Kapitel submanifolds gelesen

ein paar Details und Definitionen aufgeschrieben. Viele Sätze nur überflogen. Mal schauen, ob ich sie mir nochmal genauer anschauen muss

notes/paper-notes/q3-riemann-manifolds.md

@@ -10,13 +10,41 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh
 - parallel transport
 
 ## Notizen zum Lesen des Buchs
+
 - Dinge zum Überspringen siehe Seite 10 = ix
 - Metrik Def: S. 9 = 23
 - Connections: Kapitel 4 S. 85 inkl. Covariant Derivatives S. 95, parallel Transport S. 105
   - Levi-Civita Connection Kapitel 5 S. 115
-### Notation:
-  - S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
-  - "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
+- Wenn man etwas anschaulich klares über Untermfk. zeigen will, schaue man in das Anhangskapitel Submanifolds. Dort sind viele Sätze
+  
+### Notation und Definitionen:
+
+- S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
+- "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
+- Tangentialvektorräume sind definiert als Derivationen (an p), d.h. $v: C^∞(M) → ℝ$ linear mit Produktregel
+$$v(fg) = f(p) vg + g(p) vf$$
 
+## Submanifolds
+
+Anhang Submanifolds S. 378
+- (Inverse Function Theorem for Manifolds) $F:M → N$, $dF_p$ invertierbar $⇒$ $F$ ist lokal um $p$ diffeomorphism (bijektiv, glattes Inverses)
+- (Rank Theorem). $F:M → N$ mit $dF_p$ hat für alle $p ∈ M$ den gleichen Rang $r$. Dann gibt es Karten, sodass $\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$.
+  Sprich: $F$ lässt $M$ und $N$ in einer Umgebung von $p$ gleich bis möglicherweise eine senkrechte Projektion aussehen.
+  - $F$ heißt *submersion*, wenn $dF_p$ immer surjektiv ist, sprich $r = \dim N$, sprich
+    $\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r)$
+  - $F$ heißt *immersion*, wenn $dF_p$ immer injektiv ist, sprich $r = \dim M$, sprich
+    $\hat F (x^1, ..., x^r) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$
+      - wenn $F$ glatt ist, ist es auch Einbettung (4.26 Lee Smooth Mf)
+      - lokal ist $F$ eine Einbettung (A.16)
+  - $F$ heißt *local diffeomorphism*, wenn um jeden Punkt ein Diffeomorphism ist, sprich submersion und immersion
+  - $F$ heißt *smooth embedding*, wenn es injektiv und immersion und topologische Einbettung ist (stetig, stetiges Inverses, Topologien passen)
+- *immersed $n$-dimensional submanifold of $M$*: Teilmenge mit unabhängiger Topologie, bei der inclusion map eine glatte Immersion ist
+- *embedded submanifold*: inclusion map ist embedding, sprich Topologie ist Unterraumtopologie (passen)
+  - Man kann Koordinaten so wählen, dass die hinteren $0$ sind für das submanifold
+- *codimension*: Differenz der Dimensionen
+- *properly embedded*: inclusion map ist proper (wie stetig, aber mit kompakt statt offen)
+  - A.21: für embedded submanifolds: proper $⇔$ abgeschlossene Teilmenge
+  - *regular domain*: properly embedded submanifold mit codimension 0
 ## sonstige Fragen
+
 - ?? in Anhang "Smooth Manifolds and Smooth Maps" die Möglichkeit, dass die Kartenübergänge nur C^k und nicht C^∞ sind, ist erwähnt. Haben wir da eine Grundannahme für mein Thema ??