbereitung zum Treffen durch Felix:
    - was habe ich getan und gelesen?
    - welche Hindernisse und Probleme habe ich?
    - was ist mein Zeitplan für die nächsten 2 Wochen?
    - Evaluation des Zeitplans der letzten 2 Wochen
  - Hanne berät, damit Felix sich nicht zu weit in ein Nebenthema verrennt

Ergebnisse werden möglichst früh verschriftlicht und später für bessere Lesbarkeit verbessert.

Hanne und Prof. Sander geben Rückmeldung zu ausgewählten (Unter)kapiteln, u.a. um zum Schreibstil zu beraten.

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## Zeitplan

Sehr grobe Idee, sollte mit der Zeit genauer werden und wird sich verschieben.

| Datum | Ziel |
| ---   | ---  |
| 12.1. | Thema festlegen |
| 28.2. | B&Z verstanden |
| 15.3. | IWR-Paper verstanden, Recherche für weitere Modelle beginnen |
|  1.5. | Anmeldung |
| 15.5. | Recherche soweit abgeschlossen, dass keine neuen Modelle mehr dazu kommen |
| 30.6. | Inhaltlich fertig sein |
| 3.7.  | Physikalische Motivation fertig geschrieben |
|  8.7. | Start Feedback von Kommilitonen etc. |
| 31.7. | Abgabe |
| 10.8  | Fahrradtour |

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## Offene Fragen

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- Beschränken wir uns auf $`d = 3`$? Macht das einen Unterschied, oder machen mehr Dimensionen auch keinen Mehraufwand?
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- Beide Start-Paper behandeln *nematic* liquid crystals. Kann es sein, dass das Modell nur für diesen Fall gültig ist und sollte es daher auch in den Titel dieses Themas?