Commit 285a844f authored by Felix Hilsky's avatar Felix Hilsky
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Kapitel submanifolds gelesen

ein paar Details und Definitionen aufgeschrieben. Viele Sätze nur überflogen. Mal schauen, ob ich sie mir nochmal genauer anschauen muss
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......@@ -10,13 +10,41 @@ Es geht um Metriken (d.h. Skalarprodukte auf (Riemannschen) Mfk.) und die zugeh
- parallel transport
## Notizen zum Lesen des Buchs
- Dinge zum Überspringen siehe Seite 10 = ix
- Metrik Def: S. 9 = 23
- Connections: Kapitel 4 S. 85 inkl. Covariant Derivatives S. 95, parallel Transport S. 105
- Levi-Civita Connection Kapitel 5 S. 115
### Notation:
- S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
- "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
- Wenn man etwas anschaulich klares über Untermfk. zeigen will, schaue man in das Anhangskapitel Submanifolds. Dort sind viele Sätze
### Notation und Definitionen:
- S. 375 (385) Koordinaten haben Indices oben (-> Einstein Summenkonvention). Koordinaten sind die Komponenten einer Karte
- "F is given in local coordinates by" erklärt auf Seite 375: Koordinatenrepräsentation mit Karten
- Tangentialvektorräume sind definiert als Derivationen (an p), d.h. $v: C^∞(M) → ℝ$ linear mit Produktregel
$$v(fg) = f(p) vg + g(p) vf$$
## Submanifolds
Anhang Submanifolds S. 378
- (Inverse Function Theorem for Manifolds) $F:M → N$, $dF_p$ invertierbar $⇒$ $F$ ist lokal um $p$ diffeomorphism (bijektiv, glattes Inverses)
- (Rank Theorem). $F:M → N$ mit $dF_p$ hat für alle $p ∈ M$ den gleichen Rang $r$. Dann gibt es Karten, sodass $\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$.
Sprich: $F$ lässt $M$ und $N$ in einer Umgebung von $p$ gleich bis möglicherweise eine senkrechte Projektion aussehen.
- $F$ heißt *submersion*, wenn $dF_p$ immer surjektiv ist, sprich $r = \dim N$, sprich
$\hat F (x^1, ..., x^r, x^{r+1}, ..., x^m) = (x^1, ..., x^r)$
- $F$ heißt *immersion*, wenn $dF_p$ immer injektiv ist, sprich $r = \dim M$, sprich
$\hat F (x^1, ..., x^r) = (x^1, ..., x^r, 0, ..., 0)$
- wenn $F$ glatt ist, ist es auch Einbettung (4.26 Lee Smooth Mf)
- lokal ist $F$ eine Einbettung (A.16)
- $F$ heißt *local diffeomorphism*, wenn um jeden Punkt ein Diffeomorphism ist, sprich submersion und immersion
- $F$ heißt *smooth embedding*, wenn es injektiv und immersion und topologische Einbettung ist (stetig, stetiges Inverses, Topologien passen)
- *immersed $n$-dimensional submanifold of $M$*: Teilmenge mit unabhängiger Topologie, bei der inclusion map eine glatte Immersion ist
- *embedded submanifold*: inclusion map ist embedding, sprich Topologie ist Unterraumtopologie (passen)
- Man kann Koordinaten so wählen, dass die hinteren $0$ sind für das submanifold
- *codimension*: Differenz der Dimensionen
- *properly embedded*: inclusion map ist proper (wie stetig, aber mit kompakt statt offen)
- A.21: für embedded submanifolds: proper $⇔$ abgeschlossene Teilmenge
- *regular domain*: properly embedded submanifold mit codimension 0
## sonstige Fragen
- ?? in Anhang "Smooth Manifolds and Smooth Maps" die Möglichkeit, dass die Kartenübergänge nur C^k und nicht C^∞ sind, ist erwähnt. Haben wir da eine Grundannahme für mein Thema ??
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